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广东省东莞四中2014-2015学年高二数学上学期第一次段考试卷 理(含解析)


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广东省东莞四中 2014-2015 学年高二上学期第一次段考数学试卷 (理 科)
一、选择题: (每题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)某礼堂的座椅第一排有 5 个座位,第二排有 7 个座位,第三排有 9 个座位,依此 类推,那么第十五排的座位个数是() A. 27 B. 33 C. 45 D. 51 2. (5 分)在△ABC 中,已知角 A=60°,边 b=1,三角形的面积为 A. 5 B. C. 4 ,则边 c=() D. 3
2 2 2

3. (5 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 bc=b ﹣a +c ,则 A=() A. 30° B. 60° C. 30°或 150° D. 60°或 120°

4. (5 分)在△ABC 中,a=3 A. 3 B. 2

,b=2

,cosC= ,则△ABC 的面积为() C. 4 D.

5. (5 分)等差数列{an}中,a4=1,a8=8,则 a12 的值是() A. 15 B. 30 C. 31

D. 64

6. (5 分)某企业今年产值为 27 万元,产值年平均增长率为 ,那么,经过 3 年,年产值达 到() A. 64 万元 B. 48 万元 C. 29 万元 D. 万元

7. (5 分)公比为 2 的等比数列{an} 中,a4a10+a3a11=32,则 a6=() A. 1 B. 2 C. ±2 D. 4 8. (5 分)等比数列的前三项的和为 2,前六项的和为 6,则其前九项的和为() A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. (5 分)若等比数列{an}中,前 n 项和 Sn=3 +a,则 a 等于() A. ﹣4 B. ﹣2 C. 0
n

D. ﹣1

10. (5 分)如图给出一个“直角三角形数阵”:满足每一列成等差数列;从第三行起,每 一行的数成等比数列,且每一行的 公比相等,记第 i 行第 j 列的数为 ,则 a86=()

1

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A.

B.

C.

D.

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)数列{an}中,a1=1,an+1= ,则 a4=.

12. (5 分)在△ABC 中,若边 a=1,b=

,c=1,则角 B=.

13. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S12=21,则 a2+a3+a10+a11=.

14. (5 分)已知等比数列{an}中,3a1, a3,2a2 成等差数列,则

=.

三、解答题: (共 80 分) 15. (12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,cosA=cos A+ . (1)求角 A; (2)若 a= ,b+c=3,求 b 的值. 16. (12 分)已知三个数 成等比数列,它们的积为 729,若这三个数分别减去 1,1,13 后, 又组成等差数列,求这三个数. 17. (14 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn=﹣2n +n(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; 2 2 (2)求数列{an+1 ﹣an }的前 n 项和 Tn. 18. (14 分)海岛 B 上有一座海拔 1000 米的山,山顶 A 处设有一观测站,上午 11 时测得一 轮船在海岛北偏东 60°,俯角 30°的 C 处;11 时 20 分又测得该轮船在海岛北偏西 60°, 俯角 60°的 D 处问: (Ⅰ)此轮船的速度是多少? (Ⅱ)如果轮船的航向和速度不变,它何时到达岛的正西方?
2 * 2

2

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19. (14 分)已知数列{an}中,a1=2,an=an+1+ anan+1(n∈N ) . (1)求证:数列{ (2)若 是 }为等差数列;

*

和 1 的等差中项,求通项 bn; .

(3)在(2)的条件下,设数列{bnbn+1}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<

20. (14 分)已知数列{an}的前 6 项如下表所示,其中奇数项成等差数列,偶数项成等比数 列. n 1 2 3 4 5 6 ? an 1 2 3 4 5 8 ? (1)写出数列{an}的通项公式(不要求推理过程) ; (2)当 n 是偶数时,求 Sn=a1a2+a3a4+a5a6+?+an﹣1an; (3)当 n 是奇数时,求数列{an}的前 n 项和 Tn.

广东省东莞四中 2014-2015 学年高二上学期第一次段考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题: (每题只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)某礼堂的座椅第一排有 5 个座位,第二排有 7 个座位,第三排有 9 个座位,依此 类推,那么第十五排的座位个数是() A. 27 B. 33 C. 45 D. 51 考点: 类比推理. 专题: 规律型. 分析: 观察座位数的特征:5,7,9.它们的后一项与前一项的差为同一个常数,是等差 数列,从而依据等差数列的通项公式即可求出第 15 项即可. 解答: 解:由于第一排有 5 个座位,第二排有 7 个座位,第三排有 9 个座位, ∴5,7,9,?构成一个等差数列,

