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17.1.2反比例函数图象及性质


17.1.2

反比例函数的

图象和性质

小练习: 小练习
1、正比例函数y=2x经过第 、正比例函数 经过第 一、三 象限. 象限 2、已知矩形面积为6,则它的长 与宽 之间的 、已知矩形面积为 ,则它的长y与宽 与宽x之间的 函数关系式为
y = 6 x

,y是x的 反比例 函数. 是 的 函数 -2 .

3、函数y=2xm+1是反比例函数,则m= 、函数 是反比例函数,

4 4、反比例函数 y = 经过点( , 、 经过点(1, 4 ). x
反比例函数的定义 中需要注意什么? 中需要注意什么?

k y = x

1、K是非零常数 、 是非零常数 2、自变量x的次数为 、自变量 的次数为 的次数为-1 3、自变量x的取值范围 、自变量 的取值范围 的取值范围x≠0

1、什么是反比例函数? 、什么是反比例函数? k y = 的函数 k是常数,k≠0) 叫做反比例函数. ) 叫做反比例函数. ( 是常数, 一般地, 一般地,形如 x 需要注意什么? 2、反比例函数的定义中还需要注意什么? 、 自变量x的次数为 ◆自变量 的次数为 -1 自变量x的取值范围 ◆自变量 的取值范围 x≠0 2 m 若函数y=( 是反比例函数, ◆若函数 (m-2)x -5是反比例函数,则m= -2 , 3、请回忆:正比例函数的图象和性质 、请回忆:

解析式 图象名称
K>0

y=kx (k≠0) 过原点) 过原点 直 线 (过原点)
图象位于: 图象位于:一、三象限 y随 的增大而增大 的增大而 增减性: 增减性: 随x的增大而增大

性 质

图象位于:二、四象限 图象位于: K<0 增减性: y随x的增大而减小 的增大而减小 增减性: 随 的增大而

研究反比例函数的图象和性质
画函数图象的一般步骤: 画函数图象的一般步骤
几列?自变量怎样取值?自变量的取值范围) 1、列表(几列?自变量怎样取值?自变量的取值范围) 、 2、描点 、

2 ◆请你画出反比例函数 y = 的图象 x

光滑,适当延伸,从左至右连) 3、连线(光滑,适当延伸,从左至右连) 、

2 ◆反比例函数 y = 的图象 x
x y … … -4 -2 -1 -2 -0.5 -4 0.5 4 1 2 1 2 4 0.5 … … -0.5 -1

y 6 5 4 3 2 1 O

、描点: 、连线: 1、列表: 2、描点 3、连线 、列表 请你另外取一个正整数 的值, 正整数k的值 ◆请你另外取一个正整数 的值, 作出其反比例函数图象

取不同的正值, ◆通过对k取不同的正值,作出了 通过对 取不同的正值 · 反比例函数的图象, 反比例函数的图象,你发现了反比 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 例函数的图象是什么?分别在哪个 例函数的图象是什么 分别在哪个 -2 象限内? 象限内? 图象会和坐
[注意哟 :图象不会与 轴、y轴相交 注意哟]:图象不会与x轴 轴相交 注意哟

· · · ·
-3 -4 -5 -6

· ··

2 y= x

·

x

标轴相交吗? 标轴相交吗?

下面是k取1、2、3、4的反比例函数图像
◆图象不是直线,是两支曲线,分别在一、三象限内 图象不是直线,是两支曲线,分别在一、
y 6 5 4 3 2 1 O
-4 -3 -2 -1 -1 0
-2 -3 -4 -5 -6

y

2 y= x

1 y= x
1 2 3 4

·

6 5 4 3 2 1 O x
-4 -3 -2 -1 -1 0
-2

3 y= x

·

1 2 3 4

x

4 y= x

-3 -4 -5 -6

6 再认真观察 y = 的图象 x
x
y= 6 x … -6 … -5 -4 -3 -2 -1 -6 1 6 2 3 3 2
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 2 3 4 5 6

4

5

6 1

… …

-1 -1.2 -1.5 -2 -3

1.5 1.2

◆图象由两条曲线组 图象由两条曲线组 曲线 成,叫做双曲线, 叫做双曲线, ◆只要k取正值,图 取正值, 只要 取正值 象都位于第一、 象都位于第一、三象 限内 ◆K的值还可以取 的值还可以取 其他一些什么值? 其他一些什么值? 说说看

6 y= x
x

k 的图象? 怎样画出当 k < 0时 y = 的图象?如 k = ? 2、 3 ? x 列表、描点、 ①列表、描点、连线 ②对称性
y 6 5 2 4 y=? 3 x 2 1 O
-4 -3 -2 -1 -1 0
-2 -3 -4 -5

y

2 y= x

3 y=? x
x

·

6 5 4 3 2 1 O
-2

3 y= x

1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 -1 0
-3 -4 -5

·

1 2 3 4

x

y=

k 的图象关于原点对称 x

y -6 =

k k 、 y = ? 的图象关于坐标轴对称 -6 x x

发现函数值y怎样随着自变量 的变化而变化 发现函数值 怎样随着自变量x的变化而变化? 怎样随着自变量 的变化而变化?
1、在每一个象限内 、
y

6 6 观察y = 和y = ? 的图象 x x

2、在整个自变量的取值范围内 、
6 y=? x

如图x 如图 B< xA 但yB< yA xB
-6 -5 -4 -3 -2 -1

6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1

6 y= x

C

·

y

6 5 4 3 2 1

·A
xA
2 3 4 5 6

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6

0

1

2

3

4 5

6 x

B

·

D

·

反比例函数的图象和性质

y k>0

k 1、反比例函数 y = (k为常数,k≠0) 为常数, 、 为常数 x 的图象是双曲线 的图象是双曲线 O 2、当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象 、 时 双曲线的两支分别位于第一、 K<0 在每个象限内y值随 值的增大而减小. 值随x值的增大而减小 限, 在每个象限内 值随 值的增大而减小 3、当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 、 时 双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 在每个象限内y值随 值的增大而增大. 值随x值的增大而增大 在每个象限内 值随 值的增大而增大

