当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 2000-2014年全国高中数学联赛试题

2000-2014年全国高中数学联赛试题


2000 年全国高中数学联合竞赛试卷 (10 月 15 日上午 8:00?9:40)
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x-2≤0},B={x|10 (A){2} (B){?1} x2-2 =10x},则 A∩?RB 是( (D ) ? ) )

(C){x|x≤2}

α α α

2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin >cos ,则 的取值范围是( 3 3 3 π π (A)(2k?+ ,2k?+ ), k?Z 6 3 (C)(2k?+ 5π ,2k?+?),k? Z 6 (B)(

2kπ π 2kπ π + , + ),k? Z 3 6 3 3

π π 5π (D)(2k?+ ,2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?),k? Z 4 3 6

3.已知点 A 为双曲线 x2?y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三角形,则△ABC 的面 积是( ) (A ) 3 3 (B) 3 3 2 (C)3 3 (D)6 3 )

4. 给定正数 p, q, a, b, c, 其中 p?q, 若 p, a, q 是等比数列, p, b, c, q 是等差数列, 则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离中的最小值是( 3 5 (A ) 34 170 (B) 34 85 ( C) 1 20 ) (D ) 1 30 )

π π 6.设ω=cos +isin ,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是( 5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0 二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.arcsin(sin2000?)=__________.

(B) x4?x3+x2?x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0

32 33 3n 2.设 an 是(3? x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则 lim ( + +…+ ))=________. n→∞ a2 a3 an 3.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. 5-1 x2 y2 4.在椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭圆的离心率是 ,则 a b 2 ∠ABF=_________. 5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是________. 6.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, ____ 那么,可以组成的不同的四位数 abcd的个数是_________ 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
1

1.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N*,求 f(n)=

Sn 的最大值. (n+32)Sn+1

1 13 2.若函数 f(x)=- x2+ 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2 x2 y2 3.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: 2+ 2=1 (a>b>0).试问:当且仅当 a,b 满足什么条件时,对 C1 上任意一点 P,均存 a a 在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平行四边形?并证明你的结论.

================================================================= 2000 年全国高中数学联赛二试题
(10 月 15 日上午 10∶00-12∶00) 一. (本题满分 50 分) 如图,在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F,满足∠BAE=∠CAF,作 FM⊥AB,FN⊥AC(M、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D.证明: 四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等. A M N B 二. (本题满分 50 分) 设数列{a n}和{b n }满足 a0=1,a1=4,a2=49,且 an+1=7an+6bn-3, n=0,1,2,…… bn+1=8an+7bn-4. 证明 a n(n=0,1,2,…)是完全平方数. 三. (本题满分 50 分) 有 n 个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意 n-2 个人之间通电话的次数相等,都是 3 k 次, 其中 k 是自然数,求 n 的所有可能值. D E F C

二○○一年全国高中数学联合竞赛题
(10 月 4 日上午 8:00—9:40)

学生注意:1、本试卷共有三大题(15 个小题) ,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 个小是题,每题均给出(A) ( B) (C ) (D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的 代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律 得 0 分。 1、已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定 2、命题 1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各面距离相等的点;
2

以上三个命题中正确的有 (A)0 个 (B)1 个

(C)2 个

(D)3 个

3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在(0,

?
2

)上单调递增的偶函数是

(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k 的⊿ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是 (A)k=8 3 (B)0<k≤12 (C)2 (D)0<k≤12 或 k ? 8 3

5.若(1+x+x2)1000 的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000, 则a0+a3+a6+a9+…+a1998 的值为( ) . 333 666 (A)3 ( B) 3 (C)3999 (D)32001 6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格 和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ) . (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________. 8、若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=

3 -I,则 z1z2= 2

。 。

9、正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1 ,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是

10、不等式

1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2
2



11、函数 y ? x ?

x 2 ? 3 x ? 2 的值域为

。 F E A B C

12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图) ,要求同一场块中种同一种植物,相邻 的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有 种栽种方案。

D

二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 b1 ? a1 , b2 ? a 2 , b3 ? a3 (a1<a2),又
n ? ?? 2 2 2

lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 ,试求{an}的首项与公差。

x2 2 2 14、设曲线 C1: 2 ? y ? 1 (a 为正常数)与 C2:y =2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。 a
(1) 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2) O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 试求⊿OAP 的面积的最大值(用 a 表示) 。 15、用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6、 (a1>a2>a3>a4>a5>a6)的 电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该 组件总电阻值最小?证明你的结论。
3

1 时, 2

二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
(10 月 4 日上午 10:00—12:00)

学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 (本题满分 50 分) 如图:⊿ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于点 M,FD 和 AC 交于点 N。求证: (1)OB⊥ DF,OC⊥DE; (2)OH⊥MN。

二、 (本题满分 50 分) 设 xi≥0(I=1,2,3,…,n)且

? xi ? 2
2 i ?1

n

1? k ? j ? n

?

n k x k x j ? 1 ,求 ? xi 的最大值与最小值。 j i ?1

三、 (本题满分 50 分) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正 方形边长之和的最小值。

2002 年全国高中数学联赛试题及解答
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数集,若A={x| A.{2} C .{x|x≤2} D. ≤0},B={x| =10 },则A∩ B.{-1}


是(

).

