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2016-2017学年高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理高效测评新人教A版必修5资料


2016-2017 学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理高效测 评 新人教 A 版必修 5

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则角 A 的大小为( A.30° C.60° 解析: 在△ABC 中,由余弦定理得 cos A= B.45° D.120° )

AB2+AC2-BC2 52+32-72 1 = =- . 2×AB×AC 2×5×3 2

∵A∈(0°,180°),∴A=120°. 答案: D 2.在△ABC 中,已知 a =b +c -bc,则角 A 为( π A. 3 2π C. 3 π B. 6 π 2π D. 或 3 3
2 2 2

)

b2+c2-a2 bc 1 解析: 由余弦定理得 cos A= = = . 2bc 2bc 2
π 又 A∈(0,π ),∴A= . 3 答案: A

b+c 2A 3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos = ,则△ABC 是( 2 2c
A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析: 在△ABC 中,

)

b+c 2A ∵cos = , 2 2c
∴ 1+cos A b 1 b = + ,∴cos A= , 2 2c 2 c

∴由余弦定理知 cos A=

b2+c2-a2 , 2bc
1



b2+c2-a2 b 2 2 2 2 = ,∴b +c -a =2b , 2bc c
2 2 2

∴a +b =c , ∴△ABC 是以 C 为直角的直角三角形. 答案: A → → 4.在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,则AB·BC的值为( A.79 C.5 解析: 由余弦定理得 cos∠ABC= B.69 D.-5 )

BC2+AB2-AC2 72+52-82 1 = = . 2BC·AB 2×7×5 7

→ → ∵向量AB与BC的夹角为 180°-∠ABC, → → → → ? 1? ∴AB·BC=|AB||BC|cos(180°-∠ABC)=5×7×?- ?=-5. ? 7? 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知在△ABC 中,2B=A+C,b =ac,则△ABC 的形状为____________. 解析: ∵2B=A+C,又 A+B+C=180°,∴B=60°.又 b =ac,由余弦定理可得 b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=a +c -2accos B=a +c -2accos 60°=a +c -ac,所以有 a +c -ac=ac,从而(a -c) =0,所以 a=c,故△ABC 为等边三角形. 答案: 等边三角形 1 6.(2012·北京高考)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 解析: ∵b+c=7,∴c=7-b. 由余弦定理得 b =a +c -2accos B,
2 2 2 2

? 1? 2 2 即 b =4+(7-b) -2×2×(7-b)×?- ?,解得 b=4. ? 4?
答案: 4 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,c=4( 3+1),解此三角形. 解析: 由余弦定理得:b =a +c -2accos B =8 +[4( 3+1)] -2×8×4( 3+1)·cos 60° 1 =64+16(4+2 3)-64( 3+1)× =96, 2 ∴b=4 6.
2
2 2 2 2 2

方法一:由 cos A= =

b2+c2-a2 2bc
2

96+16? 3+1? -64 2 = , 2 2×4 6×4? 3+1?

∵0°<A<180°,∴A=45°. 故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 方法二:由正弦定理 ∴sin A= 2 , 2

b 8 4 6 = ,∴ = , sin A sin B sin A sin 60°

a

∵b>a,c>a, ∴a 最小,即 A 为锐角. 因此 A=45°. 故 C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 8.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值. 解析: (1)由正弦定理得 = =2R,R 为△ABC 外接圆半径. sin A sin B 又 bsin A= 3acos B, 所以 2Rsin Bsin A= 3·2Rsin Acos B,又 sin A≠0, 所以 sin B= 3cos B,tan B= 3. π 又因为 0<B<π ,所以 B= . 3 (2)由 sin C=2sin A 及 = ,得 c=2a, sin A sin C 由 b=3 及余弦定理 b =a +c -2accos B, 得 9=a +c -ac, ∴a +4a -2a =9, 解得 a= 3.故 c=2 3. ?? 尖子生题库 ?? ☆☆☆
2 2 2 2 2 2 2 2

a

b

a

c

9.(10 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin

B+(2c+b)sin C,
(1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.
3

解析: (1)由已知,根据正弦定理得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a =b +c +bc. 由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 1 可求得 cos A=- . 2 又∵A 为△ABC 内角, ∴A=120°. (2)由 a =b +c +bc 得: sin A=sin B+sin C+sin Bsin C, 又∵A=120°,sin B+sin C=1, 1 ∴sin B=sin C= . 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°, 故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4


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