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高一函数单调性和奇偶性高考考点解析和例题分析辅导


函数——函数的奇偶性与周期性 高考要求
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了解函数奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法 掌握函数的奇偶性的
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定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶性,能利用函数的奇偶性解决问题 知识点归纳
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1 函数的奇偶性的定义;
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2 奇偶函数的性质:
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(1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; 3 f ( x ) 为偶函数 ? f ( x ) ? f (| x |)
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4 若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0
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5 判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意
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使定义域不受影响; 6 牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;
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7 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
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f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( x) f (? x)

? ?1

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8 设 f ( x ) , g ( x ) 的定义域分别是 D1 , D 2 ,那么在它们的公共定义域上:
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奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇

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1 判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价
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形式:f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0; 2 讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点;
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3 若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0,因此, “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件;
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4 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称性可以判
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断函数的奇偶性
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5 若存在常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立,则称 T 为函数 f(x)的周期,一
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般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集
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对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上, 要明确对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义域关 于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件 稍加推广,可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x,都有 f(x+a)=f(a-x)成立 函数的奇偶性是其相应图 象的特殊的对称性的反映
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这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用 根据已知条件,调动相关知识,选 择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求
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(5)函数的周期性 定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x ) 恒成立 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期

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0 例: (1)若函数 f ( x ) 在 R 上是奇函数,且在 ?? 1,? 上是增函数,且 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x )

则① f ( x ) 关于

对称;② f ( x ) 的周期为



③ f ( x ) 在(1,2)是

函数(增、减) ;
18 1 2

x ( 1 )时, f ( x ) = 2 ,则 f (log ④ 若 x ? 0,

)?

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(2)设 f ( x ) 是定义在 ( ?? , ?? ) 上,以 2 为周期的周期函数,且 f ( x ) 为偶函数,

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在区间[2,3]上, f ( x ) = ? 2 ( x ? 3) ? 4 ,则 x ? [ 0 , 2 ]时, f ( x ) =
2

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题型讲解

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1 对函数单调性和奇偶性定义的理解
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例 4 下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其 中正确命题的个数是 ( )
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A1
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B2
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C3
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D4
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分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误 奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确
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若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,如例 1 中的 (3),故④错误,选 A
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说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 2 复合函数的性质
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复合函数 y=f[g(x)]是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的,因变量 y 通过中间变

量 u 与自变量 x 建立起函数关系,函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律: (1)单调性规律

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如果函数 u=g(x)在区间 [m,n]上是单调函数, 且函数 y=f(u)在区间[g(m),g(n)] (或 [g(n),g(m)])上也是单调函数,那么 若 u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数 y=f[g(x)]为增函数;若 u=g(x),y= f(u) 增减性不同,则 y=f[g(x)]为减函数
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(2)奇偶性规律 若函数 g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则 u=g(x),y=f(u)都是 奇函数时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)] 是偶函数
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例 6 甲、乙两地相距 Skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km/h,已知 汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km/ h)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元
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(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶
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分析:(1)难度不大,抓住关系式:全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间, 而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决
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故所求函数及其定义域为

但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过 ckm/h,所以(2)的解决需要

论函数的增减性来解决

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由于 v 1 v 2 >0,v 2 -v 1 >0,并且

又 S>0,所以



则当 v=c 时,y 取最小值

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说明:此题是 1997 年全国高考试题 由于限制汽车行驶速度不得超过 c,因而求最值的 方法也就不完全是常用的方法,再加上字母的抽象性,使难度有所增大
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例 1 判断下列各函数的奇偶性:
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(1) f ( x ) ? ( x ? 1)

1? x 1? x

; (2) f ( x ) ?

lg(1 ? x )
2

| x ? 2 | ?2
2



? x2 ? x ? (3) f ( x ) ? ? 2 ?? x ? x ?

( x ? 0)
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( x ? 0)

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解: (1)由

1? x 1? x
2

? 0 ,得定义域为 [ ? 1,1) ,关于原点不对称,∴ f ( x ) 为非奇非偶函数

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?1 ? x ? 0 ? (2)由 ? 2 得定义域为 ( ? 1, 0) ? (0,1) , ?| x ? 2 | ? 2 ? 0 ?

