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上海市宝山区吴淞中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学试题.doc88


一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

?1 1? ?1 2 3 ? ? ? 1、已知矩阵 A ? ? ? , B ? ? 0 ?1 ? ,则 AB =___________. ?1 4 1 ? ? ?1 2 ? ? ?
2、等差数列 {an } 中, a1 ? 1, a7 ? 9, 则数列{an } 的前 10 项和为__________. 3、若 a ? (2,6) , b ? (?2, 4) ,则 2a ? b =___________. 4、无穷等比数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3 ? ( ? )

1 2

n ?1

,则其所有项的和为________
?

5 、 在 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 中 , 对 任 意 m, n ? N 都 有 am? n ? a m? a n. 若 a6 ? 64 , 则

a9 =___________.
3
6 、 在 行 列 式

a

5
中 , 元 素 a 的 代 数 余 子 式 的 值 是

0 ?4 1 ?2 1 3

____________. 7、已知 lim(
n ??

an 2 ? 4n ? 5 1 )? , ( a , b 均为实常数) ,则 ab ? 7n 2 ? 5n ? 3 b

8、如图是一个算法的流程图,则最后输出的 S =___________. 9、已知数列 {an } 成等差数列,其前 n 项和为 Sn ,

若 a1 ? a7 ? a13 ? ?? ,则 S13 的余弦值为 10、设 f (n) ?

.

1 1 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3
0

?

1 2 ,则 lim n [ f (n ? 1) ? f (n)] =___________. n ?? 2n
0

11、 设地球的半径为 R, 北纬 60 圈上有经度差为 90 的 A、 B 两地, 则 A、 B 两地的球面距离为______. 12、 已知正四棱柱 ABCD—A1B1ClD1 中,AA1=2AB,E 是 AA1 的中点,则异面直线 DC1 与 BE 所成角 的余弦值为______. 13、向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示,若

c ? ? a ? ?b (? , ? ? R) ,则

? =__________. ?

14、 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题: ①若 ? an ? 既是等差数列又是等比数列,则 an ? an?1 (n ? N * ) ; ②若 Sn ? an ? bn ? a 、 b ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列;
2

③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列.
n

这些命题中,真命题的序号是

.

二、选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是 正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、下列四个命题中真命题是 (A)垂直于同一直线的两条直线互相平行; (B)过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条; (C)底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱; (D)过球面上任意两点的大圆有且只有一个 16、已知 S n 是实数等比数列 ? an ? 前 n 项和,则在数列 ?Sn ? 中 (A)至多有一项为零 (C)可能有无穷多项为零
n





(

)

(B)必有一项为零 (D)任何一项均不为零 ( )

17、定义

n 1 ? ? ,那么 lim 1 ? 2 ? 的值等于 a ? a ? a ? a ????? a ( n ? N *) ? ? i 1 2 3 n ? n ?? k ? k ?2 ? i ?1 1 1 3 (A) (B) (C) . (D) 1 3 2 4

18、设 a 是已知平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ① 给定向量 b ,一定存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ② 给定向量 b 和 c ,一定存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ?b ? ? c ;

③ 给定单位向量 b 和正数 ? ,一定存在单位向量 c 和实数 ? ,使得 a ? ?b ? ? c ; ④ 给定正数 ? 和 ? ,一定存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ?b ? ? c ; 上述命题中向量在同一平面内且两两不平行,则真命题个数是( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 )

三、解答题(本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)某种车辆,购车费 10 万元,每年交保险费、养路费及汽油费合计 9 千元, 汽车的维修费平均为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依等差数列逐年递增,问 使用多少年平均费用最少?

20. (本题满分 14 分)平面上三个非零向量 a 、 b 、 c 的模均为 1,它们之间的夹角均为 120 . (1)求证: a ? (b ? c ) ; (2)若 | ka ? b ? c |? 1 ,求实数 k 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

21. (本题满分 14 分)有 8 名学生排成一排,求分别满足下列条件的排法种数. 要求列式并给出 计算结果. (1)甲不在两端; (2)甲、乙相邻; (3)甲、乙、丙三人两两不得相邻; (4)甲不在排头,乙不在排尾.

?ACB ? 90 , 22. (本题满分 16 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, D 为 AB 中点, AC ? BC ? 2 ,
AP ? BP ? AB , PC ? AC .
(1)求证: PC ? AB ; (2)求异面直线 PD 和 AC 所成角的大小; (3)求点 C 到平面 APB 的距离.

23. (本题满分 18 分) 给定数列 a1,a2, ,an .对 i ? 1, 2,

, n ?1 ,该数列前 i 项的最大值记为 Ai ,

后 n ? i 项 ai ?1,ai ?2, ,an 的最小值记为 Bi , di ? Ai ? Bi . (1)设数列 ?an ? 为 3,4,7,1,写出 d1 , d2 , d3 的值; (2)设 a1,a2, ,an ( n ? 4 )是公比大于 1 的等比数列,且 a1 ? 0 .证明:

d1 , d2 ,…, d n ?1 是等比数列;
(3)设 d1 , d2 ,…, d n ?1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1 ? 0 ,证明: a1 , a2 , …, an ?1 是等差数 列

上海市吴淞中学 2013 学年高二上学期期终试卷解答
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

?1 1? ? ?2 5 ? ?1 2 3 ? ? ? 1、已知矩阵 A ? ? ? , B ? ? 0 ?1 ? ,则 AB =_____ ? 0 ?1? ______. ? ? ?1 4 1 ? ? ?1 2 ? ? ?
2、等差数列 {an } 中, a1 ? 1, a7 ? 9, 则数列{an } 的前 10 项和为__________.70 3、若 a ? (2,6) , b ? (?2, 4) ,则 2a ? b =______ 10 _____. 4、无穷等比数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3 ? ( ? )

1 2

n ?1

,则其所有项的和为__________________2

5、在各项均为正数的数列 ?an ? 中,对任意 m, n ? N 都
?

