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2012年华约自主招生数学含答案以及详解)


2012 年高水平大学自主选拔学业能力测试 数学 (华约)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1. 已 知 P 为 三 角 形 ABC 内 部 任 一 点 ( 不 包 括 边 界 ) , 且 满 足

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ( PB

? PA)( PB ? PA ? 2 PC ) ? 0 ,则△ABC 一定为(

) A.直角三角形;B. 等边三角形;C. 等腰直角三角形;D. 等腰三角形 2.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中 点,动点 P 在圆锥底面内(包括圆周) 。若 AM⊥MP,则 P 点形成的轨迹的长度 为______

A.

7

B.

7 2

C. 3

D.

3 2

3.设有一个体积为 54 的正四面体,若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体,则 所作四面体的体积为______ A.1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键,会等可 能的将其替换为 0~n?1 中的任意一个数。如果初始时显示 2011,反复按这个按键使 得最终显示 0,那么这个过程中,9、99、999 都出现的概率是 A. 5.已知 ? , ? ? R ,直线 B. C. D.

x y ? ?1与 sin ? ? sin ? sin ? ? cos ?

x y ? ? 1 的交点在直线 y ? ?x 上, cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? 则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 。
A.0 B.1. C-1 D.2

1 1 1 1 ? ? 6.设 f ( x) ? ,则 f ( x) ? f ( ) ? _________ 。 lg x lg x lg x 1? 2 1? 4 1? 8 x
A1 B2 C3 . C1 D -4/5 D4
1 7. 已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos4 ? ? 5

A 4/5

B 3/5

,AA? ? 2 ,则 8 .顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD ? A?B?C?D? 中, AB ? 1 ) A,C 两点间的球面距离为(
2 2 D. ? ? 2 4 , 使关于 t 的方程 9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 内 , 将 适 合 x ? y, x ? 3 , y ? 3且
A. B. C.

? ?

? ?

1/9

( x3 ? y 3 )t 4 ? (3x ? y )t 2 ?

1 ? 0 没有实数根的点 ( x, y ) 所成的集合记为 N,则由点 x? y

集 N 所成区域的面积为 。 A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/5 2 2 x y 10. 已知椭圆 ? ? 1的左、右焦点分别为 F1、F2,过椭圆的右焦点作一条直线 4 3 l 交椭圆于点 P、Q,则△F1PQ 内切圆面积的最大值是 .

A

B

C

D

二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的 最大值为 1,求 b2 ? c2 的最大值和最小值. 二、已知椭圆 C:

x2 y 2 4 25 ,其离心率为 ,两准线之间的距离为 。 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b 5 2

(1)求 a, b 之值; (2)设点 A 坐标为(6, 0),B 为椭圆 C 上的动点,以 A 为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母 A,B,P 按顺时针方向排列) ,求 P 点的轨迹方程。 三.(本小题满分 25 分)已知数列{an}中的相邻两项 a2k-1,a2k 是关于 x 的方程 x2- (3k+2k)x+3k× 2 k =0 的两个根. (1)求数列{an}的前 2n 项和 S2n. (2)记 f(n)= (
1 2
f ( 3) f ( n ?1) f ( 2) f ( 4) ( - 1) ( - 1) ( - 1) (- 1 ) | sin n | +3) ,Tn= + + +…+ ,求证: a3 a 4 a 2 n ?1 a 2n a1 a 2 a5 a6 sin n

5 1 ≤Tn≤ (n∈N+) 24 6

四、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 过定点 A(1,0) ,且焦点在 x 轴上,椭圆与曲线 y ? x a2 b2

的交点为 B、C。现有以 A 为焦点,过 B,C 且开口向左的抛物线,其顶点坐标为 M

2 ? e 2 ? 1 时,求实数 m 的取值范围。 3 1 五、已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ,某植物研究 3
(m,0) ,当椭圆的离心率满足 所进行该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立。假定 某次实验种子发芽则称该次实验是成功的, 如果种子没有发芽, 则称该次实验是 失败的。若该研究所共进行四次实验,设 ? 表示四次实验结束时实验成功的次数 与失败的次数之差的绝对值 (1)求随机变量 ? 的数学期望 E ? ;
2/9