∴ f ( x) ?

lg(1 ? x )
2

? ( x ? 2) ? 2
2

??

lg(1 ? x )
2

x

2



∵ f (? x) ? ?

lg[1 ? ( ? x ) ]
2

(? x)

2

??

lg(1 ? x )
2

x

2

? f ( x)

∴ f ( x ) 为偶函数

(3)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f ( ? x ) ? ? ( ? x ) ? x ? ? ( x ? x ) ? ? f ( x ) ,
2 2

当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f ( ? x ) ? ( ? x ) ? x ? ? ( ? x ? x ) ? ? f ( x ) ,
2 2

综上所述,对任意的 x ? ( ?? , ?? ) ,都有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,∴ f ( x ) 为奇函数

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例 2 已知函数 f ( x ) 对一切 x , y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ,
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(1)求证: f ( x ) 是奇函数; (2)若 f ( ? 3) ? a ,用 a 表示 f (12)

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解: (1)显然 f ( x ) 的定义域是 R ,它关于原点对称 在 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 中,
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令 y ? ? x ,得 f (0) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) , ∴ f (0) ? 0 ,∴ f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 ,即 f ( ? x ) ? ? f ( x ) , ∴ f ( x ) 是奇函数 (2)由 f ( ? 3) ? a , f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) 及 f ( x ) 是奇函数, 得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ? 4 f ( ? 3) ? ? 4 a

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例 3 (1)已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ?? ) 时, f ( x ) ? x (1 ?
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3

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x),

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? x (1 ? ? 则 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? ? ? x (1 ? ?

3

x ), x ? 0
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3

x ), x ? 0

(2) ( 《高考 A 计划》考点 3“智能训练第 4 题” )已知 f ( x ) 是偶函数, x ? R ,当 x ? 0 时, f ( x ) 为增函数,若 x1 ? 0, x 2 ? 0 ,且 | x1 |?| x 2 | ,则
A f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 )
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( B )

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B f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 )
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C ? f ( x1 ) ? f ( ? x 2 )
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D

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? f ( x1 ) ? f ( ? x 2 )

例 4 设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x ? | x ? a | ? 1 , x ? R
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2

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(1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的最小值

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解: (1)当 a ? 0 时, f ( ? x ) ? ( ? x ) ? | ? x | ? 1 ? f ( x ) ,此时 f ( x ) 为偶函数;
2

当 a ? 0 时, f ( a ) ? a ? 1 , f ( ? a ) ? a ? 2 | a | ? 1 ,
2 2

∴ f ( ? a ) ? f ( a ), f ( ? a ) ? ? f ( a ),

此时函数 f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数

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(2)①当 x ? a 时,函数 f ( x ) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ?
2

1 2

) ?a?
2

3 4



若a ?

1 2

,则函数 f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上单调递减,∴函数 f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上的最小值 为
2

f (a ) ? a ? 1 ;

若a ?

1

1 3 1 ,函数 f ( x ) 在 ( ?? , a ] 上的最小值为 f ( ) ? ? a ,且 f ( ) ? f ( a ) 2 2 4 2
2

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②当 x ? a 时,函数 f ( x ) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ?

1 2

) ?a?
2

3 4



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若a ? ? 若a ??

1

1 3 1 ,则函数 f ( x ) 在 [ a , ?? ) 上的最小值为 f ( ? ) ? ? a ,且 f ( ? ) ? f ( a ) ; 2 2 4 2

1 2
2

, 则 函 数 f ( x ) 在 [ a , ?? ) 上 单 调 递 增 , ∴ 函 数 f ( x ) 在 [ a , ?? ) 上 的 最 小 值
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f ( a) ? a ? 1

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综上,当 a ? ? 是a ?1,
2

1 2

时,函数 f ( x ) 的最小值是

3 4

? a ,当 ?

1 2

?a?

1 2

时,函数 f ( x ) 的最小值

当a ?

1 2

,函数 f ( x ) 的最小值是 a ?

