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山西省山大附中2014届高三8月月考数学文试题


山西大学附中 2013 年高三第一学期 8 月月考

数学试题(文)
考试时间:110 分钟 满分:150 分 考查内容:高中全部 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1.满足 i 3 ? z ? 1 ? 3i 的复数 z 的共轭复数是( .... A. ? 3 ? i B. ? 3 ? i C. 3 ? i 2.已

知函数 f ( x) ? ( A. ? x | x ? ?1? ) ) D. 3 ? i

1 的定义域为 M , g ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 N ,则 M ? N ? 1? x
C. ? x | ?1 ? x ? 1? D. ?

B. ? x | x ? 1?

3.已知 a, b 是实数,则“ a ? 0 或 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点,PB ? PC ? 2PA ? 0 , 现将一粒红豆随机撒在 ?ABC 内,则红豆落在 ?PBC 内的概率是( ) 开始 1 1 2 1 A. B. C. D. 5.如图所示,程序框图输出的所有实数对 ? x, y ? 所对应的点都在函数( A. y ? x ? 1 的图象上
x

??? ??? ? ?

??? ?

?

4

3

3

2

x=1,y=1

) B. y ? 2 x 的图象上
x ?1

C. y ? 2 的图象上 D. y ? 2 的图象上 6.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,

x=x+1,y=2y x<4? 否 结束 是 输出(x,y)

如果 cos?2 B ? C ? ? 2 sin A sin B ? 0 ,那么三边长 a、 b、c 之间满足的关系是( ) 2 2 A. 2ab ? c B. a ? b 2 ? c 2

C. 2bc ? a 2 D. b 2 ? c 2 ? a 2 7.四棱锥 P ? ABCD 的三视图如右图所示,其中 a ? 2 ,四棱 锥 P ? ABCD 的五个顶点都在一个球面上,则该球表面积为 ( ) A. 12? B. 24? C. 36? D. 48? 2 8.圆心在抛物线 y ? 2 x 上,且与该抛物线的准线和 x 轴都相 切的圆的方程是( ) A. ? x ?

? ?

1? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 2?
2 2

2

B. ? x ?

? ?

1? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1 2?
2

2

1? ? 1? 1 1? 2 ? ? C. ? x ? ? ? ? y ? ? ? D. ? x ? ? ? ? y ? 1? ? 1 2? ? 2? 4 2? ? ? 9 . 设 f (x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 满 足 条 件 y ? f ( x ? 1) 是 偶 函 数 , 且 当 x ? 1 1 2 3 1 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 ,则 f ( ) , f ( ) , f ( ) 的大小关系是( ) 3 2 2 3 2 3 1 2 1 3 A. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 2 3 3 3 2 3 2 1 1 3 2 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) D. f ( ) ? ( ) ? f ( ) 2 3 3 3 2 3

10.离心率为 e1 的椭圆与离心率为 e2 的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的 端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则 A. ?

e12 ? 1 ? ( 2 e2 ? 1

)

11.已知 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) 在 ?0,??? 上 是增函数,如果 f ( ax ? 1) ? f ( x ? 2)在

1 e2

B. ? e2

C. ?

1 e1

D. ? e1

1 ) x ? [ ,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( 2 A. [?2,1] B. [?5,0] C. [?5,1]
则三棱锥 S ? ABC 的体积为( A. 3 3 B. 2 3 C. )

D. [?2,0]

? 12.已知球的直径 SC ? 4 , A, B 是该球面上的两点, AB ? 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30 ,

3

D.

3 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。共 20 分。 ) 13.某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年 级抽取的学生人数为 . 一年级 二年级 三年级 女生 男生 373 377

x
370

y

z

14. 已知 {an } 为等比数列, s n 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2a7 的等差中项为

5 ,则 S 5 = 4

.

?x ? y ? 2 ? 0 ?4 x ? y ? 4 ? 0 ? 15.设 x 、 y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值 ?x ? 0 ?y ? 0 ? 1 2 为 6 ,则 log 3 ( ? ) 的最小值为 . a b
16. 下列命题中,真命题的序号为 . (1)在 ?ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B ; (2)已知 AB ? (3,4), CD ? (?2,?1) ,则 AB 在 CD 上的投影为 ? 2 ; (3)已知 p : ?x ? R, cos x ? 1 , q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则“ p ? ?q ”为假命题;
2

(4)要得到函数 y ? cos( ?

x 2

?

x ? ) 的图象,只需将 y ? sin 的图象向左平移 个单位. 4 2 4
b?c ? cos B ? cos C . a

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤。 ) 17. (本题满分 12 分)设△ ABC 的三边为 a, b, c 满足 (Ⅰ)求 A 的值;

