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陕西省长安一中2011届高三数学第五次质量检测 理【会员独享】


陕西省长安一中高 2011 级高三第五次质量检测数 学 试 题(理) 第Ⅰ卷选择题

(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 A={-1,0,1},B={y|y=cosx,x∈A},则 A ? B= ( ) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{-1,0,1} 2.设 x 是实数,则“x>0”是“|x|>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知 a, b, c 是三条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的 平 ( 面 , ) 下 列 命 题 中 正 确 的 是 ( )

A. a ? c, b ? c ? a // b B. a // ? , b // ? ? a // b C. ? ? ?, ? ? ? ? ? // ? D. ? // ? , ? // ? ? ? // ?

? x ? y ≥ ?1 ? 4.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4 ,则目标函数 ?y≥ 2 ?
z
= 2

x

+4

y











( ) A.10 C.13

B.12 D.14 (

(第 5 题)

5.执行如图的程序框图,如果输入 p ? 5 ,则输出的 S ? A.

) D.

15 16

B.

31 16

C.

31 32

63 32
( )

6.设向量 a , b 满足: | a |? 1 , | b |? 2 , a ? (a ? b) ? 0 , 则 a 与 b 的夹角是 A. 30
?

B. 60

?

C
?



90?

D. 120

7.一个多面体的三视图分别是正方形.等腰三角形和矩形, 其尺寸如图,则该多面体的体积为 9





A. 48cm3 C. 32cm3 8.已知 f ( x) ? sin( x ?

B. 24cm3 D. 28cm3

?
2

), g ( x) ? cos( x ?

?
2

) ,则下列结论中正确的是





A.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的周期为 2; B.函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值为 1; C.将 f ( x) 的图象向左平移

? 个单位后得到 g ( x) 的图象; 2 ? D.将 f ( x) 的图象向右平移 个单位后得到 g ( x) 的图象; 2
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A,与 a2 b2
( )

9.过双曲线

另一条渐近线交于点 B,若 FB ? 2 FA ,则此双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D. 5

10. f ( x) ? x2 ? 2 x, g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) ,对 ?x1 ?[?1, 2], ?x0 ?[?1, 2], 使 g ( x1 ) ? f ( x0 ) , 则ɑ的取值范围是 A. (0, ] ( B. [ , 3] )

1 2

1 2

C. [3, ??)

D. (0,3]

试卷Ⅱ(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) . 11.若 (a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a, b ? R, i 是虚数单位,则 a ? b ? .

12. 从 5 名男医生. 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男. 女医生都有, 则不同的组队方案共有 种 (数字回答) . 13.在平面几何里,有: “若 ?ABC 的三边长分别为 a, b, c, 内切圆半径为 r ,则三角形面积为
S ?ABC ? 1 ,拓展到空间,类比上述结论, “若四面体 A ? BCD 的四个面的面积 (a ? b ? c)r ” 2

分别为 S1 , S2 , S3 , S4 , 内切球的半径为 r ,则四面体的体积为



14.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 且 f ( x) 在[—1,0]上是增函数,给出下 列四个命题:① f ( x) 是周期函数;② f ( x) 的图像关于 x ? 1 对称;③ f ( x) 在[1,2]上是 减函数;④ f (2) ? f (0) ,其中正确命题的序号是 。 (请把正确命题的序号全部

写出来) 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做.则按所做的第一题评阅计分) A. (选修 4—4 坐标系与参数方程) 已知圆 C 的圆心为( 6 , ? ) ,半径为 5 ,直线 2 被圆截得的弦长为 8,则 ? = ? ? ? (? 2 ? ? ? ? , ? ? R) B. (选修 4—5 不等式选讲)如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,则 实数 a 的取值范围是 ; C. (选修 4—1 几何证明选讲) ,AB 为圆 O 的直径,弦 AC.BD 交于点 P,若 AB=3,CD=1, 则 sin ?APD = ; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? sin cos
x 2 x x 1 ? cos2 ? . 2 2 2
? ?

? ? ? (1)若 f (? ) ? 2 , ? ? ?0, ? ?, 求?的值; (2)求函数 f ( x ) 在 ? ? , ? ? 上最大值和最小值. 4 4

17. (本小题满分 12 分)甲.乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比 赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止。设甲在每局中获胜的概率为 p(p> 1 ), 2
5 且各局胜负相互独立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 9 . (1)求 p 的值; (2)

设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E ? 18. (本小题满分 12 分) 如图,在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面ABCD , E . F 分别是 PC . PD 的中点, PA ? AB ?1, BC ? 2 . (I)求证: EF ∥平面 PAB ; (II)求证:平面 PAD ? 平面 PDC ; (III)求二面角 A ? PD ? B 的余弦值. 19. (本题满分 12 分)已知数列 {an } 是首项为 1 公差为正的等差数列,数列 {bn } 是首项为 1 的等比数列,设 cn ? anbn (n ? N* ) ,且数列 {cn } 的前三项依次为 1,4,12, (1)求数列 {an } . {bn } 的通项公式; (2)若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,求数列 ?

