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复数与三角函数的联系




研究性学习课题: 题:研究性学习课题:复数与三角函数的联系
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教学目的: 教学目的:了解复数的三角形式及相关概念,并探究其运算 教学重点: 教学重点:化复数为三角形式. 教学难点: 教学难点:复数辐角主值的探求 授课类型: 授课类型:新授课 课时安排: 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 教学过程
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一、复习引入: 复习引入: 1.设 α 是一个任意角,在 α 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) 则 P 与原点的距离 r =| OP |= 2.比值

x + y = x2 + y 2 > 0
2 2

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y 叫做 α 的正弦 r x 比值 叫做 α 的余弦 r

记作: 记作:
一一对应

y r x cos α = r sin α =

P (x, y)
r

3.复平面内的点 Z ( a, b) ←??? 平面向量 OZ →

α

→ 4. 复数 z = a + bi ←??? 平面向量 OZ
一一对应

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二、讲解新课: 讲解新课: 1.复数的模: | z |=| a + bi |=| OZ |= 2.

a2 + b2
y b r
Z(a,b)

复数 z = a + bi 的辐角 θ 及辐角主值: x 轴的非 以
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负半轴为始边、以 OZ 所在射线为终边的角 在 [0, 2π ) 内 的辐角就叫做辐角主值,记为 argz
+
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当 a ∈ R 时, arg a = 0 , arg( ? a ) = π ,

o

θ a x

arg(ai ) =

π
2

, arg( ? ai ) =

3π 2

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3. 复数的三角形式: z = a + bi = r (cos θ + i sin θ )

其中 r = a 2 + b 2

, cosθ =

a b , sin θ = ; r r

复数的三角形式的特征:①模 r ≥0;②同一个辐角 θ 的余弦与正弦;③ cos θ 与 i sin θ 之间用加号连结 4. 复数的三角形式的乘法:
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若 z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ), z2 = r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) , 则 z1 z2 = r1r2 (cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )) 5.
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复数的三角形式的乘方(棣美弗定理):
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若 z = a + bi = r (cos θ + i sin θ ) ,则 z n = r n (cos nθ + i sin nθ ) 6. 复数的三角形式的除法: 若 z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ), z2 = r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) , 则 z1 ÷ z2 =

r1 (cos(θ1 ? θ 2 ) + i sin(θ1 ? θ 2 )) r2

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7. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算: ①复数 z = a + bi 开平方,只要令其平方根为 x + yi , 由 ( x + yi ) 2 = a + bi ? ?

? x2 ? y2 = a ,解出 x, y 有两组解 ? 2 xy = b

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②复数 z = r (cos θ + i sin θ ) 的 n 方根为:
n

r (cos

2 kπ + θ 2k π + θ + i sin ), (k = 0,1,? , n ? 1) n n
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共有 n 个值 讲解范例: 三、讲解范例:

例 化下列复数为三角形式:①z= 3 +i ;②z=1-i ③z=-1 解:①z= 3 +i = 2(cos

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+ i sin ) ; 6 6 7π 7π ②z=1-i = 2(cos + i sin ) 4 4 ③z=-1 = cos π + i sin π
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π

π

例 2 下列复数中那些是三角形式?那些不是?为什么? ( 1)

1 π π 1 π π (cos ? i sin ) ; 2) ? (cos + i sin ) ; (2 ( 2 4 4 2 3 3

( 3)

1 3π 3π 7π 7π + i sin ) ; 4) cos (4 + i sin (cos ( ; 2 4 4 5 5 7π 7π 0 0 (6 + i cos ) (5) 2(cos 90 + i sin 30 ) ; 6) 4(sin ( 2 2
答案(略) 课堂练习: 四、课堂练习 0 0 3 1.复数(sin10 +icos10 ) 的三角形式为 0 0 A.sin30 +icos30 0 0 C.cos30 +isin30

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B.cos240 +isin240 0 0 D.sin240 +icos240

0

0

2. 设复数 2-i 和 3-i 的辐角主值分别为 α、β ,则 α + β 等于 A.135
0

B.315

0

C.675

0

D.585

0

3.复数 z = tan θ + i (

π
2

< θ < π ) 的三角形式是(
B. ?



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A.

1 (sin θ + i cos θ ) ; cos θ

1 3π 3π [cos( ? θ ) + i sin( ? θ )] ; cos θ 2 2

C.

1 1 3π 3π (cos θ + i sin θ ) ;D. ? [cos( + θ ) + i sin( + θ )] cos θ cos θ 2 2

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4.arg(3-i)+arg(2-i)= 答案:1. B 2.C 3. B 4. 15π
4

五、小结 :复数的模、辐角、三角形式及复数的开方运算的意义 课后作业: 六、课后作业
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七、板书设计(略) 板书设计 八、课后记: 课后记:
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