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2014-2015学年度第二学期期末考试高一数学(理)试卷


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2014——2015 学年度第二学期期末考试

个横坐标为

高一数学试卷(理科)
温馨提示:请将所作答案准确填写在答题卡的相应位置。在试卷上作 答,答案无效!考试结束后,本试卷随答题卡一并上交。 满分:150 分 时间:120 分钟

? A. 6

? 的交点,则 ? ? 3 ? B. 3

16.(本小题满分 9 分)
2? C. 3 5? D. 6

8.方程 x2 ? y2 ? ax ? 2ay ? 2a2 ? 3a ? 0 表示的图形是半径为 r ( r ? 0 ) 的圆,则该圆圆心在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

?? ? 2 x ? 3,???? x ? 0, ? f ( x ) ? ? 0,????????????? x ? 0, ?? ? x ? 5,???? x ? 0. ?2 函数 请设计算法框图,要求输入自变量,输

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一个是符合题目要求) 1.下列说法正确的是 A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线 平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平 行 C.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 2.一个斜三棱柱的一个侧面的面积为 S , 另一条侧棱到这个侧面的 距离为 a , 则这个三棱柱的体积是 1 1 1 2 A. Sa B. Sa C. Sa D. Sa 3 4 2 3 3.过点 P(5,2), 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程 是 A. 2x+y-12=0 B. 2x+y-12=0 或 2x-5y=0 C. x+2y-9=0 D. x+2y-9=0 或 2x-5y=0 ? 4.在 ?ABC 中, ?ACB ? 90 , BC ? 2 , AC ? 3 ,点 D 在斜边 AB 上, 以 CD 为棱把它折成直二面角 A ? CD ? B ,折叠后 AB 的最小值为 A. 6 B. 7 C. 2 2 D. 3

出函数值.





9.若 2 x ? 3 y ? 5z ? 29 ,则函数 u ? 2 x ?1 ? 3 y ? 4 ? 5z ? 6 的最大值 为 A. 5 B. 2 15 C. 2 30
1 ? 1 ,则 a4 等于( an?1





D. 30 ) D.
2 3

10.数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? A.
5 3





B.

4 3

C.1





第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 已 知 直 线 kx ? y ? 1 ? k ? 0 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线 1 1 mx ? ny ? 1 ? 0(m, n ? 0) 上,则 ? 的最小值为 m n 2 2 2 12.圆 x ? y ? r 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ,类似地,
x y ? ? 1 在 (4, 2) 处的切线方程为________ 32 8 13.将长宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 得到四面 体 A-BCD,则四面体的外接球的体积为_________. ? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a 与 b 的夹角为 60° ,且 a = (?2, ?6) , b ? 10 ,则 a ?b 的
2 2

17.(本小题满分 12 分)

可以求得椭圆

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 在 ?ABC 中 ,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 AB?AC ? BA?BC ? 1
(1)求边长 c 的值 ; ??? ? ???? (2)若 AB ? AC ? 6 , 求 ?ABC 的面积

5.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合 为 A ,从集合 A 中任取一个元素 a ,则函数

值为 三.解答题(本大题共 7 小题,共 80 分, 解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤)

y = x ( x ≥ 0) 是增函数的概率为
3 A. 7 4 B. 5 3 C. 5 3 D. 4

a

15.(本小题满分 9 分) 如图,在四棱台 ABCD ? A1B1C1D1 中, D1D ⊥平面 ABCD ,底面
ABCD 是平行四边形 AB ? 2 A1B1 ? 2 AD ? 2DD1 , ?BAD ? 60?

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 6.在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , AD ? 2 ,则 BA ? BD ? BC ?