2.设sinα>0,cosα<0,且sin

>cos

,则

的取值范围是(

).

A.(2kπ+π/6,2kπ+π/3),k∈Z B.(2kπ/3+π/6,2kπ/3+π/3),k∈Z C.(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z D.(2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z 3.已知点 A 为双曲线x2-y2=1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△A
4

BC的面积是( A. /3

). B.3 /2 C.3 D.6

4.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一 元二次方程bx2-2ax+c=0( ). A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个同号相异实根 D.有两个异号实根 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=5/3x+4/5 的距离中的最小值是( ). A. /170 B. /85 C.120 D.130

6.设ω=cos

+isin

,则以ω,ω3,ω7,ω9 为根的方程是(

).

A.x4+x3+x2+x+1=0 B.x4-x3+x2-x+1=0 C.x4-x3-x2+x+1=0 D.x4+x3+x2-x-1=0 二、填空题〖HTK〗(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000°)=_______.

8.设an是(3-

) 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则



=_______.

9.等比数列a+log23,a+log43,a+log83 的公比是______. 10.在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该椭

圆的离心率是

,则∠ABF=______.

11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是______. 12.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}; (2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a; (3)a是a,b,c,d中的最小值, 那么,可以组成的不同的四位数 的个数是______.

三、解答题〖HTK〗(本题满分 60 分,每小题 20 分)

13.设Sn=1+2+3+…+n,n∈N
2

,求f(n)=

的最大值.

14.若函数f(x)=-1/2x +13/2 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 15.已知C0:x2+y2=1 和C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),那么,当且仅当a,b满足什么条件时, 对C1 上任意一点 P,均存在以 P 为顶点、与 C0 外切、与C1 内接的平行四边形?并证明你的结论.

2003 年全国高中数学联合竞赛试卷
得分 评卷人
5

一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)本题共有 6 小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论, 其中有且仅有一个是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不 选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分)。 1.删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列的第 2003 项是 A.2046 B.2047 C.2048 D.2049 答( ) 2.设 a,b∈R,ab≠0,那么直线 ax-y+b=0 和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是 y x y x y x y x

A

B

C

D 答( )

3.过抛物线 y2=8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60o 的直线,若此直线与抛物线交于 A、B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 A.

16 3

B.

8 3

C.

16 3 3

D. 8 3

答( ) 5? ? 2? ? ? , ? ) ,则 y ? tan( x ? ) ? tan( x ? ) ? cos( x ? ) 的最大值是 4.若 x ? (? 12 3 3 6 6 12 2 11 2 11 3 12 3 A. B. C. D. 5 6 6 5 答( ) 4 9 5.已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u ? 的最小值是 ? 4 ? x2 9 ? y 2 8 24 12 12 A. B. C . D. 答( ) 5 11 7 5 6.在四面体 ABCD 中,设 AB=1,CD= 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 A. 得分

?
3

,则四面体 ABCD 的体积等于 )

3 2

B.

1 2

C.

1 3

D.

3 3

答(

评卷人

二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7.不等式 | x | 3-2x2-4| x | +3 < 0 的解集是____________________. 8.设 F1,F2 是椭圆

? PF1F2 的面积等于______________.

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1| : |PF2|=2 : 1,则三角形 9 4


9.已知 A={x|x2-4x+3<0,x∈R},B={x|21 x+a≤0,x2-2(a+7)+5≤0,x∈R},若 A ? B,则实数 a 的取 值范围是___________________. 10.已知 a,b,c,d 均为正整数,且 loga b ?

3 5 , logc d ? ,若 a-c=9,则 b-d = 2 4



11.将 8 个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面
6

及侧面都相切,则此圆柱的高等于______________. 12.设 M n ={(十进制)n 位纯小数 0.a1a2 ? an |ai 只取 0 或 1(i=1,2,…,n-1,an=1},Tn 是 Mn 中元素的个数, Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim 得分 评卷人 三.解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.设
n ??

Sn =_______. Tn

3 ≤x≤5,证明不等式 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19 . 2 1 +bi,Z2=1+ci(其中 a,b,c 都是实数)对应的不共线的三点,证明: 2

14.设 A,B,C 分别是复数 Z0=ai,Z1= 曲线

Z=Z0cos4t+2Z1cos2t sin2t+Z2sin4t (t∈R) 与 ? ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点. 15. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A,且 OA=a. 拆叠纸片,使圆周上某一点 A/ 刚好与 A 点重合,这 样的每一种拆法,都留下一条直线折痕,当 A/取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.

