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2014年高一数学必修1考试题(66)


2014 年高一数学必修 1 考试题(66)
一.选择题(每小题 5 分,共 10 小题,共 50 分)
1.已知集合 M A. N

? {1,2,3,4}, N ={-2,2} ,下列结论成立的是(
B. M

) D. M

?M

?N ?M

C. M

?N ? N


? N ? {2}

2.已知函数

?log 3 x, x ? 0 1 f ( x) ? ? x ,则 f ( f ( )) ? ( 9 ?2 , x ? 0
B.

A.4

1 4

C. - 4

D )

-

1 4

3.在下列区间中,函数 A(-2,-1)

f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点所在的区间为(
C (0,1) ) C.

B(-1,0)

D (1,2)

4. 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A.

3

B.

2 3
B a,b 异面 D a∥b 或 a⊥b

3 3
( )

D.

4 3

5. 已知 a∥平面?,b??,那么 a,b 的位置关系是 A a∥b C a∥b 或 a,b 异面

6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(



A.32

B.16+16

2

C.48

D.16+32

2

7.函数

y?x

1 3

的图像是





1

8.定义在 R 上的偶函数

f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ? [0, ??)( x1 ? x2 ) ,有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 x2 ? x1

(

) A

f (3) ? f (?2) ? f (1) f (?2) ? f (1) ? f (3)

B

f (1) ? f (?2) ? f (3) f (3) ? f (1) ? f (?2)

C

D

1 ?1 1 ( )3 则 a, b, c 的大小关系是 9.设 a ? log 1 , b ? log 1 2 , c ? 2 2 3 3
A. a

?b?c

B. c

?b?a

C. b ? C. 3:1:2;

a?c
D.不能确定。

D. b ? c

?a


10.若一个圆柱及一个圆锥的底面直径、高都与球的直径相等,则圆柱、球、圆锥的体积之比为( A.3:2:1; B.2:3:1;

二.填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分)
11.函数

f ( x) ? 1 ? 2log 6 x 的定义域为

. 度

12.如下图左,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 A1B 和直线 A D1 的夹角是

13.如上图右,E,F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影 可能是___________ (填出射影形状的所有可能结果) 14.给定函数①

y?x

1 2

,②

y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2 x ?1 ,其中在区
2

间(0,1)上单调递减的函数序号是

三.解答题(共 6 小题,共 80 分,解答要写出必要的文字说明、推理论证及计算过程)

15.已知集合 A=( ? ?, ?1) ? [1, ??) ,集合 B ? (2a, a ? 1) ( a ? 1 )

2

(1)求当 a ?

1 时,求 ? CR B ? ? A ;(2)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围. 2
1 (0 ? x ? ) 2 1 ( ? x ? 1) 2

16.已知函数

?1 ? 2 x ?1 ? f ( x) ? ? ?2?4 X ? 1 ? ?

(1)求

2 5 (2)解不等式 f ( x ) ? ? 1. f ( ) 的值; 8 8

17.一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的虚线裁下剪开,然后用余下的四个全等的等腰三角形加 工成一个正四棱锥形容器。 (1)试建立容器的容积 V 与 x 的函数关系式,并求出函数的定义域.

(2)记四棱锥的侧面积为 S ? ,定义

V 为四棱锥形容器的容率比,容率比越大,用料越合理。 S?
a 2 ? b2 2
,当且仅当 a

如果对任意的 a, b ? R ,恒有如下结论: ab ?

?

? b 时取等号。

试用上述结论求容率比的最大值,并求容率比最大时,该四棱锥的表面积。

18.已知函数

f ( x) ? x 2 ?

a ? 1 ( x ? 0 ,常数 a ? R ) . x

(1)讨论函数

f (x) 的奇偶性,并说明理由; f (x) 在 x ?[ 2, ? ) 时的单调性,并证明你的结论. ?

(2)若 a ? 16 ,判断函数函数

3

19.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得,适用 7 级超额累进税率,按月应纳税 所得额计算征税。该税率按个人月工资、薪金应税所得额划分级距,最高一级为 45%,最低一级为 3%, 共 7 级。 2011 年 9 月 1 日起调整后的 7 级超额累进税率 全月应纳税所得额 全月应纳税所得额不超过 1500 元 全月应纳税所得额超过 1500 元至 4500 元 全月应纳税所得额超过 4500 元至 9000 元 全月应纳税所得额超过 9000 元至 35000 元 全月应纳税所得额超过 35000 元至 55000 元 全月应纳税所得额超过 55000 元至 80000 元 全月应纳税所得额超过 80000 元 税率 3% 10% 20% 25% 30% 35% 45% 速算扣除数(元) 0 105 555 1005 2755 5505 13505

应纳税所得额=扣除三险一金后月收入-扣除标准(扣除标准为 3500 元/月) 已知广州三险一金占月工资、薪金所得的比率分别为养老保险 8%、医疗保险 2%、失业保险 1%、住房公 积金 8%(共 19%) (1)假设你在广州工作,月工资、薪金所得为 11000 元.请问你每月应纳税所得额为多少?并求出你应该 缴纳的个人所得税。 (2)表中的速算扣除数是指:本级速算扣除额=上一级最高应纳税所得额×(本级税率—上一级税率)+上 一级速算扣除数。利用速算扣除数我们可得: 应纳个人所得税税额=应纳税所得额×适用税率—速算扣除数 ①请用上述公式计算你每月应该缴纳的个人所得税; ②假设你的同事每月缴纳的个人所得税比你多 200 元,试求出你同事每月税前的工资。 (精确到元)