(Ⅱ)求 2 cos2

B C ? 2 3 cos2 的取值范围. 2 2

18. (本题满分 12 分)为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生 中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于 6 米为不合格,成绩在 6 至 8 米 (含 6 米不含 8 米)的为及格,成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米,假定该市初二学生掷 实心球均不超过 12 米)为优秀.把获得的所有数据,分成 [2, 4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12] 五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间. (Ⅰ)求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目 测试的人数; (Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球” 成绩为优秀的概率; (Ⅲ) 若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生再进行其它项目的测试, 求所抽 取的 2 名学生来自不同组的概率. 频率分布直方图
频率 组距

0.200

0.150

0.075 a 0.025

19 . 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 四 棱 锥 ( 2 的底面是直角梯形, P ? ABCD AB // CD , AB ? AD , ?PAB 和 ?PAD 是两个边长为 2 的正三角形, DC ? 4 , O 为 BD 的中点, E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求证: OE // 平面 PDC ; (Ⅲ)求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值.
2 2

4

6

8
P
E

10

12



A
O

B
C

D

20. (本题满分 12 分)已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程;

x y 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 ( 2 ,1) . 2 3 a b

(Ⅱ)若过点 C(-1,0)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,试问在 x 轴上 是否存在点 M ,使 MA ? MB ? 在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x ,其中 b 为常数。
2

???? ???? ? ?

5 3k ? 1
2

是与 k 无关的常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存

(Ⅰ)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)若函数 f ( x) 有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x) 的极值点。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程 ? 的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ,射线 OM : ? ? 为 O, P ,与直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数) O 为极点, x 轴 .以 ? y ? sin ?

?
3

与圆 C 的交点

已知函数 f ( x) ? x ? a
(I)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ? 1 ? x ? 5 ,求实数 a 的值; (II)在(I)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围.

?

?

山西大学附中 2013 年高三第一学期 8 月月考

数学答案

1. D. 2. C. 3 B 4 D 5 D. 6.C (文 B) 7.A 8.B 9.A 10.D 11.D 12.C 13. 16 14.31 15.2 16.(1)(3) 17. 【解析】(1) b ? c ? a cos B ? a cos C , : 所以 sin B ? sin C ? sin A cos B ? sin A cos C , 所以 sin( A ? C ) ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? sin A cos C , 1分 2分 3分

所以 sin A cos C ? cos Asin C ? sin A cos B ? cos Asin B ? sin A cos B ? sin A cos C 所以 cos A sin C ? cos A sin B ? 0 , 4分 即 cos A(sin C ? sin B) ? 0 所以 cos A ? 0 ,所以 A ? (2) (2) 2cos 2 = 2sin( B ? 5分 6分 7分

) ? 3 ?1 6 π 其中 B ? (0, ), 2 ? ? 2π 因为 ? B ? ? , 6 6 3 1 ? 所以 ? sin( B ? ) ? 1 2 6
所以 3 ? 2 ? 2sin( B ?

?

B C 1 ? cos C ? 2 3 cos 2 = 1 ? cos B ? 2 3 ? 2 2 2

π 2

9分

11 分

?
6

) ? 3 ?1 ? 3 ? 3

12 分

18.解(Ⅰ)由题意知,乙每局获胜的概率皆为 1 ?

2 1 ? .…………1 分 3 3

比 赛 进 行 4 局 结 束 , 且 乙 比 甲 多 得 2 分 即 头 两 局 乙 胜 一 局 , 3,4 局 连 胜 , 则

4 1 1 2 1 1 P2 ? C2 ? ? ? ? . 3 3 3 3 81 (Ⅱ)由题意知, ? 的取值为 2, 4, 6 . 2 2 1 2 5 则 P(? ? 2) ? ( ) ? ( ) ? 3 3 9 20 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 P(? ? 4) ? C2 ( ) ? C2 ( ) ? 33 3 33 3 81 16 1 1 2 2 P(? ? 6) ? (C2 ) ? 33 81 所以随机变量 ? 的分布列为 ? 6 2 4

…………4 分 ………5 分 …………6 分 …………7 分 …………9 分

P

5 9

20 81

16 81
………10 分

5 20 16 266 则 E? ? 2 ? ? 4 ? …………12 ? 6? ? 9 81 81 81 (文科)解: (Ⅰ)由题意可知 (0.2 ? 0.15 ? 0.075 ? a ? 0.025) ? 2 ? 1 ,解得 a ? 0.05 .