(Ⅰ) 证明: AA1 ? BD ; (Ⅱ) 求 A1B 与面 A1 ADD1 成角的余弦值; (Ⅲ) 证明:直线 CC1 ∥平面 A1BD .
高一数学(理)第 2 页(共 6 页) 高一数学(理)第 3 页(共 6 页)

A.12

B.6

C. 4 5

D. 2 5

7.已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) ( 0 ? ? ? ? ) ,它们的图象有一
高一数学(理)第 1 页(共 6 页)

18.(本小题满分 10 分) 光明中学高一某班为了对即将上市的班刊进行合理定价,将对班刊按 事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单价 x 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 (元) 销量 y 90 84 83 80 75 68 (元) (Ⅰ)求回归直线方程 y ? bx ? a ;

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn Sn ? 2an ?1(n ? N ? ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 满足 bn ? 2n?an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (3)若数列 ?an ? 满足 cn ? 3n ? 2(?1)n?1 ?an( ? 为非零常数) ,确定 ? 的 取值范围,使 n ? N ? 时,都有 cn?1 ? cn .

21.(本小题满分 14 分) 数列 {an } 中, a3 ? 1 , a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ( n ? N * ). (1)求 a1 , a 2 ; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (3)设 bn ? log2 S n ,存在数列 {cn } 使得

(其中 b ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

cn ? bn?3 ? bn?4 ? 1 ? n(n ? 1)(n ? 2)S n ,试求数列 {cn } 的前 n 项和.
, a ? y ? bx )

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

(Ⅱ)预计今后的销售中,销量与单价服从(Ⅰ)中的关系,且班刊 的成本是 4 元/件,为了获得最大利润,班刊的单价定为多少元?

竖 线 以 内 不 许 答 题

19.(本小题满分 12 分) ?? ? 已知向量 m ? (2cos ? x,1), n ? ( 3sin ? x ? cos ? x, a) ,其中 ?? ? ( x ? R, ? ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最小正周期为 ? ,最大值为 3. (1)求 ? 和常数 a 的值; ? (2)求当 x ? [0, ] 时,函数 f ( x) 的值域. 2

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… … … ○ … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … …

… … … ○ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … …

2014——2015 学年度第二学期期末考试

(Ⅲ)

(2)

高一数学试卷(理科)答题卡
题型 题号 得分 选择题 1~10 填空题 11~14 15 16 17 解答题 18 19 20 21 总分

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一个是符合题目要求) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案









第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 12. 13. 14. 三.解答题(本大题共 7 小题,共 80 分, 解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 9 分) (Ⅰ)

16.(本小题满分 9 分)





18.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)





(Ⅱ)

17.(本小题满分 12 分) (1)

(Ⅱ)

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19.(本小题满分 12 分) (1)

20.(本小题满分 14 分) (1)

21.(本小题满分 14 分) (1)

(2)

(2)

竖 线 以 内

(2)
不 许

(3)

(3)

答 题

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… … … ○ … … … … ○ … … … … 外 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … …

… … … ○ … … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … …

2014——2015 学年度第二学期期末考试

∴GD=GB, 故∠DBG=∠GDB. 又∵∠AGD=60° , ∴∠GDB=30° , ∴∠ADB=∠ADG+∠GDB=60° +30° =90° ,………………2 分 ∴BD⊥AD.又∵AD∩D1D=D, ∴BD⊥平面 ADD1A1. 又∵AA1?平面 ADD1A1,∴AA1⊥BD.…………………………3 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,BD⊥面 ADD1A1, ∴∠BA1D 即 A1B 与面 A1ADD1 成的角,………………………4 分 设 AB=2,A1B1=AD=DD1=1, 1 由棱台的定义,A1D1= ,D1D⊥平面 ABCD, 2 ∴D1D⊥面 A1B1C1D1,Rt△ DD1A1,A1D= 在 Rt△ ABD 中,BD= 3 ,
17 在 Rt△ BA1D 中,A1B= , 2 5 ,………………5 分 2

高一数学(理科)试卷参考答案
第 I 卷(选择题 共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一个是符合题目要求) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 A C D B C C A D C A 答案

∴CC1∥平面 A1BD.……………………………………………9 分 16.(本小题满分 9 分) 解:





第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 4
x y 12. ? ? 1 8 4









125 ? 13. 6

14.