(2)记“关于 x 的不等式 ?x 2 ? ?x ? 1 ? 0 的解集是实数集 R”为事件 A,求事件 A 发生的概率 P(A) 。

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 1 . 解:因为 PB ? PA ? AB, PB ? PA ? 2 PC ? CB ? CA ,所以已知条件可改写为 ??? ? ??? ? ??? ? 因此 选 D。 AB ? (CB ? CA) ? 0 。容易得到此三角形为等腰三角形。
2. 解: 建立空间直角坐标系。 设 A(0,-1,0), B(0,1,0), S (0, 0, 3 ) , M (0, 0, 于 是 有

数学答案及详解

3 P(x,y,0). ), 2

???? ? 3 ???? 3 AM ? (0,1, ), MP ? ( x, y, ? ). 由 于 AM ⊥ MP , 所 以 2 2 3 3 3 (0,1, ) ? ( x, y, ? ) ? 0 ,即 y ? ,此为 P 点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的 2 2 4 3 2 7 长度为 2 1 ? ( ) ? 。 因此 选 B。 4 2
3. B

1 若计算器上显示 n 的时候按下按键,因此时共有 1~n?1 共 n 种选择,所以 106 1 产生给定的数 m 的概率是 。如果计算器上的数在变化过程中除了 2011,999,99,9 n
4.. 答: 和 0 以外,还产生了 a1 , a2 ,?, an ,则概率为

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ,所 2011 a1 a2 an 999 99 9

以所求概率为 p ? ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? 2011 a1 a2 an 999 99 9 1 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ?1 ? 1 ?? ?? ? ? ?? 20 1?0 0 0 999 ? 0 9? ? ? 998 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? 1? 0 9? 8 ? ?

?

1 ? 1 ?? 1? ?1 ? ?? 2 0 1? 1 20? 1? 0

1 ? 1 ? 1 ? ? ?? 1 ? ? ?1 ? ?? ? 9? 8 ? 1 0 0? 9 9 ?
注意到 1 ?

1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ???1 ? 1? 2011 ? 2010 ?? 2009 ? ? 1000 ? ? 999 ? ? 998 ?
1 1 1 1 ? ? ? 6 。 1000 100 10 10

两式相除即得 p ?
3/9

5.解:由已知可知,可设两直线的交点为 ( x0 , ? x0 ) ,且 sin ? , cos ? 为方程

x0 ? x0 ? ? 1, t ? sin ? t ? cos ?
的两个根,即为方程

t 2 ? (cos ? ? sin ? )t ? sin ? cos ? ? x0 (cos ? ? sin ? ) ? 0
的两个根。因此

sin ? ? cos ? ? ?(sin ? ? cos ? ) ,
即 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 0。 6. 解: f ( x) ? f ( ) ?
4 5

1 x

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 3。 lg x lg x lg x ? lg x ? lg x 1? 2 1? 4 1? 8 1? 2 1? 4 1 ? 8? lg x

7. 8. B

9. 答:

81 5
3 3 2

令 u ? t 2 ,原方程化为 ( x ? y )u ? (3x ? y )u ?

1 ? 0. x? y



? ? (3 x ? y ) 2 ? 4( x 3 ? y 3 ) ?

1 x? y

? 5 x 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? (5 x ? 3 y )( x ? y ).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,

? x ? y, ? x ? y, ? ? ? x ? 3, ? ? x ? 3, 或 ? y ? 3, ? ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0, ? y ? 3, ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0 ? ? ? ?3 x ? y ? 0.

4/9

点集 N 所成区域为图中阴影部分,其面积为

1 24 1 81 S ? S?ABO ? S?BCO ? ? ? 3 ? ? 6 ? 3 ? . 2 5 2 5 9 10. 答: ? 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的 2 倍,且△F1PQ 的 16
周长是定值 8,所以只需求出△F1PQ 面积的最大值。设直线 l 方程为 x ? my ? 1 ,与椭圆 方程联立得 3m 2 ? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , 设 P ? x1 , y1 ? ,Q ? x2 , y2 ? , 则 y1 ? y2 ? ?

?

?

6m 3m2 ? 4



y1 y2 ? ?

9 3m ? 4
2

,于是

S?F1PQ ?

1 F1F2 ? y1 ? y2 ? 2 ? 1

? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? 12
2

m2 ? 1

?3m

2

?4 ?