2003 年全国高中数学联合竞赛加试试卷
得分 评卷人 一. (本题满分 50 分)过圆外一点 P 作圆的两条切线和 一条割线,切点为 A,B 所作割线交圆于 C,D 两点,C 在 P,D 之间,在弦 CD 上取一点 Q,使∠DAQ=∠PBC.求证:∠DBQ= ∠PAC. D 得分 评卷人 A Q C B P

3l 3m 3n } ? { } ? { }, 104 104 104 其中{x}=x-[x],而[x]表示不超过 x 的最大整数.求这种三角形周长的最小值.
二. (本题满分 50 分) 设三角形的三边分别是整数 l, m, n, 且 l>m>n, 已知 { 三. (本题满分 50 分)由 n 个点和这些点之间的 t 条连线段组成一个空间图形,其中 n=q2+q+1,t ≥

得分

评卷人

1 q(q ? 1)2 ? 1 ,q≥2,q∈N,已知此图中任圆点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少 2 有 q+2 条连线段,证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点 A,B,C,D 和四条连线段 AB,BC,CD,DA 组成的 图形) .

7

二 OO 四年全国高中数学联合竞赛试题
第 一
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1、设锐角 ? 使关于 x 的方程 x ? 4 x cos ? ? cot ? ? 0 有重根,则 ? 的弧度数为(
2



时间:10 月 16 日



A.

?
6

B.
2

?
12
2

or

5? 12

C.

?
6

or

5? 12

D.

?
12

2、已知 M ? {( x, y ) | x ? 2 y ? 3}, N ? {( x, y ) | y ? mx ? b} 。若对所有 m ? R, 均有 M ? N ? ? ,则 b 的取值范围 是( A. ? ? )

? ?

6 6? , ? 2 2 ?

B. ? ? ?

? ?

6 6? , ? 2 2 ? ?

C. ( ?

2 3 2 3 , ] 3 3


D. ? ?

? 2 3 2 3? , ? 3 ? ? 3

3、不等式 log 2 x ? 1 ? A. [2,3)

1 log 1 x 3 ? 2 ? 0 的解集为( 2 2
C. [2, 4)

B. (2,3]

D. (2, 4]

4、设 O 点在 ?ABC 内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积的比为( A. 2 B.

??? ?

??? ?

????

?



3 2

C. 3

D.

5 3


5、设三位数 n ? abc ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有( A. 45 个 B. 81 个 C. 165 个 D. 216 个

6、 顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形, A 是底面圆周上的点, B 是底面圆内的点, O 为底面圆的圆心, AB ? OB , 垂足为 B, OH ? PB ,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最大时,OB 的长是( ) A.

5 3

B.

2 5 3

C.

6 3

D.

2 6 3

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7 、 在平 面直角坐 标系 xoy 中, 函数 f ( x) ? a sin ax ? cos ax ( a ? 0) 在一 个最小正 周期长 的区间 上的图像 与函数

g ( x) ? a 2 ? 1 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。
8、设函数 f : R ? R, 满足f (0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R, 都有
D1 C1

f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 ,则 f ( x) =_____________________。
9、如图、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

A1 F E D

B1

二面角 A ? BD1 ? A1 的度数是____________。
A

C

8

B

10、设 p 是给定的奇质数,正整数 k 使得 k ? pk 也是一个正整数,则 k=____________。
2

11、已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 ? an ?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 ,则 _________________________。

?a
i ?o

n

1
i

的值是

12、在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4) ,点 P 在 X 轴上移动,当 ?MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为___________________。 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 2 ,则算过关。 问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关? (Ⅱ)他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现 点数。 ) 14、在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, ), B ( ?1, 0), C (1, 0) ,点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离 的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 L 经过 ?ABC 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围。 15、已知 ? , ? 是方程 4 x ? 4tx ? 1 ? 0 (t ? R ) 的两个不等实根,函数 f ( x) ?
2 n

4 3

2x ? t 的定义域为 ?? , ? ? 。 x2 ? 1

(Ⅰ)求 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ; (Ⅱ)证明:对于 ui ? (0,

?
2

)(i ? 1, 2,3) ,若 sin u1 ? sin u2 ? sin u3 ? 1, 则

1 1 1 3 ? ? ? 6。 g (tan u 1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 4

二〇〇五年全国高中数学联合竞赛试题
一、选择题

1.使关于 x 的不等式

≥k 有解的实数 k 的最大值是(



A.

B.

C.

D.

9

2.空间四点 A、B、C、D,满足 A.只有一个 B.有两个



、 C.有四个



,则 D.有无穷多个

的取值(



3.△ABC 内接于单位圆, 三个内角 A、 B、 C 的平分线交此圆于 A1、 B1、 C1 三点, 则 的值是( A.2 ) B.4 C.6 D.8

4.如图,ABCD-A′B′C′D′为正方体,任作平面α与对角线 AC′垂直,使α与正方体的每个面都有公共点,记这 样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l,则( )

A.S 是定值,l 不是定值 C.S、l 均是定值

B.S 不是定值,l 是定值 D.S、l 均不是定值

5.方程

表示的曲线是(



A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

6.记集合 T={0,1,2,3,4,5,6}, 2005 个数是( )

,将 M 中的元素按从大到小顺序排列,则第

A.

B.

10

C.

D.