? Sn ? ? 的前 n 项的和 Tn. ?n?
y P

20 . (本小题满分 13 分) 已知点 P ( 4 , 4 ) ,圆 C :
( x ? m) ? y ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:
2 2

A F2

F1

O

C Q

x

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有一个公共点 A(3,1) ,F1.F2 分别是椭圆的左.右焦点,直线 PF1 a 2 b2 与圆 C 相切.

(1)求 m 的值与椭圆 E 的方程;

??? ? ???? (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.
21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(x ? a) ? x 2 ? x在x ? 0 处取得极值。 (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? ? 范围。

5 x ? b 在区间(0,2)有两个不等实根,求实数 b 的取值 2

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 C 6 D 7 A 8 D 9 C 10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) . 11. 1 12. 70 13. V四面体A? BCD ?

1 ( S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 )r 3
C.

14.①②④

15.

A.

2? ; 3

B. a>-1;

2 2 . 3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ?

1 1 ? cos x 1 1 2 ? sin x ? ? ? (sin x ? cos x) ? sin(x ? ) 2 2 2 2 2 4

由题意知 f (? ) ?

? 1 2 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? sin(? ? ) ? 4 2 2 4 4

∵ ? ? (0, ? ) 即 ? ?

?

? 5? ?( , ) 4 4 4

∴ ? ? ? ? 5? 4 6

?

?

?

7? 12

? (2)∵

?
4

?? ?? 即
0?? ?

?
4

?

5? 4

? 2, 1 f ( x) m a x? f ( ) ? f ( x) min ? f (? ) ? ? 2 4 2

17. (本小题满分 12 分)
5 解: (1) 当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时, 第二局比赛结束时比赛停止, 故 p2 ? (1 ? p)2 ? 9 ,
1 1 解得 p ? 2 3 或p ? 3 , 又p ? 2 , 故p ? 2 3

(2)依题意知 ? 的所有可能取值为 2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛
5 停止的概率为 9 ,若该轮结束时比赛还将继续,则

甲.乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果 对下轮比赛是否停止没有影响,从而有
5 5 5 20 5 5 ,则随机变量 P(? ? 2) ? 9 , P(? ? 4) ? (1 ? 9 )? 9 ? 80 , P(? ? 6) ? (1 ? 9 ) ? (1 ? 9 ) ?1 ? 16 81 5 16 266 ? 的分布列为: 故 E? ? 2 ? 9 ? 4 ? 20 81 ? 6 ? 81 ? 81

18. (本小题满分 12 分) 解:以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴,建 立空间直角坐标系,则 A?0,0,0?, B?1,0,0?, C ?1,2,0?, D?0,2,0?, P?0,0,1? ∴

1? ?1 1? ? E ? ,1, ?, F ? 0,1, ? , 2? ?2 2? ? ? 1 ? EF ? ? ? ,0,0 ? , PB ? ?1,0,?1? , PD ? ?0,2,?1?, AP ? ?0,0,1?, ? 2 ?

AD ? ?0,2,0? , DC ? ?1,0,0? , AB ? ?1,0,0?.

1 AB, ∴ EF ∥ AB ,即 EF ∥ AB , 2 又 AB ? 平面 PAB , EF ? 平面 PAB , ∴ EF ∥平面 PAB .
(Ⅰ)∵ EF ? ? (Ⅱ)∵ AP ? DC ? ?0,0,1? ? ?1,0,0? ? 0 , AD ? DC ? ?0,2,0? ? ?1,0,0? ? 0 , ∴ AP ? DC, AD ? DC ,即 AP ? DC , AD ? DC . 又 AP ? AD ? A, AP ? 面PAD, AD ? 面PAD ,∴ DC ? 平面PAD .∵ DC ? 平面PDC , ∴平面 PAD ? 平面PDC . (Ⅲ)设平面 PBD 的一个法向量 n ? ?x, y, z ? ,则

? ? x?z?0 ? n ? PB ? 0 ∴? ,即 ? ,解得平面 APC 的一个法向量 n ? ?2,1,2? . ? ?2 y ? z ? 0 ?n ? PD ? 0

而平面 APD 的一个法向量是 DC ? ?1,0,0? ,设二面角 A ? PD ? B 为 ? ,则

cos ? ?

n ? DC n ? DC

?

?2,1,2? ? ?1,0,0? ? 2 .即二面角
3 ?1 3

2 A ? PD ? B 的余弦值为 . 3

19. (本小题满分 12 分) 解?1)设数列 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则由题意知

a1b1 ? 1 (a1 ? d )(b1q ) ? 4 (a1 ? 2d )(b1q 2 ) ? 12

因为数列 ?an ? 各项为正数, 所以 d ? 0

所以把 a 1 =1,b 1 =1 代入方程组解得 ?

