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04 《高中数学》必会基础题型4—《三角函数》print


《数学》必会基础题型——《三角函数》
题型 1:角度制与弧度制的互化 公式: x? ? x ?

?
180

;x ? x ?

180?

?

1.把下列角化为弧度制: (1)210? , ? 252? , (3)155? , ? 235? , (2) (

4) (5)315? , (6)500?
3 3 5? 3? 2.把下列角化为角度制: 1 ? , (2) ? , , (5)1.5 , (6) ? 2.3 () (3) , (4) ? 5 8 3 10

特殊角对应关系: ? ? 180? 角度 弧度
0?
30? 45? 60? 90? 180?

270?

360?

? 3? ? ? ? ? 2? 2 6 4 3 2 题型 2:圆心角公式、弧长公式、扇形面积公式 l 1 圆心角 ? ? ,弧长 l ? ? ? r , S扇形 ? lr 【注意:公式中的角必须是弧度制】 r 2 3.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 3,求这个圆心角所对的弧长。
0
4.已知一个扇形的圆心角是 120? ,半径为 8,求它的弦长、周长和面积。 5.已知扇形的周长为 8,圆心角为 2,求该扇形的半径、弧长和面积。

题型 3:三角函数的定义
P( x, y ) 是角 ? 的终边上的点, r ? x 2 ? y 2 ,则 sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x

6.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (?2, 4) ,求 sin ? ,cos ? , tan ? 。
3 7.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 ( x, 4) ,且 cos ? ? ? ,求 cos ? , tan ? 。 5

8.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (3, ?4) ,求 sin ? ,cos ? , tan ? 。
3 9.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (4, x) ,且 sin ? ? ? ,求 cos ? , tan ? 。 5

题型 4:判断三角函数的正负 10. (1)已知 sin ? ? 0且cos? ? 0 ,则 ? 是第 (2)已知 sin ? cos? ? 0 ,则 ? 是第 (3)已知 cos? ? 0且tan ? ? 0 ,则 ? 是第
1

象限角。 象限角。 象限角。

题型 5:特殊角的三角函数值 角度 30? 45? 0? 弧度
sin ?

60?

90?

180?

270?

360?

0
0

? 6 1 2
3 2 3 3

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2

? 2 1

?
0

3? 2 -1

2?

0

cos?

1

1 2
3

0

-1

0

1

tan ?

0

1

不存在 0

不存在 0

题型 6:同角函数的基本关系式: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? ? 11.已知 ? 是第二象限角,且 sin ? ?

sin ? cos ?

2 ,求 cos ? , tan ? 。 3 3 12.已知 ? 是第四象限角,且 cos ? ? ,求 sin ? , tan ? 。 4 4 13.已知 ? 是第三象限角,且 tan ? ? ,求 sin ? , cos ? 。 3 1 14.已知 ? 是第三象限角,且 sin x ? cos x ? ? ,求 sin x cos x 和 sin x ? cos x 的值。 5 sin ? ? cos ? 3sin ? cos ? 15.已知 tan x ? 3 ,求 ① ,② , ③ sin 2 x ? 2cos2 x 2 2 2sin ? ? cos ? 2sin ? ? cos ?

题型 7:诱导公式
① sin(?? ) ? ? sin ? , cos(?? ) ? cos ? , tan(?? ) ? tan ? 【正角与负角的转化】 ② sin(2k? ? ? ) ? sin ? , cos(2k? ? ? ) ? cos ? , tan(2k? ? ? ) ? tan ? 【周期转化】 ③ sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? , tan(? ? ? ) ? tan ? ④ sin(? ? ? ) ? sin ? ,cos(? ? ? ) ? ? cos ? ,tan(? ? ? ) ? ? tan ?【钝角转化成锐角】

⑤ sin( ? ? ) ? cos ? , cos( ? ? ) ? sin ? 【正弦与余弦的转化】 2 2

?

?

16.化简① sin(?300? ) ⑤ cos 570? ⑨ tan
8? 3

② cos(?300? )
5? 3 13? ⑾ cos(? ) 3

③ tan(?300? ) ⑧ cos(? ⑿ tan

④ sin 570?
5? ) 3

⑥ tan 570? ⑽ sin 480?

⑦ sin

7? 4

2

题型 8:用基本关系式与诱导公式化简求值 17. 化 简 下 列 各 式 : ① cos ? tan ?
1 ?1 ; ④ tan ? sin 2 ?

② tan ? 1 ? sin 2 ? ; ③

2 cos 2 ? ? 1 ; 1 ? 2sin 2 ?



1 ? 2sin10? cos10? cos10? ? 1 ? cos 2 170?





1 ? 2 sin190? sin 80? cos(350? ) ? 1 ? cos 2 170?