二、填空题 7.将多项式 f(x)=1-x+x -x +…-x +x 表示为关于 y 的多项式 g(y)=a0+a1y+a2y +…+a19y +a20y ,且 y=x-4,则 a0+a1+…+a20=__________. 8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若 f(2a +a+1)<f(3a -4a+1)成立,则实数 a 的取值范围是_____________. 9.设α、β、γ满足 0<α<β<γ<2π,若对任意 x∈R,cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)=0 成立,则 γ-α=___________.
2 2 2 3 19 20 2 19 20

10.如图,四面体 DABC 的体积为

,∠ACB=45°,

,则 CD=_________.

11.正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上,另外两顶点在 y=x 上,则正方形面积的最小值为_____________. 12.若自然数 a 的各位数字之和为 7,则称 a 是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列:a1、a2、a3…,若 an=2005,则 a5n=______. 三、解答题

2

13.数列{an}满足 a0=1, anan+1-1 为完全平方数.

, n∈N, 证明: (1)对于任意 n∈N, a 为整数; (2)对于任意 n∈N,

14.将编号为 1、2、3、…、9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各一个小球,设圆周上所 有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S,求值 S 达到最小值的方法的概率(若某种方法,经旋转或镜面反射可与另一种 方法重合,则认为是相同方法).
11

15.过抛物线 y=x2 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,C 在抛物线上,E 在线段 AC 上, 在线段 BC 上, ,且λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF 交于 P,当 C 在抛物线上移动时,求 P 的轨迹方程.

,F

2006 年全国高中数学联赛试题 第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 已知△ABC,若对任意 t ? R , BA ? t BC ? AC ,则△ABC 一定为 A.锐角三角形
2

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 答案不确定

【答】 (



2. 设 log x (2 x ? x ? 1) ? log x 2 ? 1 ,则 x 的取值范围为 A.

1 ? x ?1 2

B. x ?

1 ,且 x ? 1 2

C. x ? 1

D. 0 ? x ? 1

【答】 (



3. 已知集合 A ? x 5 x ? a ? 0 , B ? x 6 x ? b ? 0 , a, b ? N ,且 A ? B ? N ? ?2,3, 4? ,则整数对 ?a, b ? 的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 ( )

?

?

?

?

4. 在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, ?BAC ?

?
2

, AB ? AC ? AA1 ? 1 . 已知G与E分别为 A1 B1 和 CC1 的中点,D与F

分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点). 若 GD ? EF ,则线段 DF 的长度的取值范围为 A. ?

? 1 ? , 1? ? 5 ?
3

B. ? , 2 ?

?1 ?5

? ?

C. ?1,

?

2

?

D. ?

? 1 , ? 5

? 2? ?

【答】 (



5. 设 f ( x) ? x ? log 2 x ? A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 6.

?

x 2 ? 1 ,则对任意实数 a, b , a ? b ? 0 是 f (a ) ? f (b) ? 0 的
B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 ( )

?

数码 a1 , a2 , a3 ,? , a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2 a3 ? a2006 的个数为 A.

1 2006 2006 1 (10 ? 8 ) B. (102006 ? 82006 ) 2 2
4 4

C. 10

2006

? 82006 D. 102006 ? 82006

【答】 (



二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 设 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是 。

8. 若对一切 ? ? R,复数 z ? ( a ? cos ? ) ? (2a ? sin ? ) i 的模不超过 2,则实数 a 的取值范围为 .

9. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 与 F2 ,点 P 在直线 l: x ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 上. 当 ?F1 PF2 取最大值时, 16 4
12



PF1 PF2

的值为

.

10. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为

1 cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相 2
cm3. .

切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 11. 方程 ( x
2006

? 1)(1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2004 ) ? 2006 x 2005 的实数解的个数为

12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次恰好取完所有红球的概率 为 . 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 给定整数 n ? 2 ,设 M 0 ( x 0 , y 0 ) 是抛物线 y ? nx ? 1 与直线 y ? x 的一个交点. 试证明对于任意正整数 m ,必存
2

在整数 k ? 2 ,使 ( x 0 , y 0 ) 为抛物线 y ? kx ? 1 与直线 y ? x 的一个交点.
2

m

m

14.

将 2006 表示成 5 个正整数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 之和. 记 S ? (1)当 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 取何值时,S 取到最大值;

1?i ? j ?5

?

xi x j . 问:

(2)进一步地,对任意 1 ? i, j ? 5 有 xi ? x j ? 2 ,当 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 取何值时,S 取到最小值. 说明理由.

15. 设 f ( x) ? x ? a . 记 f ( x) ? f ( x) , f ( x) ? f ( f
2 1 n

n ?1

( x)) ,n ? 2,3,? ,

1? ? M ? a ? R 对所有正整数 n, f n (0) ? 2 . 证明: M ? ?? 2, ? . 4? ?

?

?

