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等差数列的前n项和 新课标 人教版


案例1 等差数列前 n 项和 (一)问题情景
问题 1:

1+2+3+· · · · · · +100=?

问题 2
一个堆放铅笔的V形架,最下面第一层放一 支铅笔,往上每一层都比它下面多放一支,就 这样一层一层地往上放。最上面一层放120支。 求这个V形架上共放着多少支铅笔?

(二)学生活


问题 1: 1+2+3+· · · · · · +100=?
首项与末项的和: 1+100=101, 第2项与倒数第2项的和: 2+99=101,

····· 第50项与倒数第50项的和:50+51=101, · 于是所求的和是: 101×50=5050。

问题 1:

1+2+3+· · · · · · +100=?
S100 = 1+2+3+ · · · · · ·+100 = 101×50 = 5050 100 =(1+100) ·
2

100 ? (a 1 ? a 100 ) · 2

怎么计算呢?

怎么计算呢?
想:探求三角形面积情景
先补后分

S120 =1+2+3+ · · · · · ·+120

120 = 121 · = 7260 2 120
= (1 + 120 ) ·
2

120 ? (a 1 ? a 120 ) · 2

(三)构建数学:猜测
问题 1: 问题 2: S120=1+2+ · · · · · ·+12 0 120
? ( a 1 ? a 120 ) · 2

S100 = 1+2+ · · · · · ·+100
100 ? (a 1 ? a 100 ) · 2

Sn=a1+a2+· · · · · · +a
n

n Sn ? (a 1 ? an ) · 2

?

(四)数学理论
等差数列的前n项和公式的推导
由等差数列

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ?? [a1 ? (n ? 1)d ] Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ?? [an ? (n ? 1)d ]
n个 ??????? ? ?????? ? 2 Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? (a1 ? an )

a1 , a2 , a3 , an , …,

…,

的前n项和

? n(a1 ? an )
n(a1 ? an ) Sn ? 2

等差数列的前n项和公式的其它形式

n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) ???? ?? Sn ? na1 ? d 2
an ?a1 ?( n?1)d

d 2 d ? ?? S n ? n ? (a1 ? )n 2 2

(五)数学运用
例1:等差数列-10,-6,-2,· · · · · · · 前多 少项和是54 ?
n(n ? 1) n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 分析 : ? 10 n ? · 4 ? 54 2 2 得 n2-6n-27=0 得 n1=9, n2=-3(舍去)。

例 题 解 析

例2:等差数列{an}中, d=4, an=18, Sn=48,求a1的值。
解: 由

an= a1+(n-1)d n( n ? 1) Sn ? na 1 ? d 2 得: 18= a1+(n-1)4 n( n ? 1) 48 ? na 1 ? 4 2
解得: n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2

例3. 求集合M ? ?m | m ? 7n, n ? N , 且m ? 100?
的元素个数 , 并求这些元素的和 .
解: 由题意 , m是7的倍数, 且0 ? m ? 100.
将它们从小到大排列得 : 7 ? 0,7 ? 1, 7 ? 2, ?, 7 ? 14即 7,14,21 ,?,98. . 0, 共有 15个元素, 构成一个等差数列 ?an ?, , 记为 a1 ? 0, a15 ? 98 ? S15 ? 15 ? (0 ? 98) ? 735 2 答 : 集合M共有 15个元素, 和等于735.

例4. 做一个梯子,最高 一级宽为a,最低一级宽 为b,中间还有10级,若 各级的宽成等差数列。 问做中间各级,要准备 多长材料?
在a,b之间插入10个数, 使它们同这两数成等差 数列,求这10个数的和. 等差数列{an}中,已知 a1=a,a12=b,求a2+a3 +a4+…+a11.

练习1.

课 堂 小 练

1. 根据下列条件,求相应的等差数列

(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;

?an ? 的 Sn

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;

练习2.

课 堂 小 练

2. (1) 求正整数列中前n个数的和.
n ? (1 ? n) n( n ? 1) ? Sn ? ? . 2 2

(2) 求正整数列中前n个偶数的和.
n ? ( 2 ? 2n ) ? Sn ? ? n( n ? 1). 2

3. 等差数列 -5,-4,-3,-2, · · · 前多少项和 是30?

问题1:

想一想

在等差数列 {an} 中,如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出 其余两个量 ?

问题2:
已知一个等差数列的前10项的和是310, 前20项的和是1220,由此可以确定求其前n 项和的公式吗?

d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n, 即Sn ? an2 ? bn 2 2 y 1.当公差d <0即a<0时,Sn 有最大值
(至于是否在顶点处取得,要看顶点 处所对应的横坐标距离它最近的正 整数处取得,一般情况下或一,或两个 最值),如右图所示:
2.当公差d>0即a>0时, Sn 有最小值.

o1
b 2a

x

3.当公差d =0即a=0时, ?an ?是常数列 若a1 ? 0 ,则它是关于n的一次函数, 若 a1 ? 0 ,则 Sn = 0

x=

?

(六)回顾小结
1.等差数列前n项和Sn公式的推导;
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与运用.
n(a1 ? an ) Sn ? 2
n( n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

d 2 d S n ? n ? (a1 ? ) n 2 2


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