20. 已 知 函 数

, f ( x ) 对 任 意 实 数 x 均 有 f ( x) ? ? f ( x ? 2 ) 且 f ( x ) (1)求

在区间

? 0 , 2? 上 有 表 达 式

. f ( x) ? x( x? 2) (2)写出 在区间

f (?1) , f (2.5) 的值;

,随着 k 的变化讨论函数 g ( x ) f ( x) 在 ? ?3,3? 上的表达式,设 g ( x) ? f ( x) ? k ( k ? R )

? ?3,3? 上零点的个数
f ( x) 在 R 上的解析式,给出函数的单调区间;并求出 x 为何值

(3)体会(2)中解析式的求法,试求出 时,

f ( x) 有最大值

4

参考答案
一. 选择题(每小题 5 分,共 10 小题,共 50 分)

二.填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分)

三.解答题(6 小题,共 80 分,解答要写出必要的文字说明、推理论证及计算过程)

16.解: (1)

5 5 ?4? ? 5 1 2 8 f( )?2 ?1 ? 2 2 ?1 ? ?1 ? ? 1 -----------------------4 分 5 8 8 2

(2)原不等式可化为

1 ? ? 0? x? 2 ? ① ? ?1 x ?1 ? 2 ?1 ?2 8 ?
解①得

1 ? ? x ?1 ? 2 ? 或? ②-------------------------7 分 ? 2 ?4 x ? 1 ? 2 ? 1 ? 8 ?

2 1 ? x ? -------------------------------------------------------------------8 分 4 2

解②得

1 5 ? x ? ---------------------------------------------------------------------10 分 2 8
2 5 , ) ----------------------------------------------12 分 4 8

综上,原不等式的解集为 (

(注:结论没写成集合的不给结果分)

5

18.解: (1)当 a 所以, 当a 由 由

? 0 时,对 ?x ? (??,0) ? (0, ??) ,有 f (? x) ? (? x)2 ? 1 ? x 2 ? 1 ? f ( x)

f ( x) 为其定义域上的偶函数;----------------------------------------------------2 分

? 0 时, f (2) ? 3 ?

a a , f ( ?2) ? 3 ? 2 2

f (?2) ? f (2) ? 6 ? 0 得, f ( x) 不是奇函数 f (?2) ? f (2) ? ?a ? 0 得, f ( x) 不是偶函数

综上,当 a (注:当 a

? 0 时, f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数-------------------------------6 分 ? 0 时,用 f (? x) 与 f ( x) 的关系判断,得出正确结论,要适当扣分)
f ( x) 在区间 [ 2, ? ) 上为增函数--------------------8 分 ?
x1 ? x2 ,则

(2) a ? 16 时, 证明如下:设 2 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x12 ?

16 16 ? 1) ? ( x2 2 ? ? 1) x1 x2

6

? x12 ? x2 2 ?

16( x2 ? x1 ) 16 16 ? ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? x1 x2 x1 x2 ( x ? x ) x x ? 16 16 -----------------11 分 ] ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 1 2 x1 x2 x1 x2

? ( x1 ? x2 )[( x1 ? x2 ) ?
因为 2 ?

x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 4 , x1 x2 ? 4 ? 16 ,所以 ( x1 ? x2 ) ?

故, ( x1 ? x2 ) x1 x2

( x1 ? x2 ) x1 x2 ? 16 ?0 x1 x2

也即

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ---------------------------13 分

由单调性定义知,

f ( x) 在区间 [ 2, ? ) 上为增函数------------14 分 ?

20.解: (1)

f (?1) ? ? f (?1 ? 2) ? ? f (1) ? 1

f (2.5) ? ? f (0.5 ? 2) ? ? f (0.5) ?
( 2 ) 设

3 --------------------------------------------2 分 4
2
, , 则 0

x ? [?

]0 ? x

?2

, 2 ?





f ( x) ? ? f ( x ? 2) ? ?( x ? 2)( x ? 2 ? 2) ? ? x( x ? 2) x ? [?3, ?2] 时, ?1 ? x ? 2 ? 0 , f ( x) ? ? f ( x ? 2) ? ( x ? 2)( x ? 2 ? 2) ? ( x ? 2)( x ? 4) x ?[2,3]
时 ,

0? x

?2



?1

f ( x) ? f (( x ? 2) ? 2) ? ? f ( x ? 2) ? ?( x ? 2)( x ? 2 ? 2) ? ?( x ? 2)( x ? 4)
综上,

f ( x) 在 ? ?3,3? 上的表达式为

7

?( x ? 2)( x ? 4), ?3 ? x ? ?2 ? ? x( x ? 2), ?2 ? x ? 0 ? f ( x) ? ? -------------------------------------------------------6 分 x( x ? 2), 0 ? x ? 2 ? ? ?( x ? 2)( x ? 4), 2 ? x ? 3 ?
由 g ( x) ? 0 得,

f ( x) ? k

方法一:数形结合(略) 方法二:由

f ( x) 在 ? ?3,3? 上的表达式可得, f ( x) 的单调性情况如下

在 [ ?3, ?1] 上为增函数;在 [?1,1] 上为减函数;在 [1,3] 上为增函数 且

f (?3) ? f (1) ? ?1 , f (?1) ? f (3) ? 1

所以当 k 当k

? ?1 或 k ? 1 时,函数 y ? f ( x) 与直线 y ? k 无交点,即函数 g ( x) 无零点;

? ?1 或 k ? 1 时,函数 y ? f ( x) 与直线 y ? k 有 2 交点,即函数 g ( x) 2 个零点; ? 1 时,函数 y ? f ( x) 与直线 y ? k 有 3 交点,即函数 g ( x) 3 个零点;---------------9 分

当 ?1 ? k

8


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