2006 年全国高中数学联合竞赛加试试卷
(考试时间:上午 10:00—12:00) 一、以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与△AB0B1 的边 ABi 交于 P1 长线上任取点 P0,以 B0 为圆心, B0P0 为半径作圆弧 A Q0;以 C1 为圆心,C1Q0 为半径作圆弧 Q0P1 交 B1A 的 B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1; 以 C0 弧 Q1P′0 ,交 AB0 的延长线于 P′0。试证: (1)点 P′0 与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切 (2)四点 P0、Q0、Q1、P1 共圆。 C0 二 、 已 知 无 穷 数 列 {an} 满 足 a0=x , a1=y , C1 B0 B1 2、…。 (1)对于怎样的实数 x 与 y,总存在正整数 n0,使当 (2)求数列{an}的通项公式。
13

Ci ( i=0 , 1 ) 。在 AB0 的延 P0Q0 交 C1B0 的 延 长 线 于 延长线于 P1; 以 B1 为圆心, 为圆心, C0Q1 为半径作圆 于 P0;
Q1 Q0 P0(P0 ' )

an ?1 ?

an an ?1 ? 1 , n=1 、 an ? an ?1

n0≥n 时 an 恒为常数?

?x ? y ? z ? w ? 2 ? 2 2 2 2 ?x ? y ? z ? w ? 6 三、解方程组 ? 3 。 3 3 3 ? x ? y ? z ? w ? 20 ? x 4 ? y 4 ? z 4 ? w4 ? 66 ?

2007 年全国高中数学联合竞赛一试试题

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)

1.如图, 在正四棱锥 P-ABCD 中, ∠APC=60°, 则二面角 A-PB-C 的平面角

的余弦值为( )

A.

B.

C.
2

D.

2.设实数 a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 对任意实数 x 恒成立,则满足条件的 a 所组成的集合是( )

A.

B.

C.

D.[-3,3]

3.将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同.甲从袋中摸出一个球, 其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b.则使不等式 a-2b+10>0 成立的事件发生的概率等于( )

A.

B.

C.

D.

4.设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x-c)=1 对任意实数 x 恒成立,则

的值等于( )

A.

B.

C.-1

D.1

5.设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆,动圆 P 与这两个定圆都相切,则圆 P 的圆心轨迹不可能是( )
14

6.已知 A 与 B 是集合{1,2,3,…,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同,且为 A∩B 空集.若 n∈A 时总 有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个数最多为( ) A.62 B.66 C.68 D.74

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.在平面直角坐标系内, 有四个定点 A(-3, 0), B(1, -1), C(0, 3), D(-1, 3)及一个动点 P, 则|PA|+|PB|+|PC|+|PD| 的最小值为__________.

8.在△ABC 和△AEF 中,B 是 EF 的中点,AB=EF=1,BC=6, 余弦值等于________.

,若

,则



的夹角的

9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,以顶点 A 为球心, 到的曲线的长等于__________.

为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得

10.已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数.若 a1=d,b1=d ,且 是正整数,则 q 等于________.

2

11.已知函数

,则 f(x)的最小值为________. 若

12.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小方格内至多填 1 个字母, 使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有________种(用数字作答). 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

13.设

,求证:当正整数 n≥2 时,an+1<an.

14.已知过点(0,1)的直线 l 与曲线 C: 迹.

交于两个不同点 M 和 N.求曲线 C 在点 M、N 处切线的交点轨

15

15.设函数 f(x)对所有的实数 x 都满足 f(x+2π)=f(x),求证:存在 4 个函数 fi(x)(i=1,2,3,4)满足: (1)对 i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数 x,有 fi(x+π)=fi(x); (2)对任意的实数 x,有 f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x.

2007 年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、(本题满分 50 分) 如图,在锐角△ABC 中,AB<AC,AD 是边 BC 上的高,P 是线段 AD 内一点.过 P 作 PE⊥AC,垂足为 E,做 PF⊥AB,垂足为 F.O1、O2 分别是△BDF、△CDE 的外心.求证:O1、 F 四点共圆的充要条件为 P 是△ABC 的垂心. 二、(本题满分 50 分) 如图,在 7×8 的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点,那么 称这两个棋子相连.现从这 56 个棋子中取出一些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依 次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由. O2、E、

三、(本题满分 50 分)

设集合 P={1,2,3,4,5},对任意 k∈P 和正整数 m,记 f(m,k)= 求证:对任意正整数 n,存在 k∈P 和正整数 m,使得 f(m,k)=n.

,其中[a]表示不大于 a 的最大整数.

16

2008 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(A 卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分 标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中 5 分为一 个档次,不要增加其他中间档次.

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.函数 f ( x) ? A. 0

5 ? 4x ? x2 在 (??, 2) 上的最小值是 2? x
B.1 C. 2 D.3





2.设 A ? [ ?2, 4) , B ? {x x 2 ? ax ? 4 ? 0} ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围为 A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. [0,3] D. [0,3)





3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设 甲在每局中获胜的概率为 为 A. (

2 1 , 乙在每局中获胜的概率为 , 且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E? 3 3


241 670 266 274 B. C. D. 81 243 81 81 4 . 若 三 个 棱 长 均 为 整 数 ( 单 位 : cm ) 的 正 方 体 的 表 面 积 之 和 为 564 cm2 , 则 这 三 个 正 方 体 的 体 积 之 和 为
( ) B. 764 cm3 D. 586 cm3

A. 764 cm3 或 586 cm3 C. 586 cm3 或 564 cm3

? x ? y ? z ? 0, 5.方程组 ? 的有理数解 ( x, y, z ) 的个数为 ? xyz ? z ? 0, ? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4





6.设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则

sin A cot C ? cos A 的取值范围是 sin B cot C ? cos B
( )

A. (0, ??)

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
C. (

5 ?1 ) 2 5 ?1 D. ( , ??) 2
B. (0,

7.设 f ( x) ? ax ? b ,其中 a, b 为实数, f1 ( x) ? f ( x) , f n ?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? 1, 2,3,? ,若 f 7 ( x) ? 128 x ? 381 ,则
17

a?b ?