所以此次测试总人数为

4 ? 40 . 0.05 ? 2

…………………4 分 答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为 40 人. (Ⅱ)由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为 (0.15 ? 0.05) ? 2 ? 0.4 ,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优 秀的概率为 0.4 . ……7 分 (Ⅲ)设事件 A:从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生来自不同组. 从这 8 人中随机抽取 2 人有 ab, aA, aB, aC, aD, aE, aF , bA, bB, bC, bD, bE, bF , A B A C A D A,E A F B C B D ,B E , B F , C D C E C F 共 ,E 种情况. , , , , , , , , , D 28 D F E F 事件 A 包括 aA, aB, aC , aD, aE , aF ,bA,bB ,bC ,bD ,bE ,bF 共 12 种情况. 所以 P( A) ?

由已知,测试成绩在 ? 2, 4 ? 有 2 人,记为 a, b ;在 ? 4, 6 ? 有 6 人,记为 A, B, C, D, E, F .

12 3 ? . 28 7
3 . …………………12 7

答:随机抽取的 2 名学生来自不同组的概率为

19 (Ⅰ)证明:设 F 为 DC 的中点,连接 BF ,则 DF ? AB ∵ AB ? AD , AB ? AD , AB // DC ,∴四边形 ABFD 为正方形, ∵ O 为 BD 的中点,∴ O 为 AF , BD 的交点, ∵ PD ? PB ? 2 , PO ? BD , ∵ BD ?

P

AD 2 ? AB 2 ? 2 2 ,
A

E

1 O ∴ PO ? PB ? BO ? 2 , AO ? BD ? 2 , D F 2 2 2 2 在三角形 PAO 中, PO ? AO ? PA ? 4 ,∴ PO ? AO , ∵ AO ? BD ? O ,∴ PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)方法 1:连接 PF ,∵ O 为 AF 的中点, E 为 PA 中点,∴ OE // PF , ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC ,∴ OE // 平面 PDC . P 方法 2:由(Ⅰ)知 PO ? 平面 ABCD ,又 AB ? AD ,所以过 O 分别做 AD, AB 的平行线,以它们做 x, y 轴,以 OP 为 z 轴
2 2

B
C

建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知得: A(?1, ?1,0) ,B(?1,1,0) ,D(1, ?1,0) F (1,1,0) ,

E

1 1 2 A C (1,3,0) , P(0,0, 2) , E (? , ? , ) , 2 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 2 D x PF ? (1,1, ? 2) 则 , , OE ? (? , ? , ) 2 2 2 ??? ? ??? ? PD ? (1, ?1, ? 2) , PC ? (1,3, ? 2) . ??? ? ? 1 ??? ∴ OE ? ? PF ∴ OE / / PF ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC , 2

B
O
y

F

C

∴ OE // 平面 PDC ; ? (Ⅲ) 设平面 PDC 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ ,

? ???? ? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0 ?n?PC ? 0 ? ? 则 ? ? ???? ,即 ? , ? ?n?PD ? 0 ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ? ? y1 ? 0 ? ? ? 解得 ? ,令 z1 ? 1 ,则平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( 2, 0,1) , ? x1 ? 2 z1 ?

又 CB ? (?2, ?2, 0) 则 sin θ ? cos ? n , CB ? ?

??? ?

? ? ???

2 2 3 ? , 3 3?2 2
3 . 3
2

∴直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为

b 1 c 6 6 20. 【解析】(1)∵椭圆离心率为 : ,∴ ? ,∴ 2 ? . 3 a 3 a 3
又? 椭圆过点( 2 ,1) ,代入椭圆方程,得 所以 a 2 ? 5, b2 ? ∴椭圆方程为
5 . 3
2 1 ? ?1. a 2 b2

1分

2分

4分

x2 y 2 5分 ? ? 1 ,即 x 2 ? 3y 2 ? 5 . 5 5 3 ???? ???? ? ? 1 5 (2)在 x 轴上存在点 M ( , 0) ,使 MA ? MB ? 2 是与 K 无关的常数. 6 分 6 3k ? 1 ???? ???? ? ? 5 证明:假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使 MA ? MB ? 2 是与 k 无关的常数, 3k ? 1 ∵直线 L 过点 C(-1,0)且斜率为 K,∴L 方程为 y ? k(x ? 1) ,

? x 2 ? 3 y 2 ? 5, 由? 得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 . ? y ? k ( x ? 1),
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
???? ? ???? ? ∵ MA ? (x1 ? m, y1 ), MB ? (x 2 ? m, y2 ),

7分

? 6k 2 3k 2 ? 5 , x1 ? x2 ? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

8分

∴ MA ? MB ?

???? ???? ? ?

5 3k ? 1
2

? (x1 ? m)(x 2 ? m) ? y1 y1 ?