3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 第十五排的座位个数是它的第 15 项, ∴第十五排的座位个数是 5+(15﹣1)×2=33. 故选 B. 点评: 本小题主要类比推理、等差数列的应用、等差数列通项公式等基础知识,考查运算 求解能力、化归与转化思想.属于基础题. 2. (5 分)在△ABC 中,已知角 A=60°,边 b=1,三角形的面积为 ,则边 c=() A. 5 B. C. 4 D. 3 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 即 三角形的面积公式. 解三角形. 利用三角形的面积计算公式即可得出. 解:∵三角形的面积为 , , ,

∴c=4. 故选:C. 点评: 本题考查了三角形的面积计算公式,属于基础题. 3. (5 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 bc=b ﹣a +c ,则 A=() A. 30° B. 60° C. 30°或 150° D. 60°或 120° 考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据余弦定理, 结合题中的等式算出 cosA= , 再由 0<A<180°, 即可得到 A=60°. 解答: 解:∵在△ABC 中,bc=b ﹣a +c =b +c ﹣a , ∴根据余弦定理,得 cosA= = .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

又∵△ABC 中,0<A<180°,∴A=60°. 故选:B 点评: 本题给出三角形的三条边的平方关系式, 求角 A 的大小. 着重考查了特殊角的三角 函数值、利用余弦定理解三角形等知识,属于基础题.

4. (5 分)在△ABC 中,a=3 A. 3 B. 2

,b=2

,cosC= ,则△ABC 的面积为() C. 4 D.

考点: 三角形的面积公式;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题;解三角形.

4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据三角形内角的范围,利用同角三角函数的关系算出 sinC= = .再由三角形的面积公式加以计算,可得△ABC 的面积.

解答: 解:∵在△ABC 中,cosC= , ∴A∈(0,π ) ,可得 sinC= 因此,△ABC 的面积为 S= absinC= = = . =4 .

故选:C 点评: 本题给出三角形的两条边与夹角的余弦, 注三角的面积. 着重考查了同角三角函数 的基本关系、三角形的面积公式等知识,属于基础题. 5. (5 分)等差数列{an}中,a4=1,a8=8,则 a12 的值是() A. 15 B. 30 C. 31 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列{an}的性质:2a8=a4+a12,即可得出. 解答: 解:由等差数列{an}的性质可得:2a8=a4+a12, ∴2×8=1+a12,解得 a12=15. 故选:A. 点评: 本题考查了等差数列的性质,属于基础题.

D. 64

6. (5 分)某企业今年产值为 27 万元,产值年平均增长率为 ,那么,经过 3 年,年产值达 到() A. 64 万元 B. 48 万元 C. 29 万元 D. 万元

考点: 等比数列的通项公式;数列的应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 直接利用增长率,满足等比数列,利用通项公式,求出连续 3 年的产值即可得到选 项. 解答: 解:∵企业今年产值为 27 万元,产值年平均增长率为 , ∴今年的年产值=27×(1+ ) ∴第 二年的年产值=27×(1+ )×(1+ )=27(1+ ) 万元, ∴第三年的年产值=27×(1+ )×(1+ )× 经过 3 年,年产值达到 64 万元. 故选 A. =27(1+ ) =64 万元.
3 2

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题是基础题,考查增长率问题,就是等比数列问题,考查计算能力. 7. (5 分)公比为 2 的等比数列{an} 中,a4a10+a3a11=32,则 a6=() A. 1 B. 2 C. ±2 D. 4 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意结合等比数列的性质可得 a7=4,由通项公式可得 a6. 2 解答: 解:由题意 a4a10+a3a11=32,可得 a7 =a4a10=16, 又数列的公 比为 2, 故 a7=±4,故 a6= =±2

故选:C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式,属基础题. 8. (5 分)等比数列的前三项的和为 2,前六项的和为 6,则其前九项的和为() A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意,S3,S6﹣S3,S9﹣S6 成等比数列,代入条件,即可求得结论. 解答: 解:∵每相邻两项的和也成等比数列, ∴S3,S6﹣S3,S9﹣S6 成等比数列, 即 2,4,S6﹣6 成等比数列, 2 ∴4 =2(S9﹣6) , ∴S9=14. 故选:D. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质,并且进行正确的运算. 9. (5 分)若等比数列{an}中,前 n 项和 Sn=3 +a,则 a 等于() A. ﹣4 B. ﹣2 C. 0
n

D. ﹣1

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 题目给出了数列的前 n 项和,首先由递推式求出 a1,再求出 n≥2 时的通项公式, 因为给出的数列是等比数列,所以 n≥2 时的通项公式对 a1 成立,由两个 a1 相等可求 a 的值. n 解答: 解:由 Sn=3 +a,得:a1=3+a, 当 n≥2 时, 因为数列{an}是等比数列,所以, 则 , =2×3
n﹣1



对 n=1 时仍然成立,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以,a=﹣1. 故选 D. 点评: 本题考查了数列的前 n 项和, 考查了由前 n 项和求通项, 解答该题的关键是理解等 比数列的定义,此题是中档题. 10. (5 分)如图给出一个“直角三角形数阵”:满足每一列成等差数列;从第三行起,每 一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第 i 行第 j 列的数为 ,则 a86=()

A.