?

2



因为

m2 ? 1

?3m
?

2

?4

?

2

1 9m2 ? 15 ? 2 m ?1

?

1 1 9m 2 ? 9 ? 2 ?6 m ?1

1 ,所以内切圆半径 16

r?

2S?F1PQ 8

9 3 ,因此其面积最大值是 ? 。 4 16

二、解答题 一. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在 闭端点取得, 故有 f (2) ≤ f (3) ? 1,从而 b ≥ ?5 且 c ? ?3b ? 8 .若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ≥ 0 ,
4 ? ? ?b ≤ ? 5 , ? f ( ?2) ≥ 0, ?4 ? 2b ? c ≥ 0, ? ? ? 在区间 ? ?2, 2? 有 ? f (2) ≥ 0, 即 ?4 ? 2b ? c ≥ 0, 消去 c,解出 ?b ≤ ?4, ? ??4 ≤ b ≤ 4, ??4 ≤ b ≤ 4, b ? ?2 ≤ ≤ 2, ? ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c 2 )min ? 32,(b2 ? c 2 )max ? 74 .
5/9

注重分类讨论 二、

解: (1)设 c 为椭圆的焦半径,则 于是有 a=5,b=3。

c 4 a 2 25 。 ? , ? a 5 c 4

(2) 解法一:设 B 点坐标为 ( s, t ) ,P 点坐标为 ( x, y ) 。于是有
??? ? ??? ? AB ? (s ? 6,t), AP ? ( x ? 6,y )。

??? ? ??? ? 因为 AB ? AP ,所以有

(s ? 6,t) ( x ? 6,y) ? (s ? 6)( x ? 6) ? ty ? 0 。
又因为 ABP 为等腰直角三角形,所以有 AB=AP,即
2 2 (s ? 6) ? t 2 ? (x ? 6) ? y2 。

(A1 )

(A2 )

ty t 2 y2 2 ? ( s ? 6) ? 由(A1)推出 s ? 6 ? ? ,代入(A2) ,得 x?6 ( x ? 6) 2
2 t2 ? (x ? 6)

(s ? 6),即 s ? 6 ? y (不合题意,舍去)或 s ? 6 ? y 。 从而有 y ?
2 2

代入椭圆方程,即得动点 P 的轨迹方程
2 2 (x ? 6) (y ? 6) ? ? 1。 9 25

解法二: 设 B( x1 , y1 ) , P( x, y ), AB ? r ,则以 A 为圆心,r 为半径的圆的参数方 程为
? x ? 6 ? r cos ? 。 ? ? y ? r sin ?

设 AB 与 x 轴正方向夹角为 ? ,B 点的参数表示为
? x1 ? 6 ? r cos ? , ? ? y1 ? r sin ?
6/9

P 点的参数表示为
? x ? 6 ? r cos(900 ? ? ) ? x ? 6 ? r sin ? ? ,即 ? . ? 0 ? y ? r sin(90 ? ? ) ? y ? ? r cos ? ?

从上面两式,得到
? x1 ? 6 ? y 。 ? ? y1 ? x ? 6

又由于 B 点在椭圆上,可得
( x ? 6)2 ( y ? 6)2 ? ? 1。 9 25
此即为 P 点的轨迹方程。

2 ? 0 的两个根为 三.(I)解:方程 x ? (3k ? 2 ) x ? 3k ?
2 k k

x1 ? 3k , x2 ? 2k ,

????????????(5 分)

S2 n ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n ? (3 ? 6 ? ? ? 3n) ? (2 ? 22 ? ? ? 2n )

?

3n 2 ? 3n ? 2n ?1 ? 2 . 2

????????????(10 分)

(Ⅱ) 证明: Tn ?

1 1 1 (?1) f ( n ?1) ? ? ?? ? , a1a2 a3a4 a5 a6 a2 n ?1a2 n
????????????(15 分)

所以 T1 ?

1 1 1 1 5 . ? ? ? ,T2 ? a1a2 a3a4 24 a1a2 6

当 n ≥ 3 时,

Tn ?

