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2000-2014年全国高中数学联赛试题


2000 年全国高中数学联合竞赛试卷 (10 月 15 日上午 8:00?9:40)
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x-2≤0},B={x|10 (A){2} (B){?1} x2-2 =10x},则 A∩?RB 是( (D ) ? ) )

(C){x|x≤2}

α α α

2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin >cos ,则 的取值范围是( 3 3 3 π π (A)(2k?+ ,2k?+ ), k?Z 6 3 (C)(2k?+ 5π ,2k?+?),k? Z 6 (B)(

2kπ π 2kπ π + , + ),k? Z 3 6 3 3

π π 5π (D)(2k?+ ,2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?),k? Z 4 3 6

3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三角形,则△ABC 的面 积是( ) (A ) 3 3 (B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3 )

4. 给定正数 p, q, a, b, c, 其中 p?q, 若 p, a, q 是等比数列, p, b, c, q 是等差数列, 则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( 3 5 (A ) 34 170 (B) 34 85 ( C) 1 20 ) (D ) 1 30 )

π π 6.设ω=cos +isin ,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是( 5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.arcsin(sin2000?)=__________.

(B) x4?x3+x2?x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0

32 33 3n 2.设 an 是(3? x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则 lim ( + +…+ ))=________. n→∞ a2 a3 an 3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. 5-1 x2 y2 4.在椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率是 ,则 a b 2 ∠ABF=_________. 5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是________. 6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, ____ 那么,可以组成的不同的四位数 abcd的个数是_________ 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
1

1.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N*,求 f(n)=

Sn 的最大值. (n+32)Sn+1

1 13 2.若函数 f(x)=- x2+ 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2 x2 y2 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: 2+ 2=1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 上任意一点 P,均存 a a 在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论.

================================================================= 2000 年全国高中数学联赛二试题
(10 月 15 日上午 10∶00-12∶00) 一. (本题满分 50 分) 如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC(M、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D.证明: 四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等. A M N B 二. (本题满分 50 分) 设数列{a n}和{b n }满足 a0=1,a1=4,a2=49,且 an+1=7an+6bn-3, n=0,1,2,…… bn+1=8an+7bn-4. 证明 a n(n=0,1,2,…)是完全平方数. 三. (本题满分 50 分) 有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n-2 个人之间通电话的次数相等,都是 3 k 次, 其中 k 是自然数,求 n 的所有可能值. D E F C

二○○一年全国高中数学联合竞赛题
(10 月 4 日上午 8:00—9:40)

学生注意:1、本试卷共有三大题(15 个小题) ,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 个小是题,每题均给出(A) ( B) (C ) (D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的 代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律 得 0 分。 1、已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定 2、命题 1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各面距离相等的点;
2

以上三个命题中正确的有 (A)0 个 (B)1 个

(C)2 个

(D)3 个

3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在(0,

?
2

)上单调递增的偶函数是

(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k 的⊿ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是 (A)k=8 3 (B)0<k≤12 (C)2 (D)0<k≤12 或 k ? 8 3

5.若(1+x+x2)1000 的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000, 则a0+a3+a6+a9+…+a1998 的值为( ) . 333 666 (A)3 ( B) 3 (C)3999 (D)32001 6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格 和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ) . (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________. 8、若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=

3 -I,则 z1z2= 2

。 。

9、正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1 ,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是

10、不等式

1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2
2



11、函数 y ? x ?

x 2 ? 3 x ? 2 的值域为

。 F E A B C

12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一场块中种同一种植物,相邻 的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有 种栽种方案。

D

二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 b1 ? a1 , b2 ? a 2 , b3 ? a3 (a1<a2),又
n ? ?? 2 2 2

lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 ,试求{an}的首项与公差。

x2 2 2 14、设曲线 C1: 2 ? y ? 1 (a 为正常数)与 C2:y =2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。 a
(1) 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2) O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 试求⊿OAP 的面积的最大值(用 a 表示) 。 15、用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6、 (a1>a2>a3>a4>a5>a6)的 电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该 组件总电阻值最小?证明你的结论。
3

1 时, 2

二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
(10 月 4 日上午 10:00—12:00)

学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 (本题满分 50 分) 如图:⊿ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N。求证: (1)OB⊥ DF,OC⊥DE; (2)OH⊥MN。

二、 (本题满分 50 分) 设 xi≥0(I=1,2,3,…,n)且

? xi ? 2
2 i ?1

n

1? k ? j ? n

?

n k x k x j ? 1 ,求 ? xi 的最大值与最小值。 j i ?1

三、 (本题满分 50 分) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正 方形边长之和的最小值。

2002 年全国高中数学联赛试题及解答
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数集,若A={x| A.{2} C .{x|x≤2} D. ≤0},B={x| =10 },则A∩ B.{-1}


是(

).

