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高中数学必修二课件--第1章 1.2 1.2.2 空间几何体的直观图


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1.2.2 空间几何体的直观图

1.哪个实例不是中心投影( A )

A.工程图纸
B.小孔成像 C.相片 D.人的视觉

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2.关于“斜二测”直观图的画法,如下说法不正确的是 ( C ) A.原图形中平行于 x

轴的线段,其对应线段平行于 x′轴, 长度不变 B.原图形中平行于 y 轴的线段,其对应线段平行于 y′轴,

长度变为原来的

1 2

C.画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时,∠x′O′y′

必须是 45°
D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不 同

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3.如图 1,该直观图表示的平面图形为( C )

图1 A.钝角三角形 C.直角三角形 B.锐角三角形 D.正三角形

4.利用斜二测画法画直观图时: ①三角形的直观图是三角形;

②平行四边形的直观图是平行四边形;
③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形. ①② 以上结论中,正确的是_____.

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重难点

空间几何体的直观图

1.用斜二测法画直观图,关键是掌握水平放置的平面图形 直观图的画法,而其中的关键是确定多边形顶点的位置. 2.用斜二测法画水平放置的平面图形的步骤为:画轴、取 点、成图.图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中仍平行于 x′ 保持不变 轴且长度_________,平行于 y 轴的线段,在直观图中仍平行于 原来的一半 y′轴且长度变为__________,与坐标轴不平行的线段,可通过 确定端点的办法来解决;画空间图形的直观图时,只需增加一 个竖直的 z′轴,图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行 保持不变 于 z′轴且长度_________. 3.将直观图还原为其空间几何体时,应抓住斜二测画法的 规则.

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用斜二测画法画平面图形的直观图 例 1:用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图. 解:(1)如图 2(1),在已知五边形 ABCDE 中,取中心 O 为 原点,对称轴 FA 为 y 轴,过点 O 与 y 轴垂直的是 x 轴,分别 过B、E 作 GB∥y 轴,HE∥y 轴,与 x 轴分别交于点 G、H,画 对应的轴 O′x′、O′y′,使∠x′O′y′=45°;

(2)如图 2(2),以点 O′为中点,在 x′轴上取 G′H′=GH,
分别过 G′、 H′在 x′轴的上方, G′B′∥y′轴, G′B′ 作 使 1 1 =2GB;作 H′E′∥y′轴,使 H′E′=2HE;在 y′轴的点

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1 1 O′上方取 O′A′=2OA,在点 O′下方取 O′F′=2OF,并
且以点 F′为中点,画 C′D′∥x′轴,且使 C′D′=CD; (3)连接 A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′, 所得五边形 A′B′C′D′E′就是正五边形 ABCDE 的直观 图,如图 2(3).

图 2

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1-1.画如图 3 中水平放置的直角三角形的直观图.

图3
解:如图 5,按如下步骤完成:

图 5

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①在已知的直角三角形 ABC 中取直角边 CB 所在的直线为
x 轴,过点 B 与 BC 垂直的直线为 y 轴,画出对应的 x′轴和 y′ 轴,使∠x′O′y′=45°;②在 x′轴上取 O′C′=BC,过

1 C′作 y′轴的平行线 C′A′,使 C′A′=2CA;③连接
A′O′,即得到该直角三角形的直观图.

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用斜二测画法画空间图形的直观图 例 2:已知一个正四棱台的上底面边长为 2 cm,下底面边
长为 6 cm,高为 4 cm,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图. 解:如图 4(1),步骤如下: (1)画轴.以底面正方形 ABCD 的中心为坐标原点,画 x 轴、

y 轴、z 轴,三轴相交于 O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;
(2)画下底面.以 O 为中点,在 x 轴上取线段 EF,使得 EF =6 cm,在 y 轴上取线段 GH,使得 GH=3 cm,再过 G、H 分

别作 AB 綊 EF,CD 綊 EF,且使得 AB 的中点为 G,CD 的中点
为 H,这样就得到了正四棱台的下底面 ABCD 的直观图;

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(3)画上底面.在 z 轴上截取线段 OO1=4 cm,过 O1 点作 O1x′∥Ox 、O1y′∥Oy ,使∠x′O1y′=45° ,建立坐标系 x′O1y′,在 x′O1y′中重复(2) 的步骤画出上底面的直观图 A1B1C1D1; (4)连接 AA1、BB1、CC1、DD1,得到的图形就是所求的正 四棱台的直观图,如图 4(2).

图 4

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2-1.画棱长为 4 cm 的正方体的直观图. 解:直观图如图 6,具体步骤略.

图 6

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给出直观图来研究原图形

例 3:如图 5,梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观

2 图.若 A1D1∥O1y,A1B1∥C1D1,A1B1=3C1D1=2,A1D1=O1D1
=1.请画出原来的平面几何图形的形状,并求原图形的面积.

图5

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解:如图6,建立直角坐标系 xOy,在 x 轴上截取 OD=O1D1 =1,OC=O1C1=2.在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA=2D1A1

=2.在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB=A1B1=2.连接 BC,即
得到了原图形.

图6
由作法可知,原四边形 ABCD 是直角梯形,上、下底长度 分别为 AB=2,CD=3,直角腰长度为 AD=2,所以面积为 S 2+3 = ×2=5. 2

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3-1.图 7 为水平放置的△OAB 的直观图,由图判断原三角 OD<BD<AB=OB 形中 AB、OB、OD、BD 由小到大的顺序为_________________.

图7

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根据三视图,画直观图
例 4:根据三视图(如图 8),画出物体的直观图.

图8 解:(1)画轴.建立空间直角坐标系,使∠xOy=45°,∠xOz =90°.如图 9;

图9

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(2)画圆柱的两底面和圆台上底面.画出底面圆 O,在 z 轴
上截取 O′,使 OO′等于三视图中相应高度.过 O′作 Ox 的 平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′ 画出底面圆 O′( 与画圆 O 一样) .再在 z 轴上截取 O″,使 O′O″等于三视图中相应高度.过 O″作 Ox 的平行线 O″x″,

Oy 的平行线 O″y″,利用 O″x″与 O″y″画出底面圆 O″;
(3)成图.连接 AA′、A′A″、B″B′、B′B,整理得到

三视图所表示的立体图形的直观图.

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4-1.图 10 中,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它 的直观图.

图 10
解:画法: (1)画轴.如图 7(1),画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45°, ∠xOz=90°;

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图7
(2)画圆柱的两底面,仿照例 4 画法,画出底面⊙O.在 z 轴 上截取 O′,使 OO′等于三视图中相应高度,过 O′作 Ox 的 平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′

画出底面⊙O′(与画⊙O 一样);

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(3)画圆锥的顶点.在 Oz 上截取点 P,使 PO′等于三视图 中相应的高度;

(4)成图.连接 PA ′、PB′、A′A、B′B,整理得到三视
图表示的几何体的直观图〔图7(2)〕.

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例 5:对于一个底边在 x 轴上的三角形,采用斜二测画法作 出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的( )

2 2 1 A.2 倍 B. 2 倍 C. 4 倍 D.2倍 错因剖析:①忘记平行于 y 轴的线段,长度为原来长度的
一半;②忘记y 轴与x 轴的夹角由直角变为45°,此时三角形的

1 高就不是原来的一半,应为 h′=2hsin45° ,其中 h′是直观图
中的高,h 是平面图形中的高. 正解:C


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