有 am?n ? a m ?an .若 a6 ? 64 ,则 a9 =___________.512

3
6、在行列式 0

a

5

? 4 1 中,元素 a 的代数余子式的 ?2 1 3

值是____________. ? 2

an2 ? 4 n ? 5 1 )? , 7 、已知 lim( 2 ( a , b 均为实常数) , n ?? 7 n ? 5n ? 3 b
则 ab ? 7

8、如图是一个算法的流程图,则最后输出的 S =_____ 36 ______. 9、已知数列 {an } 成等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a7 ? a13 ? ?? ,则 S13 的余弦值为 .

1 2
10、设 f (n) ?

1 1 1 ? ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3
0

?

1 1 2 ,则 lim n [ f (n ? 1) ? f (n)] =______ _____. n ?? 4 2n
0

11、设地球的半径为 R,北纬 60 圈上有经度差为 90 的 A、B 两地,则 A、B 两地的球面距离为 ______. R arccos

3 4

12、 已知正四棱柱 ABCD—A1B1ClD1 中,AA1=2AB,E 是 AA1 的中点,则异面直线 DC1 与 BE 所成角

的余弦值为______.

10 10

13、向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示,若

c ? ? a ? ?b (? , ? ? R) ,则

? =_____4______. ?

14、 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , 关于数列 ? an ? 有下列三 个命题: ①若 ? an ? 既是等差数列又是等比数列,则 an ? an?1 (n ? N * ) ; ②若 Sn ? an ? bn ? a 、 b ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列;
2

③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列.
n

这些命题中,真命题的序号是

.①②③

二、选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是 正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、下列四个命题中真命题是 (A)垂直于同一直线的两条直线互相平行; (B)过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条; (C)底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱; (D)过球面上任意两点的大圆有且只有一个 16、已知 S n 是实数等比数列 ? an ? 前 n 项和,则在数列 ?Sn ? 中 A.至多有一项为零 C.可能有无穷多项为零
n

( B



( C )

B.必有一项为零 D.任何一项均不为零 ( A )

17、定义

n 1 ? ? ,那么 lim 1 ? 2 ? 的值等于 a ? a ? a ? a ????? a ( n ? N *) ? ? i 1 2 3 n ? n ?? k ? k ?2 ? i ?1 1 1 3 (A) (B) (C) . (D) 1 3 2 4

18、设 a 是已知平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ① 给定向量 b ,一定存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ② 给定向量 b 和 c ,一定存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ?b ? ? c ; ③ 给定单位向量 b 和正数 ? ,一定存在单位向量 c 和实数 ? ,使得 a ? ?b ? ? c ; ④ 给定正数 ? 和 ? ,一定存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ?b ? ? c ; 上述命题中向量在同一平面内且两两不平行,则真命题个数是( B )

(A)1 提示:① ② 为真命题

(B)2

(C)3

(D)4

三、解答题(本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)某种车辆,购车费 10 万元,每年交保险费、养路费及汽油费合计 9 千元,汽车的维修费平均为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,依等差数列逐年递 增,问使用多少年平均费用最少?

20. (本题满分 14 分)平面上三个非零向量 a 、 b 、 c 的模均为 1,它们之间的夹角均为 120 . (1)求证: a ? (b ? c ) ; (2)若 | ka ? b ? c |? 1 ,求实数 k 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

21. (本题满分 14 分)有 8 名学生排成一排,求分别满足下列条件的排法种数. 要求列式并给出 计算结果. (1)甲不在两端; (2)甲、乙相邻; (3)甲、乙、丙三人两两不得相邻; (4)甲不在排头,乙不在排尾.
1 ? 7! ? 30240 解: (1) C6

(2) 7!? P22 ? 10080 (3) 5!? P63 ? 14400 (4)
1 1 7!? C6 ? C6 ? 6! ? 30960

?ACB ? 90 , 22. (本题满分 16 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,D 为 AB 中点,AC ? BC ? 2 ,
AP ? BP ? AB , PC ? AC .
(1)求证: PC ? AB ; (2)求异面直线 PD 和 AC 所成角的大小; (3)求点 C 到平面 APB 的距离.
A D B P

C

23. (本题满分 18 分) 给定数列 a1,a2, ,an .对 i ? 1, 2,

, n ?1 ,该数列前 i 项的最大值记为 Ai ,

后 n ? i 项 ai ?1,ai ?2, ,an 的最小值记为 Bi , di ? Ai ? Bi . (Ⅰ)设数列 ?an ? 为 3,4,7,1,写出 d1 , d2 , d3 的值; (Ⅱ)设 a1,a2, ,an ( n ? 4 )是公比大于 1 的等比数列,且 a1 ? 0 .证明:

d1 , d2 ,…, d n ?1 是等比数列;
(Ⅲ)设 d1 , d2 ,…, d n ?1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1 ? 0 ,证明: a1 , a2 , …, an ?1 是等差数 列


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