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2008上海高考数学文科卷(含答案)


2008 上海高考数学试卷(文科)
一、填空题(本大题满分 44 分)本大题共有 11 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1.不等式 x ?1 < 1的解集是 .

2.若集合 A ? x | x ≤ 2 , B ? x | x ≥ a 满足 A 3.若复数 z 满足 z ? i(2 ? z ) (i 是虚数单位),

则 z=

?

?

?

?

B ? {2} ,则实数 a=
. . . . .



4.若函数 f(x)的反函数为 f ?1 ( x) ? log2 x ,则 f ( x) ?

b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 5.若向量 a , b 满足 a ? 1,

? ,则 a ? b ? 3

6.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则实数 a ? 7.若 z 是实系数方程 x2 ? 2x ? p ? 0 的一个虚根,且 z ? 2 ,则 p ?

8.在平面直角坐标系中,从四个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)中任取三个,这三点能构 成三角形的概率是 (结果用分数表示) .

9.若函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? 2a) (常数 a,b ? R )是偶函数,且它的值域为 ? ??, 4? ,则该函 数的解析式 f ( x) ? .

10.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的 中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是 .

1) (4 2) (2 6) . 11. 在平面直角坐标系中, 点 A,B,C 的坐标分别为 (0,,,,, 如果 P( x,y ) 是 △ ABC
围成的区域(含边界)上的点,那么当 w ? xy 取到最大值时,点 P 的坐标是

二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论, 其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 4 分,不 选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) ,一律得零分.

x2 y 2 ? ? 1 上的点. 12. 设 p 是椭圆 若 F1,F2 是椭圆的两个焦点, 则 PF ( 1 ? PF 2 等于 25 16



A.4 B.5 C.8 D.10 13.给定空间中的直线 l 及平面 ? .条件“直线 l 与平面 ? 内两条相交直线都垂直”是“直线 l

1

与平面 ? 垂直”的( A.充分非必要条件 C.充要条件

) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

14.若数列 ?an ? 是首项为 l ,公比为 a ? ( A.1 ) B.2

3 的无穷等比数列,且 ?an ? 各项的和为 a,则 a 的值是 2

C.

1 2

D.

5 4

15.如图,在平面直角坐标系中, ? 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C、D 的定圆所围成的区域(含边界) ,A、B、C、D 是该圆的四等分点.若点 P( x,y ) 、点 P?( x?,y?) 满足 x ≤ x? 且 y ≥ y? ,则称 P 优于 P? .如果 ? 中的点 Q 满足:不存在 ? 中的其它点优于 Q, 那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧( A. AB C. CD B. BC D. DA D O ) y A

?
C

B x

三、解答题(本大题满分 90 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 16.(本题满分 12 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E 是 BC1 的中点.求直线 DE 与平面 ABCD 所 成角的大小(结果用反三角函数值表示) .
A1 D1 B1 E D C B C1

A

17. (本题满分 13 分) 如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AOC.小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处,小区里 有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转角为 120 .已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分 钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的 长(精确到 1 米) .
C

A
1200

O

2

18. (本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 个题满分 5 分,第 2 小题满分 10 分. 已知函数 f(x)=sin2x, g(x)=cos ? 2 x ? N 两点. (1)当 t ?

? ?

π? 直线 x ? t (t ? R) 与函数 f ( x),g ( x) 的图像分别交于 M、 ?, 6?

π 时,求|MN|的值; 4

(2)求|MN|在 t ? ?0, ? 时的最大值.

? π? ? 2?

19. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

1 . 2| x|

(1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (2)若 2t f (2t) ? mf (t ) ≥0 对于 t ?[1 , 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 7 分. 已知双曲线 C: ? y ? 1 .
2

x2 2

(1)求双曲线 C 的渐近线方程;

1) .设 P 是双曲线 C 上的点, Q 是点 P 关于原点的对称点. (2)已知点 M 的坐标为 (0,
记 ? ? MP MQ .求 ? 的取值范围;

? 1),, (2 ? 1),, (0 1) , P 为双曲线 C 上在第一象限内的 (3)已知点 D,E, M 的坐标分别为 (?2,

3

点.记 l 为经过原点与点 P 的直线, s 为 △DEM 截直线 l 所得线段的长.试将 s 表示为直线 l 的 斜率 k 的函数.