10

……………………9 分 17.(本小题满分 12 分) ??? ? ??? ? (Ⅰ)∵ AB?AC =1,∴ bc cos A ? 1
b2 ? c 2 ? a 2 ? 1 ,即 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 由余弦定理得 bc? 2bc

三.解答题(本大题共 7 小题,共 80 分, 解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 9 分) (Ⅰ) 法一∵D1D⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,∴D1D⊥BD. 在△ABD 中,由余弦定理,得 BD2=AD2+AB2-2AD· ABcos∠BAD. 又∵AB=2AD,∠BAD=60° ,∴BD2=3AD2.………………1 分 ∴AD2+BD2=AB2,因此 AD⊥BD .…………………………2 分 又∵AD∩D1D=D,∴BD⊥平面 ADD1A1. 又∵AA1?平面 ADD1A1,∴AA1⊥BD.………………………3 分 法二∵DD1⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD, ∴BD⊥D1D.…………………………………………………1 分 如图 1,取 AB 的中点 G,连接 DG.





∴cos∠BA1D=

A1 D 85 = ………………………………………6 分 A1 B 17

(Ⅲ)如图 2,连接 AC,A1C1. 设 AC∩BD 于点 E,

∵由(Ⅰ)得 a ? b ,∴ c 2 ? 2 ,∴ c ? 2
??? ? ???? ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? (Ⅱ)∵ AB ? AC ? 6 ,∴ AB ? AC ? 2 AB?AC ? 6

即 c 2 ? b2 ? 2 ? 6 ∵ c2 ? 2 图2 连接 EA1.…………………………………………………………7 分 ∵四边形 ABCD 为平行四边形, 1 ∴EC= AC. 2 由棱台的定义及 AB=2AD=2A1B1 知, A1C1∥EC 且 A1C1=EC, ∴ S?ABC ?

∴ c 2 ? b2 ? 4 ∴ ?ABC 为正三角形

∴ b2 ? 2, b ? 2
3 3 ? ( 2)2 ? 4 2

18.(本小题满分 10 分) 8 ? 8.2 ? 8.4 ? 8.6 ? 8.8 ? 9 ? 8.5 解: (Ⅰ) x ? 6 90 ? 84 ? 83 ? 80 ? 75 ? 68 y? ? 80 , 6 所求线性回归方程为: y ? ?20 x ? 250 (Ⅱ)获得利润 z ? ( x ? 4) y ? ?20 x? 330 x ? 1000
2

图1 在△ABD 中,由 AB=2AD,得 AG=AD. 又∵∠BAD=60° ,∴△ADG 为等边三角形,
高一数学(理)第 1 页(共 6 页)

∴四边形 A1ECC1 为平行四边形,……………………………8 分 因此 CC1∥EA1. 又∵EA1?平面 A1BD,CC1? 平面 A1BD,
高一数学(理)第 2 页(共 6 页)

高一数学(理)第 3 页(共 6 页)

当 x ? 8.25 时, zmax ? 361.25 (元) ∴当单价应定为 8.25 元时,可获得最大利润 19.(本小题满分 12 分) ?? ? 解: (1) f ( x) ? m ? n ? 2 3sin ? x cos ? x ? 2cos2 ? x ? a ? ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ?1 ? a ? 2sin(2? x ? ) ? a ? 1 , 6 2? ? ? ,得 ? ? 1 由T ? 2? ? 又当 sin(2? x ? ) ? 1 时 ymax ? 2 ? a ?1 ? 3 ,得 a ? 2 . 6 ? (2)由(1)知 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? 1 ? ? ? ? 5? ? ? ?? ∵ x ? ?0, ? ,∴ 2 x ? ? ? ? , ? ,∴ sin(2 x ? ) ? ?? ,1? 6 ? 2 ? 6 ? 6 6 ? ? 2? ? ∴ 2sin(2 x ? ) ? ? ?1, 2? ∴ f ( x) ? [0,3] ,∴所求的值域为 [0,3] . 6 20.(本小题满分 14 分) 解: (1)a n ? 2 n ?1 ……………………………………………………3 分 ( 2 )
2

3 ? ? ? 1 且 ? ? 0 …………………………………………14 分 2 21.(本小题满分 14 分)

∴ ?

高一数学(理)期末考试命题说明
1.命题的主要依据是课程标准和考试大纲,试题的编制都完 全依照高考模式,内容、范围、难度符合课程标准的要求。 2 .力求试卷内容的科学性和准确性, 试卷容量与知识覆盖面

?a1 ? a 2 , ? a ? a 2 ? a3 , a ? a ? ? ? a ? a 1 2 n n ? 1 (1)由 ,得 ? 1

所以 2a1 ? a3 ? 1 ,故

a1 ?