2.设sinα>0,cosα<0,且sin

>cos

,则

的取值范围是(

).

A.(2kπ+π/6,2kπ+π/3),k∈Z B.(2kπ/3+π/6,2kπ/3+π/3),k∈Z C.(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z D.(2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z 3.已知点 A 为双曲线x2-y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△A
4

BC的面积是( A. /3

). B.3 /2 C.3 D.6

4.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一 元二次方程bx2-2ax+c=0( ). A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个同号相异实根 D.有两个异号实根 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=5/3x+4/5 的距离中的最小值是( ). A. /170 B. /85 C.120 D.130

6.设ω=cos

+isin

,则以ω,ω3,ω7,ω9 为根的方程是(

).

A.x4+x3+x2+x+1=0 B.x4-x3+x2-x+1=0 C.x4-x3-x2+x+1=0 D.x4+x3+x2-x-1=0 二、填空题〖HTK〗(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000°)=_______.

8.设an是(3-

) 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则



=_______.

9.等比数列a+log23,a+log43,a+log83 的公比是______. 10.在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭

圆的离心率是

,则∠ABF=______.

11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是______. 12.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}; (2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a; (3)a是a,b,c,d中的最小值, 那么,可以组成的不同的四位数 的个数是______.

三、解答题〖HTK〗(本题满分 60 分,每小题 20 分)

13.设Sn=1+2+3+…+n,n∈N
2

,求f(n)=

的最大值.

14.若函数f(x)=-1/2x +13/2 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 15.已知C0:x2+y2=1 和C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),那么,当且仅当a,b满足什么条件时, 对C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点、与 C0 外切、与C1 内接的平行四边形?并证明你的结论.

2003 年全国高中数学联合竞赛试卷
得分 评卷人
5

一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)本题共有 6 小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论, 其中有且仅有一个是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不 选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分)。 1.删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列的第 2003 项是 A.2046 B.2047 C.2048 D.2049 答( ) 2.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是 y x y x y x y x

A

B

C

D 答( )

3.过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60o 的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 A.

16 3

B.

8 3

C.

16 3 3

D. 8 3

答( ) 5? ? 2? ? ? , ? ) ,则 y ? tan( x ? ) ? tan( x ? ) ? cos( x ? ) 的最大值是 4.若 x ? (? 12 3 3 6 6 12 2 11 2 11 3 12 3 A. B. C. D. 5 6 6 5 答( ) 4 9 5.已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u ? 的最小值是 ? 4 ? x2 9 ? y 2 8 24 12 12 A. B. C . D. 答( ) 5 11 7 5 6.在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD= 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 A. 得分

?
3

,则四面体 ABCD 的体积等于 )

3 2

B.

1 2

C.

1 3

D.

3 3

答(

评卷人

二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7.不等式 | x | 3-2x2-4| x | +3 < 0 的解集是____________________. 8.设 F1,F2 是椭圆

? PF1F2 的面积等于______________.

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1| : |PF2|=2 : 1,则三角形 9 4


9.已知 A={x|x2-4x+3<0,x∈R},B={x|21 x+a≤0,x2-2(a+7)+5≤0,x∈R},若 A ? B,则实数 a 的取 值范围是___________________. 10.已知 a,b,c,d 均为正整数,且 loga b ?

3 5 , logc d ? ,若 a-c=9,则 b-d = 2 4



11.将 8 个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面
6

及侧面都相切,则此圆柱的高等于______________. 12.设 M n ={(十进制)n 位纯小数 0.a1a2 ? an |ai 只取 0 或 1(i=1,2,…,n-1,an=1},Tn 是 Mn 中元素的个数, Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim 得分 评卷人 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.设
n ??