. . 种.

1 8.设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a (1 ? cos x) 的最小值为 ? ,则 a ? 2

9.将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 10.设数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn ? an ?

n ?1 , n ? 1, 2,? ,则通项 a n = n(n ? 1)



11.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2 x , f ( x ? 6) ? f ( x ) ? 63 ? 2 x ,则 f (2008) =



12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到 的容器内壁的面积是. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图像与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为 ? ,求证:

cos ? 1? ? 2 . ? sin ? ? sin 3? 4?
14.解不等式

log 2 ( x12 ? 3 x10 ? 5 x8 ? 3 x 6 ? 1) ? 1 ? log 2 ( x 4 ? 1) .
15.如题 15 图, P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,点 B,C 在 y 轴上,圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 内切于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最 小值.

题 15 图

18

2009 年全国高中数学联赛
一 试

一、填空(每小题 7 分,共 56 分) x ? 99 ? 1. 若函数 f ? x ? ? 且 f (n) ? x ? ? f ? f ? f ? x ?? ?? ?? ?f ? ? ,则 f ?1? ? 2 ??? ???? ? 1? x
n



2. 已知直线 L : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x ? 2 y ? 8 x ? 8 y ? 1 ? 0 ,点 A 在直线 L 上, B , C 为圆 M 上两点,在 ?ABC 中, ?BAC ? 45? , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范围为 . ?y≥0 ? 3. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ x , N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t ≤ x ≤ t ? 1 所确定, t ?y ≤2 ? x ?
2 2

的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ,则 M 和 N 的公共面积是函数 f ? t ? ? 4. 使不等式

. . .

1 1 1 1 ? ?? ? ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的值为 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3 2 2 x y 5. 椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 上任意两点 P , Q ,若 OP ? OQ ,则乘积 OP ? OQ 的最小值为 a b 6. 若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 .

7. 一个由若干行数字组成的数表, 从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和, 最后一行仅有一个数, 第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示) 8. 某车站每天 8 ∶00 ~ 9∶00 ,9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相 互独立的,其规律为 8 ∶ 10 8 ∶ 30 8 ∶ 50 到站时刻 9∶ 10 9∶ 30 9∶ 50 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 8 (精确到分) . ∶20 到车站,则它候车时间的数学期望为 二、解答题 x2 y 2 x2 y 2 1. (14 分) 设直线 l : y ? kx ? m(其中 k ,m 为整数) 与椭圆 ? ? 1 交于不同两点 A ,B ,与双曲线 ? ?1 16 12 4 12 ???? ??? ? 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使得向量 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说 明理由. 2. (15 分)已知 p , q ? q ? 0 ? 是实数,方程 x 2 ? px ? q ? 0 有两个实根 ? , ? ,数列 ?an ? 满足 a1 ? p , a2 ? p 2 ? q , (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式(用 ? , ? 表示) ; (Ⅱ)若 p ? 1 , q ?

an ? pan?1 ? qan?2 ? n ? 3 ,4 , ??

1 ,求 ?an ? 的前 n 项和. 4

3. (15 分)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值.

19

加试 一、填空(共 4 小题,每小题 50 分,共 200 分)

? 、? 9. 如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B )的外接圆 ? 上弧 BC AC 的中点.过点 C 作 PC ∥ MN 交 圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 ? 于 T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ) ⑵在弧 ? ,记 ?AQC , △QCB 的内心分别为 I , I ,
1 2

求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆.

10. 求证不等式: 1 ? n k ? ?1 ? ? ? 2 ? ln n ≤ , n ? 1 ,2,… ? 2 ? k ?1 k ? 1 ? 11. 设 k , l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Ck m 与 l 互素. 12. 在非负数构成的 3 ? 9 数表 ? x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 ? ? ? P ? ? x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 ? ?x x x x x x x x x ? ? 31 32 33 34 35 36 37 38 39 ? 中每行的数互不相同,前 6 列中每列的三数之和为 1, x17 ? x28 ? x39 ? 0 , x27 , x37 , x18 , x38 , x19 , x29 均大于.如果 P 的前三列构成的数表 ? x11 x12 x13 ? ? ? S ? ? x21 x22 x23 ? ?x x x ? ? 31 32 33 ? ? x1k ? ? ? 满足下面的性质 (O) :对于数表 P 中的任意一列 ? x2 k ? ( k ? 1 ,2,…,9)均存在某个 i ? ?1 ,2 ,3? 使得 ?x ? ? 3k ? ⑶ xik ≤ ui ? min ? xi1 ,xi 2 ,xi 3 ? .求证: (ⅰ)最小值 ui ? min ? xi1 ,xi 2 ,xi 3 ? , i ? 1 ,2,3 一定自数表 S 的不同列.