?d ? 1 ?q ? 2
n(n ? 1) d 2

(2)由(1)知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn=na 1 + 所以

sn d d 1 ?S ? ? a1 ? (n ? 1) 所以数列 ? n ? 是首项是 a 1 =1,公差为 = 的等差数列 n 2 2 2 ?n?

所以 T n =n a 1 +

n(n ? 1) d n( n ? 1) n 2 ? 3n =n+ = 2 2 4 4

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程, 得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 . ∵m<3,∴m=1.

圆 C: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 . ∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴
| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1 ? 5.

解得 k ? 当 k=

11 1 11 36 , 或k ? .当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意舍去. 2 2 2 11

1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4, 2

∴c=4.F1(-4,0) ,F2(4,0) .2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 , a ? 3 2 ,a2=18,
x2 y 2 ? ? 1. 18 2 ??? ? ?? ? ? (Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) ,A Q ? x( ?, 3 y ? ) 1

b2=2.椭圆 E 的方程为:



??? ? ???? x2 y 2 ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 , AP ? AQ ? ( x ? 3) ? 3( y ? 1) ? x ? 3 y ? 6 .∵ ? 18 2

而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6 xy 的取值范围是[0,36].
x ? 3 y 的取值范围是[-6,6]. ??? ? ???? ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0].

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知得 f ?( x) ?

1 1 ? 2 x( x ? a ) ? ( x ? a ) ? 2x ? 1 ? x?a ( x ? a)

? f ?( x) ? 0

1? a ? 0?a ? 1 a 1 ? 2 x( x ? 1) ? ( x ? 1) (2)由(1)得 f ?( x) ? x ?1 3 ? 2 x( x ? ) 2 ( x ? ?1) 由 f ?( x) ? 0得 ? 1 ? x ? 0 ,由 f ?( x) ? 0得x ? 0 ? x ?1 ?

? f ( x) 的单调递增区间为(—1,0) ,单调递减区间为 (0,??)
5 3 x ? b) ? ln( x ? 1) ? x 2 ? x ? b, x ? (0,2) 2 2 1 3 5 ? 2 x ? 令 g ?( x) ? 0得x ? 1或x ? ? (舍) 则 g ?( x) ? , x ?1 2 4
(3)令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( ? 当 0 ? x ? 1 时 g ?( x) ? 0 , 当 1 ? x ? 2时g ?( x) ? 0即g ( x)在(0,1) 上递增,在(1,2)上递减 方程 f ( x) ? ?

5 x ? b在区间 (0,2) 上有两个不等实根等价于函数 g ( x) 在(0,2)上有两 2

个不同的零点。
??b ? 0 ?b ? 0 ? g (0) ? 0 ? ? 1 1 ? ? ? ? ? g (1) ? 0 ? ?ln 2 ? ? b ? 0 ? ?b ? ln 2 ? 2 2 ? g (2) ? 0 ? ? ? ln 3 ? 1 ? b ? 0 b ? ln 3 ? 1 ? ? ? ?

1 1 ? ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? 即实数 b 的取值范围为 ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? 2 2
[例 1]求经过两点 P1(2,1)和 P2(m,2) (m∈R)的直线 l 的斜率,并且求出 l 的倾 斜角α 及其取值范围. 选题意图:考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式. 解:(1)当 m=2 时,x1=x2=2,∴直线 l 垂直于 x 轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角α =

? 2

(2)当 m≠2 时,直线 l 的斜率 k= ∴α =arctan

1 ? ,α ∈(0, ) , m?2 2

1 ∵m>2 时,k>0. m?2

∵当 m<2 时,k<0 ∴α =π +arctan

1 ? ,α ∈( ,π ). m?2 2 1 ,m)共线,求 m 的值. 2

说明:利用斜率公式时,应注意斜率公式的应用范围. [例 2]若三点 A(-2,3) ,B(3,-2) ,C(

选题意图:考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解:∵A、B、C 三点共线, ∴kAB=kAC,

?2?3 m?3 ? . 1 3? 2 ?2 2

解得 m=

1 . 2

说明:若三点共线,则任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解. [例 3]已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半,求直线 l 的斜率. 选题意图:强化斜率公式. 解:设直线 l 的倾斜角α ,则由题得直线 AB 的倾斜角为 2α . ∵tan2α =kAB=

? 2 ? (?5) 3 ? . 3 ? (?1) 4

?

2 tan ? 3 ? 2 1 ? tan ? 4 1 或 tanα =-3. 3

即 3tan2α +8tanα -3=0, 解得 tanα = ∵tan2α =

3 >0,∴0°<2α <90°, 4

0°<α <45°, ∴tanα =

1 . 3 1 3

因此,直线 l 的斜率是

说明: 由 2α 的正切值确定α 的范围及由α 的范围求α 的正切值是本例解法中易忽略的地 方.


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