21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分4分,第 2 小题满分6分,第 3 小题满 分 8 分. 已知数列 ?an ? : a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? r , an?3 ? an ? 2 ( n 是正整数) ,与数列 . ?bn ? : b1 ? 1, b2 ? 0 , b3 ? ?1 , b4 ? 0 , bn?4 ? bn ( n 是正整数) 记 Tn ? b1a1 ? b2 a2 ? b3a3 ? (1)若 a1 ? a2 ? a3 ?

? bn an .

? a12 ? 64 ,求 r 的值;

(2)求证:当 n 是正整数时, T12 n ? ?4n ; (3)已知 r ? 0 ,且存在正整数 m ,使得在 T12 m ?1 ,T12 m ? 2 , 值,并指出哪 4 项为 100. ,T12m?12 中有 4 项为 100.求 r 的

4

一、 (第 1 题至第 11 题) 1. (0,2). 5. 2. 2. 6. -1. 3. 1+i. 7. 4. 4. 2x ? x ? R ? . 8.

7.
2

3 . 4

9. ?2 x ? 4 二、 (第 12 题至第 15 题) 题号 代号 三、 (第 16 题至第 21 题)

10. a ? 10.5, b ? 10.5

11. ?

?5 ? ,5 ? . ?2 ?

12 D

13 C

14 B

15 D

16. 【解】过 E 作 EF⊥BC,交 BC 于 F,连接 DF. ∵ EF⊥平面 ABCD, ∴ ∠EDF 是直线 DE 与平面 ABCD 所成的角. ……………4 分 由题意,得 EF= ∵ CF ?

D1 A1 B1

C1

1 CC1 ? 1. 2

1 CB ? 1, ? DF ? 5. …………………………..8 分 2

E D F B C

∵ EF⊥DF, ∴ tan ?EDF ?

EF 5 ? . ……………..10 分 A DF 5 5 ….12 分 5

故直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小是 arctan

17. 【解法一】设该扇形的半径为 r 米. 由题意,得 CD=500(米) ,DA=300(米) ,∠CDO= 60 ……………………………4 分 在 ?CDO 中, CD2 ? OD2 ? 2 ? CD ? OD ? cos600 ? OC 2 , ……………6 分 即 500 ? ? r ? 300 ? ? 2 ? 500 ? ? r ? 300 ? ?
2 2

0

1 ? r 2 , …………………….9 分 2

解得 r ?

4900 ? 445 (米). …………………………………………….13 分 11
0

【解法二】连接 AC,作 OH⊥AC,交 AC 于 H…………………..2 分 由题意,得 CD=500(米) ,AD=300(米) , ?CDA ? 120 ………….4 分

5

在?ACD中, AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ? 2 ? CD ? AD ? cos1200 1 ? 5002 ? 3002 ? 2 ? 500 ? 300 ? ? 7002 , 2
∴ AC=700(米) …………………………..6 分
A
1200

C H

cos ?CAD ?

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 11 ? . ………….…….9 分 2 ? AC ? AD 14
11 , 14

O

(米) , cos ?HA0 ? 在直角 ?HAO中, AH ? 350
∴ OA ?

AH 4900 ? ? 445 (米). ………………………13 分 cos ?HAO 11

18、 【解】 (1) MN ? sin ? 2 ?

? ?

??

? ? ?? ? ? cos ? 2 ? ? ? …………….2 分 4? 4 6? ?

? 1 ? cos

2? 3 ? . ………………………………5 分 3 2

(2) MN ? sin 2t ? cos ? 2t ?

? ?

??
? 6?
…………...8 分

?

3 3 sin 2t ? cos 2t 2 2

?? ? ? 3 sin ? 2t ? ? …………………………….11 分 6? ?
∵ t ? ?0,

? ? ? ?? ? ?? , 2t ? ? ? ? , ? ? ? , ? 6 ? 6 6? ? 2?

…………13 分

∴ |MN|的最大值为 3 .

……………15 分

19、 【解】 (1) 当x ? 0时,f ? x ? ? 0;当x ? 0时, f ? x ? ? 2x ? 由条件可知, 2x ?