X

图象名称 性 质
k<0 k>0

双曲线
位于第一、第三象限, 双曲线的两支分别 位于第一、第三象限, 值随x值的增大而减小 在每个象限内 y值随 值的增大而减小 值随 值的增大而减小. 位于第二、第四象限, 双曲线的两支分别 位于第二、第四象限, 值随x值的增大而增大 在每个象限内 y值随 值的增大而增大 值随 值的增大而增大.

学了就用
2?m 1、已知反比例函数 y = 的函数图象位于第一、三象限, 、 的函数图象位于第一、三象限, 则m的取值范围是 m<2 .x 的取值范围是
2、 下列函数中,其图象位于第二、四象限的有 、 下列函数中,其图象位于第二、 在其图象所在的象限内, 随 的减小而增大的有 在其图象所在的象限内,y随x的减小而增大的有 (1),(4) , (2),(3) .

3 (1) y = ? 2x

1 ( 2) y = 2x

( 3) y =

π ?3
4x

1 ( 4) y = ? 800 x

3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是 B ) 、下列反比例函数图像的一个分支 在第三象限的是 在第三象限的是(

3?π ( A) y = x

2 ?1 k 3 ( B) y = (C ) y = ( D) y = ? x x x ?1 ? a2 4、函数 y = 象限. 、 的图象在第 二、四 象限 x

例题讲解
2 的图象上有两点( 例1:在反比例函数 y = ? 的图象上有两点(x1,y1)、 : x
(x2,y2),若x1>x2 ,则y1>y2吗? 若

3 5、正比例函数 、正比例函数y=x与反比例函数 y = 图象交点有 两 个, 与反比例函数 3x 正比例函数y=x与反比例函数 y = ? 图象交点有 零 个. 正比例函数 与反比例函数 20 x y=
6、长方形的面积为20,则它的长y与宽x之间的关系式为 、长方形的面积为2 , x 10)是否在其图像上?( ),用图象大致可表 点(-2,-10)是否在其图像上?(不在),用图象大致可表 示为( 示为( D ) (B)双曲线在第三象限的一支 ) (A)直线 ) (D)双曲线在第一象限的一支 ) (C)双曲线 )

例题讲解

已知反比例函数的图象过点A( , ) 例2.已知反比例函数的图象过点 (2,6). 已知反比例函数的图象过点 (1)这个函数的图象分布在哪些象限? )这个函数的图象分布在哪些象限? y随x的增大如何变化? 随 的增大如何变化 的增大如何变化? )、C( (2)点B(3,4)、 (-2.5,-4.8)和 ) ( , )、 , ) D(2,5)是否在这个函数的图象上? ( , )是否在这个函数的图象上?

例题讲解
m?5 如图, 的图象的一支. 例3.如图,是反比例函数 y = 如图 的图象的一支 x y 根据图象回答下列问题: 根据图象回答下列问题:
(1)图象的另一支在哪个象 ) 限?常数m的取值范围是什么? 的取值范围是什么? 常数 的取值范围是什么 (2)在图象的某一支上任取 ) 一点A( , ) 一点 (a,b)和B(a’,b’). ( , ) 如果a>a’,那么 和b’有怎样的 那么b和 有怎样的 如果 那么 大小关系? 大小关系?
0

x

8、已知点A(-3,a),B(-2,b),C(4, c) 、已知点 , , 在反比例函数 y = 6 上,
x

y
y =
c

比较a, , 的大小 的大小. 比较 ,b,c的大小 拓展:已知点 拓展:已知点A(-3,a),B(-2,b),C(4, c) , ,
k 在反比例函数 y = x (k≠0)上, )

6 x

·A ·B O

a b

·C
X

比较a, , 的大小 的大小. 比较 ,b,c的大小
性质: 性质: k 为常数, 反比例函数 y = (k为常数,k≠0)的图象是双曲线 为常数 的图象是双曲线 x 值随x值的 当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内 值随 值的 时 双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随 增大而减小. 增大而减小 值随x值的 当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内 值随 值的 时 双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随 增大而增大. 增大而增大

课堂小结: 课堂小结:
k 为常数, 反比例函数 y = (k为常数,k≠0) 为常数 x
内 容
图象 性质 k<0 双曲线 k>0 双曲线的两支所在象限 在每个象限内的增减性

本节收获
1、进一步巩固复习了作函数图象的一般方法和步骤 、 2、亲手画出函数的图象,用类比的方法,数形结合的思想, 、亲手画出函数的图象,用类比的方法,数形结合的思想, 有了对图形进行观察、分析和归纳的体验, 有了对图形进行观察、分析和归纳的体验,掌握了反比例 函数的图象和性质 k 3、反比例函数 y = (k为常数,k≠0)的图象是双曲线 、 为常数, 的图象是双曲线 为常数 的图象是 x 当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限, 在每个 时 双曲线的两支分别位于第一、第三象限, 象限内y值随 值的增大而减小 值随x值的增大而减小. 象限内 值随 值的增大而减小 当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 在每个 时 双曲线的两支分别位于第二、第四象限, 象限内y值随 值的增大而增大 值随x值的增大而增大. 象限内 值随 值的增大而增大


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