3
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4

例 4 已知函数 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,函数 y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1)
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是奇函数 又知 y ? f ( x ) 在 [0,1] 上是一次函数,在 [1, 4] 上是二次函数,且在 x ? 2 时函数取
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得最小值 ? 5

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①证明: f (1) ? f (4) ? 0 ;②求 y ? f ( x ), x ? [1, 4] 的解析式;③求 y ? f ( x ) 在 [4, 9] 上的 解析式
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解:∵ f ( x ) 是以 5 为周期的周期函数,∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f ( ? 1) , 又∵ y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (1) ? ? f ( ? 1) ? ? f (4) , ∴ f (1) ? f (4) ? 0

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②当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x ) ? a ( x ? 2) ? 5 ( a ? 0) ,
2

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由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a (1 ? 2) ? 5 ? a (4 ? 2) ? 5 ? 0 ,∴ a ? 2 ,
2 2

∴ f ( x ) ? 2( x ? 2) ? 5(1 ? x ? 4)
2

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③∵ y ? f ( x )( ? 1 ? x ? 1) 是奇函数,∴ f (0) ? 0 , 又 知 y ? f ( x ) 在 [0,1] 上 是 一 次 函 数 , ∴ 可 设 f ( x )?
f ( 1? ) 2?( 1
2

k x? ( 0

? ,) x 1 而

? ) ? ,5 2 ?

3

∴ k ? ? 3 ,∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? ? 3 x , 从而当 ? 1 ? x ? 0 时, f ( x ) ? ? f ( ? x ) ? ? 3 x ,故 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x ) ? ? 3 x

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∴当 4 ? x ? 6 时,有 ? 1 ? x ? 5 ? 1 ,∴ f ( x ) ? f ( x ? 5) ? ? 3( x ? 5) ? ? 3 x ? 15

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当 6 ? x ? 9 时, 1 ? x ? 5 ? 4 ,∴ f ( x ) ? f ( x ? 5) ? 2[( x ? 5) ? 2] ? 5 ? 2( x ? 7) ? 5
2 2

4? x?6 ? ? 3 x ? 15, ∴ f ( x) ? ? 2 6? x?9 ? 2( x ? 7) ? 5,

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1 函数 f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函数,则 b=
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2 函数 F(x)=(1+2/(2x?1))f(x)(x≠0)是偶函数,且 f(x)不恒等于零,则 f(x) (
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A

)

(A)是奇函数

(B)是偶函数
2

(C)既是奇函数,又是偶函数 )

(D)非奇非偶函数

3 已知函数 f(x)=x2+lg(x+ x ? 1 ),若 f(a)=M,则 f(?a)等于 (
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A

(A)2a2?M

(B)M?2a2

(C)2M?a2

(D)a2?2M

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5 若对正常数 m 和任意实数 x,等式 f ( x ? m ) ?
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1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

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成立,则下列说法正确的是

( A

) 函数 f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 2m

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B

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函数 f ( x ) 是奇函数,但不是周期函数

C 函数 f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 4 m
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D 函数 f ( x ) 是偶函数,但不是周期函数
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(利用周期函数的定义证明 答案:C)
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4 已知 f(x) 是奇函数,且当 x?(0,1)时,f(x)=ln(1/(1+x)),那么当 x?(?1,0)时,f(x)=
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ln(1?x)

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5 试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数之和
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6 判断下列函数的奇偶性:
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(1)f(x)=(1?cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)(非奇非偶函数);(2)f(x)=x/(ax?1)+x/2 (a>0 且 a≠1)(偶函数)
? x 2 ( x ? 1) x ? 0 ? (3)f(x)= ? (偶函数)说明奇偶性的对称条件和分段函数奇偶性的判别方 ? ? x 2 ( x ? 1) x ? 0 ?
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7 已知 f(x),g(x)都是奇函数,f(x)>0 的解集是(a2,b),g(x)>0 的解集是(a2/2,b/2),则 f(x)g(x)>0 的解
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集是
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8 定义在区间(??,+?)的奇函数 f(x)为增函数,偶函数 g(x)在区间[0,+?)上的图象与 f(x)的图象
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重合,设 a>b>0,给出下列不等式①f(b)?f(?a)>g(a)?g(?b);②f(b)?f(?a)<g(a)?g(?b); ③f(a)?f(?b)>g(b)?g(?a);④f(a)?f(?b)<g(b)?g(?a) 其中正确不等式的序号是
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9 (1)已知函数 f(x)的周期为 4,且等式 f(2+x)=f(2?x)对一切 x?R 恒成立,求证 f(x)为偶
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函数; (2)设奇函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x+4)=f(x),当 x?[4,6]时,f(x)=2 +1,求 f(x)在区间 [?2,0]上的表达式 (?(2?x+4+1)
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x

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(?2?x?0))

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