? 1 1 1 1 ? 1 1 1 ( ?1) f ( n ?1) ≥ ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? 6 a3a4 ? a5 a6 a2 n ?1a2 n ? 6 a3a4 a5 a6 a2 n ?1a2 n

1 1 1? 1 1 ? 1 1 1 ≥ ? ? ? 3 ?? ? n ? ? ? ? , ????????????(20 分) 2 n 6 6?2 6 ? 2 2 ? 6 6?2 6
同时, Tn ?
7/9

? 1 5 1 1 ? 5 1 1 (?1) f ( n ?1) ≤ ? ?? ?? ? ? ? ??? ? 24 a5 a6 ? a7 a8 a2 n ?1a2 n ? 24 a5 a6 a7 a8 a2 n ?1a2 n



5 1 1? 1 1 ? 5 1 5 . ? ? ? 1 ?? ? n ? ? ? ? 3 n 24 9?2 9 ? 2 2 ? 24 9?2 24

综上,当 n ? N ? 时,

1 5 ≤ Tn ≤ . 6 24

?????????(25 分)
2 2

四、解:椭圆过定点 A(1,0) ,则 a ? 1 , c ? 1 ? b , e ? 1 ? b ,



3 2 。 ? e 2 ? 1 ,∴ 0 ? b ? 3 3

由对称性知,所求抛物线只要过椭圆与射线 y ? x ( x ? 0) 的交点,就必过椭圆与射 线 y ? ? x ( x ? 0) 的交点。

? y ? x ( x ? 0) b ? 联立方程 ? 2 y 2 ,解得 x ? y ? 。 1? b2 ?x ? 2 ? 1 b ?
∵0 ? b ?

3 1 ,∴ 0 ? x ? 。 3 2
2

设抛物线方程为: y ? ?2 p( x ? m) , p ? 0 , m ? 1 。

p ① ? m ? 1 , ∴ y 2 ? (1 ? m)( x ? m) 2 1 2 把 y?x , 0? x? 代 入 ① 得 x ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) ? 0 , m ? 1 , 2 1 0? x? 。 2 1 2 令 f ( x) ? x ? 4(m ? 1) x ? 4m(m ? 1) , m ? 1 , 0 ? x ? , 2
又 ∵ ∵ f ( x) 在 ? 0 ,

? ?

1? ? 内有根且单调递增, 2?

? f (0) ? ?4m(m ? 1) ? 0 ?m ? 1 或 m ? 0 ? ? ∴? ?1? 1 ? ?3 ? 2 3? 2 〈m 〈 ? f ? 2 ? ? 4 ? 2(m ? 1) ? 4m(m ? 1) ? 0 ? 4 ? 4 ? ? ?
8/9

综上得: 1 ? m ?

3? 2 。 4

五、 (1)由题意知L ? 的可能取值为 0,2,4

? “? ? 0” 指的是实验成功 2 次,失败 2 次.

1 24 2 1 3 ? P(? ? 0) ? C 4 ( ) (1 ? ) 2 ? 3 3 81
“? ? 2” 指的是实验成功 3 次,失败 1 次或实验成功 1 次,失败 3 次.

1 1 40 3 1 3 1 1 ? P(? ? 2) ? C 4 ( ) (1 ? ) ? C 4 ( )(1 ? ) 3 ? 3 3 3 3 81
“? ? 4” 指的是实验成功 4 次,失败 0 次或实验成功 0 次,失败 4 次.

1 17 4 1 4 0 ? P(? ? 4) ? C 4 ( ) ? C4 (1 ? ) 4 ? 3 3 81 24 40 17 148 ? E? ? 0 ? ? 2? ? 4? ? 81 81 81 81 148 故随机变量 ? 的数学期望为 . 81
(2)由题意知: “不等式 ?x ? ?x ? 1 ? 0 的解集是实数 R”为事件 A.
2

当 ? ? 0 时,不等式化为 1>0,其解集是 R,说明事件 A 发生; 当 ? ? 2 时,不等式化为 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

? ? ? ?4 ? 0 ,所以解集是 R,说明事件 A 发生;
当 ? ? 4 时, 不等式化为 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ? (2 x ? 1) ? 0 其解集 ? x x ? R x ?
2 2

? ?

1? ?, 2?

说明事件 A 不发生. ∴ P( A) ? P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?

24 40 64 ? ? 81 81 81

9/9


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