5 3k ? 1
2

9分

= ? x1 ? m ?? x2 ? m ? ? k 2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? = 1 ? k 2 x1 x2 ? k 21 ? m
2

5 3k ? 1
2

?

?

?

?? x ? x ? ? m
1 2

2

? k2 ?

5 3k ? 1
2

3k 2 ? 5 ?6k 2 5 2 ? ? k ? m? 2 ? m2 ? k 2 ? 2 = ?1 ? k ? 2 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1
=

?k 2 ? 6mk 2 ? 3m2 k 2 ? m2 3k 2 ? 1
?k 2 ? 6mk 2 ? 3m2 k 2 ? m2 ?t. 3k 2 ? 1

10 分

设常数为 t,则

11 分

整理得 (3m2 ? 6m ? 1 ? 3t)k 2 ? m2 ? t ? 0 对任意的 k 恒成立,

?3m 2 ? 6m ? 1 ? 3t ? 0, 1 ? ?? 2 解得 m ? , 6 ?m ? t ? 0. ?

即在 x 轴上存在点 M( , 0 ) 使 MA ? MB ? ,

1 6

???? ???? ? ?

5 3k ? 1
2

是与 K 无关的常数.

12 分

21 解: (Ⅰ)由题意知, f ( x) 的定义域为 (0,??) ,

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x 2 ? 2x ? b 2 2 ( x ? 0) f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x 1 ∴当 b ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2 1 (Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当 b ? 时,函数 f ( x) 无极值点. 2
②b ?

(2 x ? 1) 2 1 1 ? 0 有两个相同的解 x ? , 时, f ' ( x) ? 2x 2 2

但当 x ? (0, ) 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, f '( x) ? 0

1 2

1 2

1 时,函数 f ( x) 在 (0, ?) 上无极值点. ? 2 1 ③当 b ? 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, 2 ?b ?
x1 ? 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? , x2 ? ? 2 2 2 2 1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0,??),舍去 , 2 2

? i) b ? 0 时, x1 ?

而 x2 ?

1 1 ? 2b ? ? 1? (0, ??) , 2 2

此时 f ?( x) , f ( x) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(0, x2 )

x2

( x2, ?) ?

?


0
极小值

?


由此表可知:当 b ? 0 时, f ( x) 有惟一极小值点 , x 2 ?

1 1 ? 2b ? 2 2

ii)

当0 ? b ?

1 时,0< x1 ? x2 <1 2

此时, f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(0,x1 )

x1

( x1,x2 )

x2

( x2, ?) ?

?


0
极大值

?


0
极小值

?


1 1 ? 2b 1 时, f ( x) 有一个极大值 x1 ? ? 2 2 2 1 1 ? 2b 和一个极小值点 x 2 ? ? ; 2 2
由此表可知: 0 ? b ? 综上所述: 当且仅当 b ?

1 时 f ( x) 有极值点; 2

1 1 ? 2b ? ; 2 2 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 1 当 0 ? b ? 时, f ( x) 有一个极大值点 x ? ? 和一个极小值点 x ? ? 2 2 2 2 2 2 2 22.【解析】:(Ⅰ)圆 C 的普通方程是 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ; 所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? .
当 b ? 0 时, f ( x) 有惟一最小值点 , x ?

? ?1 ? 2 cos ?1 ? ?1 ? 1 ? ? (Ⅱ)设 ( ?1 , ?1 ) 为点 P 的极坐标,则有 ? 解得 ? ? ? . ? ?1 ? 3 ??1 ? 3 ? ? ? ? 2 (sin ? 2 ? 3 cos ? 2 ) ? 3 3 ? 设 ( ? 2 , ? 2 ) 为点 Q 的极坐标, 则有 ? 错误! 未找到引用源。 解 ? ?2 ? ? 3 ? ? ?2 ? 3 ? 得? ? ?? 2 ? 3 ? ? ? ?2 由于 1 ,所以 PQ ? ?1 ? ? 2 ? 2 ,所以线段 PQ 的长为 2.
23.解: (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? x ? 3 . 又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 5?, 所以 ?

? a ? 3 ? ?1 ,解得 a ? 2 .―4 分 ?a ? 3 ? 5 (Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5) ,

?? 2 x ? 1, x ? ?3, ? 于是 g ( x ) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |? ?5,?3 ? x ? 2, ?2 x ? 1, x ? 2. ?
所以当 x ? ?3 时, g ( x) ? 5 ; 当 ? 3 ? x ? 2 时, g ( x) ? 5 ; 当 x ? 2 时, g ( x) ? 5 . 综上可得, g ( x) 的最小值为 5.――――9 分 从而若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m ,即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立, 则 m 的取值范围为(-∞,5].――――10 分

――――6 分


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