1 . 2x

…………….2 分

1 ? 2, 即 22 x ? 2 ? 2x ? 1 ? 0, 解得 2 x ? 1 ? 2. …………6 分 2x

∵ 2 x ? 0, ? x ? log 2 1 ? 2

?

?

…………..8 分

1 ? 1? ? ? (2)当 t ? [1, 2]时, 2t ? 22t ? 2t ? ? m ? 2t ? t ? ? 0, 2 ? 2 ? ? ?
即 m 22 t ? 1 ? ? 2 4 t ? 1 .

……………10 分

?

? ?

?

6

22t ? 1 ? 0, ? m ? ? 22t ? 1?. t ?[1,2], ?? ?1 ? 22t ? ? [?17, ?5],
故 m 的取值范围是 [?5, ??) 20、 【解】 (1)所求渐近线方程为 y ?

………………13 分

…………….16 分

2 2 x ? 0, y ? x?0 2 2

……………...3 分

(2)设 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,则 Q 的坐标为 ? ? x0 , ? y0 ? , …………….4 分

? ? MP ? MQ ? ? x0 , y0 ?1? ? ? ? x0 , ? yo ?1?
3 2 2 2 ? ? x0 ? y0 ? 1 ? ? x0 ? 2. 2
x0 ? 2
? ? 的取值范围是 (??, ?1].
(3)若 P 为双曲线 C 上第一象限内的点, 则直线 l 的斜率 k ? ? 0, ……………9 分 ……………7 分

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

……………11 分

由计算可得,当 k ? (0, ]时, s ? k ? ? 当 k ?? ,

1 2

2 1? k 2 ; 2 1? k
……………15 分

?1 2? 2k ? 1 2 ?2 2 ? ?时, s ? k ? ? k ? k 2 1 ? k . ? ?

1 ? 2 2 ?1 ? k 2 1 ? k , k ? (0, 2 ], ? ∴ s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数是 s ? k ? ? ? ….16 分 ? ? ? 2k ? 1 1 ? k 2 , k ? ? 1 , 2 ? . 2 ?2 2 ? ? ? ? ?k ? k
21、 【解】 (1)

a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a12

? 1 ? 2 ? r ? 3 ? 4 ? ? r ? 2? ? 5 ? 6 ? ? r ? 4? ? 7 ? 8 ? ? r ? 6?
………………..2 分 ………………..4 分



? 48 ? 4 r . 48 ? 4r ? 64, ? r ? 4.

【证明】 (2)用数学归纳法证明:当 n ? Z ?时,T12n ? ?4n. ① 当 n=1 时, T12 ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? a11 ? ?4, 等式成立….6 分 ② 假设 n=k 时等式成立,即 T12 k ? ?4k , 那么当 n ? k ? 1 时,

T12? k ?1? ? T12k ? a12k ?1 ? a12k ?3 ? a12k ?5 ? a12k ?7 ? a12k ?9 ? a12k ?11 ………8 分

7

? ?4k ? ?8k ? 1? ? ?8k ? r ? ? ?8k ? 4? ? ?8k ? 5? ? ?8k ? r ? 4? ? ?8k ? 8? ? ?4k ? 4 ? ?4 ? k ? 1? , 等式也成立.
根据①和②可以断定:当 n ? Z ?时,T12n ? ?4n. …………………...10 分 【解】 (3)

T12 m ? ?4m ? m ? 1? . 当n ? 12m ? 1, 12m ? 2时, Tn ? 4m ? 1; 当n ? 12m ? 3, 12m ? 4时,T ? ?4m ? 1 ? r ; n 当n ? 12m ? 5, 12m ? 6时,Tn ? 4m ? 5 ? r ; 当n ? 12m ? 7, 12m ? 8时,Tn ? ?4m ? r ; 当n ? 12m ? 9, 12m ? 10时,Tn ? 4m ? 4;
当n ? 12m ? 11, 12m ? 12时, Tn ? ?4m ? 4. ………………………..13 分
∵ 4m+1 是奇数, ?4m ? 1 ? r , ?4m ? r , ?4m ? 4 均为负数, ∴ 这些项均不可能取到 100. 此时, T293 , T294 , T297 , T298 为 100. ………………………..15 分 …………………………18 分

8


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