B.

C.

D.

考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 先根据题意求得第一列的公差和每一行的公比, 利用等比数列的通项公式求得第 8 行第一个数,最后利用等比数列的通项公式求得答案. 解答: 解:由题意得,第一列公差 d= ,

且每一行的公比是 q= = ,

则第 8 行第一个数是 所以 a86=2× = ,



故选 A. 点评: 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式, 解题时要仔细观察, 耐心寻找数量间 的相互关系,总结规律,考查了考生分析问题和解决问题的能力. 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)数列{an}中,a1=1,an+1= ,则 a4= .

考点: 数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 由 a1=1,an+1= 解答: 解:∵a1=1,an+1= ∴ a3= a4= = +1= =1+1=2, = , = . ,利用递推思想依次求出 a2,a3,a4. ,

故答案为: . 点评: 本题考查函数的递推公式的应用,是基础题.解题要认真审题,注意递推思想的应 用.

12. (5 分)在△ABC 中,若边 a=1,b=

,c=1,则角 B=



考点: 专题: 分析: 解答: ∴cosB=

余弦定理. 计算题;解三角形. 运用余弦定理,可以计算出角 B 的余弦值,再结合 B∈(0,π ) ,可得 B. 解:∵△ABC 中,边 a=1,b= ,c=1, =﹣ ,

∵B∈(0,π ) , ∴B= . .

故答案为:

点评: 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于简单题. 13. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S12=21,则 a2+a3+a10+a11=7. 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 s12 解得 a1+a12,再由等差数列的性质得出结果. 解答: 解:由题意得 S12= =21,a1+a12= ,a2+a3+a10+a11=2(a1+a12)=7.

故答案是:7. 点评: 本题考查等差数列前 n 项的公式和等差数列的性质.

14. (5 分)已知等比数列{an}中,3a1, a3,2a2 成等差数列,则

=1 或 9.

8

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考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用已知条件求出数列 的公比,然后求解即可. 解答: 解:等比数列{an}中,3a1, a3,2a2 成等差数列, 所以 a3=3a1+2a2,即 a1q =3a1+2a1q,解得 q=﹣1 或 3, 当 q=﹣1 时: =1,当 q=3 时: =9,
2

故答案为:1 或 9. 点评: 本题考查等比数列的应用,数列的基本知识的考查. 三、解答题: (共 80 分) 15. (12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,cosA=cos A+ . (1)求角 A; (2)若 a= ,b+c=3,求 b 的值. 考点: 余弦定理的应用. 专题: 解 三角形. 分析: (1)由已知可解得
2 2 2 2

,又由 0 <A<180 从而可得 A 的值.

0

0

(2)由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得 bc=2,有由 b+c=3,bc=2 从而可解得 b 的值. 2 解答: 解: (1)由已知,4cos A﹣4cosA+1=0, 2 即(2cosA﹣1) =0?(2 分) ∴
0

?(4 分)
0

又∵0 <A<180 ?(5 分) ∴A=60°?(6 分) 2 2 2 (2)由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得: 2 2 a =(b+c) ﹣2bc﹣2bccosA, 故 ?(9 分)

∴bc=2;?(10 分) 由 b+c=3,bc=2 解得,b=1,或 b=2.?(12 分) 点评: 本题主要考察了余弦定理的综合应用,属于基本知识的考察. 16. (12 分)已知三个数成等比数列,它们的积为 729,若这三个数分别减去 1,1,13 后, 又组成等差数列,求这三个数. 考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 依题意可设这三个数为 个数. 解答: 解:依题意可设这三个数为 ∴ 成等差数列 ?(2 分) ?(4 分) ,利用等差数列、等比数列的性质,即可求这三



?(8 分)

解得

?(10 分)

∴这三个数为 3,9,27 或 27,9,3 ?(12 分) 点评: 本题考查等差数列、等比数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 17. (14 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn=﹣2n +n(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; 2 2 (2)求数列{an+1 ﹣an }的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用“当 n=1 时,a1=S1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出. 2 2 2 2 (2)由(Ⅰ)知,an+1 ﹣an =(an+1﹣an) (an+1+an)=8(4n﹣1) .可得数列{an+1 ﹣an }是等差 数列,利用等差数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)当 n=1 时,a1=S1=﹣1; 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 2 2 =(﹣2n +n)﹣[﹣2(n﹣1) +(n﹣1)] =﹣4n+3. 满足 a1=﹣1 成立; ∴通项 an=﹣4n+3(n∈N*) . 2 2 (2)由(Ⅰ)知,an+1 ﹣an =(an+1﹣an) (an+1+an)=8(4n﹣1) . 2 2 ∴数列{an+1 ﹣an }是等差数列, 故 Tn= =16n +8n.
2 2 *