Sn =_______. Tn

3 ≤x≤5,证明不等式 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19 . 2 1 +bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数)对应的不共线的三点,证明: 2

14.设 A,B,C 分别是复数 Z0=ai,Z1= 曲线

Z=Z0cos4t+2Z1cos2t sin2t+Z2sin4t (t∈R) 与 ? ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点. 15. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A,且 OA=a. 拆叠纸片,使圆周上某一点 A/ 刚好与 A 点重合,这 样的每一种拆法,都留下一条直线折痕,当 A/取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.

2003 年全国高中数学联合竞赛加试试卷
得分 评卷人 一. (本题满分 50 分)过圆外一点 P 作圆的两条切线和 一条割线,切点为 A,B 所作割线交圆于 C,D 两点,C 在 P,D 之间,在弦 CD 上取一点 Q,使∠DAQ=∠PBC.求证:∠DBQ= ∠PAC. D 得分 评卷人 A Q C B P

3l 3m 3n } ? { } ? { }, 104 104 104 其中{x}=x-[x],而[x]表示不超过 x 的最大整数.求这种三角形周长的最小值.
二. (本题满分 50 分) 设三角形的三边分别是整数 l, m, n, 且 l>m>n, 已知 { 三. (本题满分 50 分)由 n 个点和这些点之间的 t 条连线段组成一个空间图形,其中 n=q2+q+1,t ≥

得分

评卷人

1 q(q ? 1)2 ? 1 ,q≥2,q∈N,已知此图中任圆点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少 2 有 q+2 条连线段,证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点 A,B,C,D 和四条连线段 AB,BC,CD,DA 组成的 图形) .

7

二 OO 四年全国高中数学联合竞赛试题
第 一
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、设锐角 ? 使关于 x 的方程 x ? 4 x cos ? ? cot ? ? 0 有重根,则 ? 的弧度数为(
2



时间:10 月 16 日



A.

?
6

B.
2

?
12
2

or

5? 12

C.

?
6

or

5? 12

D.

?
12

2、已知 M ? {( x, y ) | x ? 2 y ? 3}, N ? {( x, y ) | y ? mx ? b} 。若对所有 m ? R, 均有 M ? N ? ? ,则 b 的取值范围 是( A. ? ? )

? ?

6 6? , ? 2 2 ?

B. ? ? ?

? ?

6 6? , ? 2 2 ? ?

C. ( ?

2 3 2 3 , ] 3 3


D. ? ?

? 2 3 2 3? , ? 3 ? ? 3

3、不等式 log 2 x ? 1 ? A. [2,3)

1 log 1 x 3 ? 2 ? 0 的解集为( 2 2
C. [2, 4)

B. (2,3]

D. (2, 4]

4、设 O 点在 ?ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积的比为( A. 2 B.

??? ?

??? ?

????

?



3 2

C. 3

D.

5 3


5、设三位数 n ? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有( A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个

6、 顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形, A 是底面圆周上的点, B 是底面圆内的点, O 为底面圆的圆心, AB ? OB , 垂足为 B, OH ? PB ,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最大时,OB 的长是( ) A.

5 3

B.

2 5 3

C.

6 3

D.

2 6 3

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7 、 在平 面直角坐 标系 xoy 中, 函数 f ( x) ? a sin ax ? cos ax ( a ? 0) 在一 个最小正 周期长 的区间 上的图像 与函数

g ( x) ? a 2 ? 1 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。
8、设函数 f : R ? R, 满足f (0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R, 都有
D1 C1

f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 ,则 f ( x) =_____________________。
9、如图、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

A1 F E D

B1

二面角 A ? BD1 ? A1 的度数是____________。
A

C

8

B

10、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是一个正整数,则 k=____________。
2

11、已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 ? an ?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 ,则 _________________________。

?a
i ?o

n

1
i

的值是

12、在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ,点 P 在 X 轴上移动,当 ?MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为___________________。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 2 ,则算过关。 问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现 点数。 ) 14、在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, ), B ( ?1, 0), C (1, 0) ,点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离 的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过 ?ABC 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围。 15、已知 ? , ? 是方程 4 x ? 4tx ? 1 ? 0 (t ? R ) 的两个不等实根,函数 f ( x) ?
2 n

