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2012年高中数学联赛陕西赛区预赛试题


2012年高中数学联赛陕西赛区预赛试题 第一试 填空题:(每小题8分,共80分)要求直接将答案填在题中的横线上. 1. 已知集合 ,若非空集合 满足: 中各元素都加4后构成 的一个子集, 中个元素都减去4 后也构成 的一个子集,则 答案: 2. 已知两条直线 , ,设函数 的图像与 、 分别交于点 A、B,函数 的图像与 、 分别交 于点 C、D,则直线 AB 与 CD 的交点坐

标是 答案: 3. 对于正整数 ,若 、 ,当 最小时,我们称 为 的“最佳分解”,并规定 .例如,12的分解有 12 1,6 2,4 3,其中4 3为12的“最佳分解”,则 .关于 ,有以下四个判断: ① ② ; ③ ; ④. . 其中,所有正确判断的序号是 答案:②、④ 4. 已知 为等腰直角三角形, ,且 , ,若 ,则 的面积等于 答案:1 5. 在正四面体 ABCD 中,AO 平面 BCD,垂足为 O.设 M 是线段 AO 上一点,且满足 ,则 . 答案:1 6. 如图1,Rt 的三个顶点都在给定的抛物线 上,且斜边 AB//x 轴,则斜边上的高 . 答案: 7. 某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖) ,且相应获奖的概率 是以 a 为首项、2为公比的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、以 为公差的等差 数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是 答案:500 8. 设 、 是两个不同的质数,则 被 除的余数是 答案:1 9. 定义在 R 上的函数 满足: ,且对于任意的 ,都有 .则不等式 的解集为 答案: 10. 从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽, 在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运三根,要 完成运载20根电线杆的任务,并返回材料工地,则运输车总的行程最小为 m. 答案:14000 第二试 一、 (本题满分20分) 在 中,已知 ,且 . (1) 求角 A 的大小和 边的长; (2) 若点 P 在 内运动(含边界) ,且点 P 到三边距离之和为 d,设点 P 到边 BC、CA 的距 离分别为 ,试用 表示 d,并求 d 的取值范围. . . 元. . .

答案: 二、 (本题满分20分) 在平面直角坐标系中,以点 于原点 ). (1) 求证: 的面积 为定值; (2) 设直线 与圆 相交于不同的两点 ,且 ,求圆 的标准方程. 答案: 三、 (本题满分20分) 如图2,锐角 内接于圆 ,过圆心 且垂直于半径 的直线分别交边 于点 设圆 在 两点处的 切线相交于点 . 求证:直线 平分线段 因为 是 的外心,所以 所以 又 为圆 的切线,所以 . 所以 ,于是 . 同理 又 ,所以 ,即 平分线段 . 因为 ,故直线 平分线段 . 四、 (本题满分30分) 已知数列 满足: , . (1) 求数列 的通项公式; (2) 若数列 满足: ,且对任意正整数 , 不等式 恒成立,求整数 m 的最大值. 若存在 ,则由 知, .依次类推, ,这与 矛盾.故 于是,由 ,得 ,即 . 所以 是首项为3、公比为3的等比数列. 所以 ,即 由(1)得 .从而 . 于是,不等式 等价于 令 则 所以 单调递增. 所以 . 于是, ,即 . 故整数 的最大值为13. . 证明:如图4,过点 作 的平行线,分别交 延长线于点 ,则 为圆心的圆经过坐标原点 ,且分别与 轴、 轴交于点 (不同

五、 (本题满分30分) 对于任意的正整数 n,证明: . 证明:记 , . 先证明:对任意 ,有 . 事实上,

因为 单调递增,所以 . 故 再证明:对任意 ,有 . 当 时, ,不等式成立. 当 时, (1) 若 为奇数,令 ,则

(2) 若 为偶数,令 ,则 . 综上所述,对任意 ,都有 .

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