点评: 本题考查了利用“当 n=1 时,a1=S1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”求数列的通项公式 方法,考查了等差数列的相同公式及前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 18. (14 分)海岛 B 上有一座海拔 1000 米的山,山顶 A 处设有一观测站,上午 11 时测得一 轮船在海岛北偏东 60°,俯角 30°的 C 处;11 时 20 分又测得该轮船在海岛北偏西 60°, 俯角 60°的 D 处问: (Ⅰ)此轮船的速度是多少? (Ⅱ)如果轮船的航向和速度不变,它何时到达岛的正西方?

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考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (I)根据题中数据与位置关系,分别在 Rt△ABC 与 Rt△ABD 中算出 BC、BD 的长, 然后在△BCD 中利用余弦定理算出 CD 的长,即可得出此 轮船的速度; (II)延长 CD,与正西线所在直线交于 E,作 DF∥CB 于 F,可得 DF=DB,从而算出△EDF 与 △ECB 的相似比等于 ,得到 DE= CD= ,再由路程除以速度得到轮船从 D 到 E 所需的时

间,即可得到轮船何时到达岛的正西方. 解答: 解: (Ⅰ) 如图所示,由题意可得 AB⊥BC 且 AB⊥BD, ∵∠ACB=∠DAB=30°,AB=1, ∴ 又∵△BCD 中,∠CBD=120°, ∴由余弦定理,得 ∴此轮船的速度 . ,解之得 , ,

(Ⅱ)延长 CD,与正西线所在直线交于 E,作 DF∥CB 于 F, 则∠DFB=∠DBF=30°,可得 DF=DB= ,

∴在△EBC 中, ∴ = (km)

因此,轮船从 D 到 E 所需消耗的时间为:

= 小时,

即经过 10 分钟后,轮船到达岛的正西方,故此轮船在 11 时 30 分到达岛的正西方.

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点评: 本题给出实际应用问题, 求轮船的行驶速度与行驶到岛的正西方所需的时间. 着重 考查了正余弦定理、 直角三角形中三角函数的定义、 相似三角形的判定与性质和解三角形的 实际应用等知识,属于中档题.
*

19. (14 分)已知数列{an}中,a1=2,an=an+1+ anan+ 1(n∈N ) . (1)求证:数列{ (2)若 是 }为等差数列;

和 1 的等差中项,求通项 bn; .

(3)在(2)的条件下,设数列{bnbn+1}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知得 = ﹣ = ,由此能证明数列{ }为等差数列.

(2)由

=





和 1 的等差中项,能求出



(3)由 bnbn+1=

=

,利用裂项求和法能证明 Tn<



解答: (1)证明:由已知得,

?(1 分)



=



= ,?(3 分)

∴数列{

}是等差数列,公差 d= ,首项为

= .?(4 分)

(2)解:由(1)知,

=

,?(6 分)

又∵



和 1 的等差中项,

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=

,?(8 分)



.?(9 分) = ,?(11 分)

(3)证明:由(2)知,bnbn+1= ∴Tn= =
*

?(13 分) <1,

∵n∈N ,∴0<1﹣ 从而 Tn<

.?(14 分)

点评: 本题考查等差数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题 时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用. 20. (14 分)已知数列{an}的前 6 项如下表所示,其中奇数项成等差数列,偶数项成等比数 列. n 1 2 3 4 5 6 ? an 1 2 3 4 5 8 ? (1)写出数列{an}的通项公式(不要求推理过程) ; (2)当 n 是偶数时,求 Sn=a1a2+a3a4+a5a6+?+an﹣1an; (3)当 n 是奇数时,求数列{an}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意,当 n 是奇数时,显然有 an=n;当 n 是偶数时,有 an= ;即可得出.

(2)利用“错位相减法”即可得出. (3)当 n 是奇数时,Tn=(a1+a3+?+an)+(a2+a4+?+an﹣1) ,分别利用等差数列与等比数列 的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)由题意,当 n 是奇数时,显然有 an=n; 当 n 是偶数时,有 an= 故通项 ; .

(2)当 n 是偶数时,Sn=a1a2+a3a4+a5a6+?+an﹣1an =1×2+3×2 +?+
2



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则 2Sn=1×2 +3×2 +?+ 两式相减可得:﹣Sn=

2

3

, ﹣

=



=

﹣6,





(3)当 n 是奇数时,Tn=(a1+a3+?+an)+(a2+a4+?+an﹣1) =

=

=



点评: 本题考查了“错位相减法”、 等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式, 考 查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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