4 3

2x ? t 的定义域为 ?? , ? ? 。 x2 ? 1

(Ⅰ)求 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ; (Ⅱ)证明:对于 ui ? (0,

?
2

)(i ? 1, 2,3) ,若 sin u1 ? sin u2 ? sin u3 ? 1, 则

1 1 1 3 ? ? ? 6。 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 4

二〇〇五年全国高中数学联合竞赛试题
一、选择题

1.使关于 x 的不等式

≥k 有解的实数 k 的最大值是(



A.

B.

C.

D.

9

2.空间四点 A、B、C、D,满足 A.只有一个 B.有两个



、 C.有四个



,则 D.有无穷多个

的取值(



3.△ABC 内接于单位圆, 三个内角 A、 B、 C 的平分线交此圆于 A1、 B1、 C1 三点, 则 的值是( A.2 ) B.4 C.6 D.8

4.如图,ABCD-A′B′C′D′为正方体,任作平面α与对角线 AC′垂直,使α与正方体的每个面都有公共点,记这 样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则( )

A.S 是定值,l 不是定值 C.S、l 均是定值

B.S 不是定值,l 是定值 D.S、l 均不是定值

5.方程

表示的曲线是(



A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

6.记集合 T={0,1,2,3,4,5,6}, 2005 个数是( )

,将 M 中的元素按从大到小顺序排列,则第

A.

B.

10

C.

D.

二、填空题 7.将多项式 f(x)=1-x+x -x +…-x +x 表示为关于 y 的多项式 g(y)=a0+a1y+a2y +…+a19y +a20y ,且 y=x-4,则 a0+a1+…+a20=__________. 8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若 f(2a +a+1)<f(3a -4a+1)成立,则实数 a 的取值范围是_____________. 9.设α、β、γ满足 0<α<β<γ<2π,若对任意 x∈R,cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0 成立,则 γ-α=___________.
2 2 2 3 19 20 2 19 20

10.如图,四面体 DABC 的体积为

,∠ACB=45°,

,则 CD=_________.

11.正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上,另外两顶点在 y=x 上,则正方形面积的最小值为_____________. 12.若自然数 a 的各位数字之和为 7,则称 a 是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列:a1、a2、a3…,若 an=2005,则 a5n=______. 三、解答题

2

13.数列{an}满足 a0=1, anan+1-1 为完全平方数.

, n∈N, 证明: (1)对于任意 n∈N, a 为整数; (2)对于任意 n∈N,

14.将编号为 1、2、3、…、9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各一个小球,设圆周上所 有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S,求值 S 达到最小值的方法的概率(若某种方法,经旋转或镜面反射可与另一种 方法重合,则认为是相同方法).
11

15.过抛物线 y=x2 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,C 在抛物线上,E 在线段 AC 上, 在线段 BC 上, ,且λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF 交于 P,当 C 在抛物线上移动时,求 P 的轨迹方程.

,F

2006 年全国高中数学联赛试题 第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 已知△ABC,若对任意 t ? R , BA ? t BC ? AC ,则△ABC 一定为 A.锐角三角形
2

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 答案不确定

【答】 (



2. 设 log x (2 x ? x ? 1) ? log x 2 ? 1 ,则 x 的取值范围为 A.

1 ? x ?1 2

B. x ?

1 ,且 x ? 1 2

C. x ? 1

D. 0 ? x ? 1

【答】 (



3. 已知集合 A ? x 5 x ? a ? 0 , B ? x 6 x ? b ? 0 , a, b ? N ,且 A ? B ? N ? ?2,3, 4? ,则整数对 ?a, b ? 的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 ( )

?

?

?

?

4. 在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, ?BAC ?

?
2

, AB ? AC ? AA1 ? 1 . 已知G与E分别为 A1 B1 和 CC1 的中点,D与F

分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点). 若 GD ? EF ,则线段 DF 的长度的取值范围为 A. ?

? 1 ? , 1? ? 5 ?
3

B. ? , 2 ?

?1 ?5

? ?

C. ?1,

?

2

?

D. ?