题型 9:求三角函数的周期

y ? A tan(? x ? ? ) ? B 的周期 T ?

? , |? |

y ? A sin(? x ? ? ) ? B 和 y ? A cos(? x ? ? ) ? B 的周期 T ?

2? 。 |? |

? 1 ? 18.求下列函数的周期:① y ? sin(?2 x ? ) ② y ? cos( x ? ) 3 2 4 13? 1 11? ③ y ? tan(3x ? ④ y ? ?2sin( x ? ) )?5 3 3 4 ? ? 19.已知 y ? sin(? x ? ) ( ? ? 0 )的周期为 ,求 ? 。 3 3 ? 20.已知 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ? ? ) 的周期为 4? , f ( ) ? 3 , ?和? 。 且 0 求 2 题型 10:用“五点作图法”画三角函数的图像
21.画出函数 y ? 2sin(2 x ? ) 在一个周期内的图像。 3 22.画出下列函数在一个周期内的图像:

?

? ? ? 1 ? ① y ? 3sin( x ? ) ; y ? 2cos( x ? ) ; y ? ?4sin(2 x ? ) ; y ? cos(2 x ? ) ② ③ ④ 3 4 4 2 6 题型 11:比较三角函数值的大小(先画出函数的图像,根据图像判断大小) ? ? 4? 5? 23.① sin(? ) ; ③ cos 250? cos 260? ; sin(? ) ; ② cos cos 7 5 7 8 15? 14? ? 12? ④ sin ; ⑤ sin ; ⑥ sin110? sin 400? sin sin 8 9 5 5 题型 12:求三角函数的单调区间 ? ? ? 3? 减区间为 [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) 。 sin x 的增区间为 [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) , 2 2 2 2
cos x 的增区间为 [2k? ? ? , 2k? ](k ? Z ) ,减区间为 [2k? , 2k? ? ? ](k ? Z ) 。
y ? tan x 增区间为 [k? ?

?

, k? ? ](k ? Z ) ,没有减区间。 2 2

?

24.①函数 y ? 3sin x ?1 的增区间 ②函数 y ? ?2sin x ? 1 的增区间 ③函数 y ? 3sin(? x) 的增区间
3

,减区间 ,减区间 ,减区间

④函数 y ? 3cos x ? 5 的增区间 ⑤函数 y ? 3cos(? x) ? 1 的增区间 ⑥函数 y ? 2sin( x ? ) 的增区间 3 ⑦函数 y ? 3cos(2 x ? ) 的增区间 4 题型 13:求三角函数的值域(最大值、最小值) 25.求函数 y ? 3cos x ? 5 和 y ? ?2sin x ? 3 的值域。 26.求函数 y ? 2sin x ( ?

,减区间 ,减区间 ,减区间 ,减区间

?

?

?
3

?x?

27.求函数 y ? 2sin(2 x ? ) ? 1( ? ? x ? )的最大值和最小值。 6 6 3 题型 14:判断三角函数的奇偶性
y ? sin x 是奇函数, y ? cos x 是偶函数, y ? tan x 是奇函数。 y ? A sin ? x 是奇函数, y ? A cos ? x 是偶函数, y ? A tan ? x 是奇函数。 y ? A sin ? x ? B 非奇非偶, y ? A cos ? x ? B 是偶函数, y ? A tan ? x ? B 非奇非偶。

?

2? ? 2? )和 y ? ?2cos x ? 1 ( ? ? x ? )的值域。 3 3 3

?

?

【注意: y ? A sin(? x ? ? ) 、 y ? A cos(? x ? ? ) 和 y ? A tan(? x ? ? ) 可能是奇函数也 可能是偶函数,要先用诱导公式化简后再判断。 】 28.判断下列函数的奇偶性: ① y ? 3sin x ? 2 ④ y ? 3cos( x ?
3? ) ?1 2

② y ? 3sin( x ? ) ? 2 2 ⑤ y ? 3tan x ? 2

?

③ y ? ? cos( ? x) ? 1 2 ⑥ y ? 3tan( x ? 2? ) ? 2 。

?

29.函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是 题型 15:三角函数的图像变换

? 个单位得到函数 3 再纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到函数 再把函数图像向下平移 1 个单位,得到函数
30.把 y ? cos x 的图像向右平移 31.把 y ? cos x 的图像如何平移得到函数 y ? cos(3x ? ) ? 2 的图像? 3

的图像, 的图像, 的图像。

?

32.将 y ? sin x 的图像如何平移得到函数 y ? 4sin(2 x ? ) ? 1 的图像? 3 1 2 ? 33.将 y ? cos x 的图像如何平移得到函数 y ? sin( x ? ) ? 2 的图像? 2 3 4

?

4


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