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三角形五心定律


三角形五心定律 三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心..三角形五心定律指是三角形重心定律,外心定律,垂心 定律,内心定律,旁心定律的总称, (一) ,三角重心重心定律:三角形的三条边的中线交于一点,该点叫作三角形的重心.三线交一可用燕尾定理证 明,十分简单。 重心的性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。 2、重心和三角形 3 个顶点组

成的 3 个三角形面积相等。 3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为[(X1+X2+X3)/3],[Y1+Y2+Y3/3)]。 (二) ,三角形外心定律:三角形的三条边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。即三角形为切圆的圆 心.注意到外心到三角形的三个顶点距离相等,结合垂直平分线定义,外心定理其实极好证。 计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量: d1,d2,d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。 c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。重心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。 (三) ,三角形垂心定律:三角形的三条高交于一点,该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质: 1.三角形三个顶点,三个垂足,垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。 2.垂心外心内心三心共线。 3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍。 4此点分每条高线的两部分乘积 定律证明 已知:ΔABC 中,AD、BE 是两条高,AD、BE 交于点连接 CO 并延长交 AB 于点 F 求证:CF⊥AB 证明: 连接 DE ∵∠ADB=∠AEB=90 度 ∴A、B、D、E 四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90 度 ∴∠ACF+∠BAC=90 度 ∴CF⊥AB 因此,垂心定理成立! (四) ,三角形的内心定律:三角形的三条内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.即三角形内切圆的圆心。 注意到内心到三边距离相等(为内切圆半径) ,内心定理其实极易证。 若三边分别为 l1,l2,l3,周长为 p,则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 (五) ,三角形旁心定律:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形的旁切圆(与三角 形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心叫做旁心 性质 每个三角形都有三个旁心。 它到三边的距离相等。 如图,点 M 就是△ABC 的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有 三个旁心,而且一定在三角形外。 附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心.外心,垂心,四心合一. 三角形五心歌(重外垂内旁) 三角形有五颗心;重外垂内和旁心, 重 心 三条中线定相交,交点位置真奇巧, 重心分割中线段,数段之比听分晓; 外 心 三角形有六元素,三个内角有三边.

五心性质很重要,认真掌握莫记混. 交点命名为“重心”,重心性质要明了, 长短之比二比一,灵活运用掌握好. 作三边的中垂线,三线相交共一点.

此点定义为外心,用它可作外接圆. 内心外心莫记混,内切外接是关键. 垂 心 三角形上作三高,三高必于垂心交. 高线分割三角形,出现直角三对整, 直角三角形有十二,构成六对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清. 内 心 三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源; 点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”如此定义理当然.


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