1 1 , a2 ? 2 2.

(2)由 a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ,得 S n ? an?1 所 以 {S n } 是 首 项 为
1 S n ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 2 .
S1 ? a1 ?

S n ?1 ?2 ? S n?1 ? S n ,故 S n .

相当,知识和能力的考核兼顾。 3.考试范围涵盖高中数学(理)必须掌握的内容。 4.题型符合目前高考类型,不出怪题、偏题,题量适中,避 免大部分学生不能完卷或提前很多时间完卷的情况出现。 5.试题内容以考核基础知识与基 本技能为主, 也有一定的灵
竖 线 以

1 2 ,公比为 2 的等比数列,故

(3)因为 S n ? 2

n ?2

,所以 bn ? n ? 2 , bn?3 ? n ? 1 , bn?4 ? n ? 2 .

活运用所学知识和技能的试题和具有一定难度的综合试题, 容易题、中档题、提高题三者的分数比例为 7:2:1。




bn ? n 2 n
3



Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n
n n ?1

因为 cn ? bn?3 ? bn?4 ? 1 ? n(n ? 1)(n ? 2)S n ,
n ?2 所以 cn ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? 1 ? n(n ? 1)(n ? 2)2 ,

① 2Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1)n ? 2 ? n ? 2 ①②
n



6.试题覆盖面全,试题难度系数控制在 0.60~0.75 之间。
不 许 答 题



? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1



cn ?

1 ? n ? 2 n?2 (n ? 1)(n ? 2) . 1 1 1 ? ??? 2 ?3 3? 4 (n ? 1)(n ? 2)

?

2(1 ? 2 ) ? n ? 2 n ?1 ? (1 ? n) ? 2 n ?1 ? 2 1? 2

高一数学(理)期末考试阅卷说明 1.选择题与填空题必须完全按照所给正确答案赋予 分数,阅卷老师需将选择题、填空题实际所得分数 明显标注于学生答题卡醒目位置。 2.解答题部分,由于考生水平有限,并不要求与标准
②.
2 (1 ? 2 ) ? n ? 2 n ?1 1? 2 ,
n ?1

A?



∴ Tn ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ……………………………………………7 分 (3) ∵ C n ? 3 ? 2 ? (?1)
n n ?1

?2

n ?1

? 3 ? (?1)
n n

n ?1

?2
n

n

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2 .
?1 0 1 n?2 令 B ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2

∴ C n ?1 ? C n 即 即3
n ?1 n

3
n

n ?1

? (?1) ? 2
n n ?1

n ?1

? 3 ? (?1) ? 2
n n n

①,

? 3 ? (?1) ? 2

? (?1)

n ?1

? 2 ? 0 即 2 ? 3 ? (?1) λ(2
n

n ?1

?2 )?0
n

0 1 n ?2 n?1 则 2B ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ? n ? 2

答案完全一样,考生所写答案步骤、结果等正确、 清晰明了即可,考生答案正确但不完整,阅卷老师 务必按点给分,若考生概念错误,则不得分,概念
.

即 2 ? 3 n ? (?1) n λ3 ? 2 n ? 0 ①-②,得 ∴ (?1) n ? ?

? B ?2 ?1 ?2 0 ? 21 ? ? ? 2 n ?2 ? n ? 2 n?1 ?
1 2

? 2 ? 3n 3 ? 2n

3 即 (?1) n ? ? ? ( ) n ?1 ………………………8 分 2 3 ∴ ? ? ? …………………………10 分 2

3 3 当 n 为偶数时 ? ( ) n ?1 ? ? 2 2 3 当 n 为奇数时 ? ( ) n ?1 ? ? 1 2



B ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ?

∴ ? ? ? ?1

即 ? ?1

又∵ ? ? 0

所以

c1 ? c 2 ? ? ? c n ? A ? B ? (n ? 1) ? 2

n ?1

n ?1 ? n? 2.

思路正确但结果错误的可给予一半分数。若出现雷 同卷的,所有雷同卷均不得分,以 0 分计算!
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