? x1k * ? ? ? (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 ? x2 k * ? , k * ≠ 1 ,2,3 使得 3 ? 3 数表 ? ?x ? ? ? 3k * ? ? x11 x12 x1k * ? ? ? S ? ? ? x21 x22 x2 k * ? ? ? x31 x32 x ? ? 3k * ? ? 仍然具有性质 (O) .
20

2010 年全国高中数学联赛 一
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分, ) 1. 函数 f ( x) ? x ? 5 ? 24 ? 3 x 的值域是 . .



2. 已知函数 y ? (a cos 2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是

3. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数 的点)的个数是 .

4. 已知 {a n } 是公差不为 0 的等差数列, {bn } 是等比数列,其中 a1 ? 3, b1 ? 1, a 2 ? b2 ,3a5 ? b3 ,且存在 常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 a n ? log ? bn ? ? ,则 ? ? ? ? .

5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8,则它在这个区间上的最小 值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另一 人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条 棱 长 都 相 等 , P 是 CC1 的 中 点 , 二 面 角 B ? A1 P ? B1 ? ? , 则
sin ? ?

. .

8. 方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 二、解答题(本题满分 56 分)

9. (16 分)已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1 ,试求 a 的最大值. 10. (20 分) 已知抛物线 y 2 ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B ( x2 , y2 ) , 其中 x1 ? x 2 且 x1 ? x 2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值. 11.(20 分)证明:方程 2 x 3 ? 5 x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严格递增正整数数列 {a n } , 使得

2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? . 5

21

2010 年全国高中数学联赛
A O B EK C D P Q M N





1. (40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O,K 是边 BC 上一点 (不是边 BC 的中点) ,D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于 点 N,直线 CD 与 AB 交于点 M. 求证:若 OK⊥MN,则 A,B,D,C 四点共圆.

2. (40 分)设 k 是给定的正整数, r ? k ? 在正整数 m,使得 f
(m)

1 (1) (l ) (l ?1) (r )), l ? 2 .证明:存 .记 f ( r ) ? f ( r ) ? r ? ?r ? ? , f (r ) ? f ( f 2

?1? (r ) 为一个整数.这里, ? ? x? ? 表示不小于实数 x 的最小整数,例如: ? ? ? 1 , ? ?1? ? ? 1. ?2?

3.

(50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 , a2 , ? , an 满足 ak ? 1, k ? 1, 2, ? , n ,记

Ak ?
求证:

a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ? , n . k

? ak ? ? Ak ?
k ?1 k ?1

n

n

n ?1 . 2

4.

(50 分)一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A1 A2 ? An 的每个顶点处赋值 0 和 1 两个数中的一个,同时在每个

顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少 种不同的密码设置?

2011 年全国高中数学联赛
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)





1 . 设 集 合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } , 若 A 中 所 有 三 元 子 集 的 三 个 元 素 之 和 组 成 的 集 合 为 B ? {?1, 3, 5, 8} , 则 集 合
A?

. 2.函数 f ( x) ?
x2 ? 1 的值域为 x ?1

. . .

3.设 a, b 为正实数,

1 1 ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 log a b ? a b

4.如果 cos 5 ? ? sin 5 ? ? 7(sin 3 ? ? cos 3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是

5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参 加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 . (用数字作答) 6.在四面体 ABCD 中,已知 ?ADB ? ?BDC ? ?CDA ? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则四面体 ABCD 的外接球的半径 为 .
22

7 . 直 线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与 抛 物 线 y 2 ? 4 x 交 于 A, B 两 点 , C 为 抛 物 线 上 的 一 点 , ?ACB ? 90? , 则 点 C 的 坐 标 为 8.已知 a n ? C
n 200


? 6
3

? ?

200 ? n

? 1 ? ? (n ? 1,2, ? ,95) ,则数列 {a n } 中整数项的个数为 ?? ? ? ? 2?

n



二、解答题(本大题共 3 小题,共 56 分)
9. (16 分)设函数 f ( x) ?| lg( x ? 1) | ,实数 a, b(a ? b) 满足 f (a) ? f (? 10. (20 分)已知数列 {a n } 满足: a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) ,
a n ?1 ? (2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 (n ? N * ) . a n ? 2t n ? 1 b ?1 ) , f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a, b 的值. b?2

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 a n ?1 与 a n 的大小.
x2 y 2 1 11. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : ? ,且 P(3 2 , 2 ) 在直 ? 1 交于 A, B 两点(如图所示) 3 36 4

线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面积.

y P O A x B


?AQB ? ?CQB .



1. ( 40 分 ) 如 图 , P, Q 分 别 是 圆 内 接 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 AC , BD 的 中 点 . 若 ?BPA ? ?DPA , 证 明 :

2. (40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) ? x n ? a n ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a 0

具有如下性质: (1) a 0 , a1 , ? , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ? , rk ,均有
f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) .

3. (50 分) 设 a1 , a 2 , ? , a n (n ? 4) 是给定的正实数,a1 ? a 2 ? ? ? a n . 对任意正实数 r , 满足 的三元数组 (i, j , k ) 的个数记为 f n (r ) . 证明: f n (r ) ?
n2 . 4

a j ? ai ak ? a j

? r (1 ? i ? j ? k ? n)

4.(50 分) 设 A 是一个 3 ? 9 的方格表, 在每一个小方格内各填一个正整数. 称 A 中的一个 m ? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方 格表为“好矩形” ,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中的一个 1? 1 的小方格为“坏格” ,若它不包含于任何一个“好 矩形” .求 A 中“坏格”个数的最大值.
23

2012年全国高中数学联赛
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.

2 ( x ? 0 )的图 像上任意一点,过点 P 分别向 x ??? ? ??? ? 直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足分别为 A, B ,则 PA ? PB 的值是_____________.
1.设 P 是函数 y ? x ?

6.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x .若对任意的 x ? [ a, a ? 2] ,不等式 f ( x ? a ) ? 2 f ( x) 恒 成立,则实数 a 的取值范围是_____________.

?

1 ? 1 ? sin ? 的所有正整数 n 的和是_____________. 4 n 3 8.某情报站有 A, B, C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中等可 能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.(用最简分数表示)
7.满 足 二、 解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9. (本小题满分16分)已知函数 f ( x) ? a sin x ?

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围;

1 3 1 cos 2 x ? a ? ? , a ? R, a ? 0 2 a 2

(2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使 得 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.

10. (本小题满分20分)已知数列 ?an ? 的各项均为非零实数,且对于任意的 正整数 n ,都有
3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a13 ? a2 ? ? ? an

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 , a2 , a3 ; (2)是否存在满足条件的无穷数列 {an } ,使得 a2013 ? ?2012? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.

11. (本小题 满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 XOY 中,菱形 ABCD 的边长为 4 ,且 OB ? OD ? 6 . (1)求证: | OA | ? | OC | 为定值;
24

(2)当点A在半 圆 ( x ? 2) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求
2 2

点 C 的轨迹.

三、 (本题满分 50 分) 设 P0 , P 1, P 2 ,? , P n 是平面上 n ? 1 个点,它们两两间的距离的最小值为 d ( d ? 0) 求证: P0 P 1 ? P 0P 2 ?? P 0P n ?( ) 四、 (本题满分 50 分) 设 Sn ? 1 ?

d 3

n

(n ? 1)!

1 1 ? ? ? , n 是正整数.证明:对满足 0 ? a ? b ? 1 的任意实数 a, b ,数列 {S n ? [ S n ]} 中有无穷多项属于 2 n (a, b) .这里, [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数.

25

26

27

2014 年全国高中数学联赛

28


更多相关文档:

2000年全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联赛试题及解答。高中数学竞赛试题,可以研究研究以求得对数学的更深入了解。2000 年全国高中数学联赛 冯惠愚 2000 年全国高中数学联合竞赛试卷 (10...

2000年全国高中数学联赛试题及解答6

2000年全国高中数学联赛试题及解答6_学科竞赛_高中教育_教育专区。2000 年全国高中数学联赛 2000 年全国高中数学联合竞赛试题解答 第一试 一.选择题(本题满分 36 ...

2000年全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。第1页 共6页 ...2014全国高考状元联手分享状元笔记 衡水中学文科学霸高中数学笔记 清华附中文科学霸...

2000-2012年十年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

2000-2012年十年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。rt2000 年全国高中数学联赛试题第一试(10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、 ...

历年全国高中数学联赛试题及答案解析全集(1988-2015)_28年全国高中数学联赛试题汇编

全国高中数学联赛试题及答案解析 2000 全国高中数学联赛试题及答案解析 1099 全国...T j ? 5 .---(22 分) 2014 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一、填空...

2000年全国高中数学联赛试题及点评

2000年全国高中数学联赛试题及点评_学科竞赛_高中教育_教育专区。我们老师点评,有多题给出独特的解法 2000 年全国高中数学联合竞赛试题 第一试一、选择题(本题满分...

历年(2000-2010)全国高中数学联赛参考答案及评分标准

Luyiping97@163.com 2000 年全国高中数学联赛试题第一试(10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、 选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A)(B)(C)(D)四...

2000年全国高中数学联赛试题

2000 年全国高中数学联赛试题第一试(10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、(B) 、(C) 、(D)四个结论,其中...

2000年全国高中数学联赛试题

2000 年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 选择题( 1.设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ≤0},B={x| 10 x (A)...
更多相关标签:
全国高中数学联赛试题 | 2000全国高中数学联赛 | 全国高中化学联赛试题 | 全国初中数学联赛试题 | 2016高中数学联赛试题 | 高中数学联赛试题 | 2015高中数学联赛试题 | 2016全国生物联赛试题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com