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高一周练数学试卷(14)


龙泉中学高一周练数学试卷(14)
班级 姓名 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.下列结果是 AB 的是 A. AM - MN + MB C. AD - DC + CB B. AC - BF + CF D. AB - FC + BC C.27

10 . 若 函

数 y ? f ? x ?

?lg x ? g ? x? ? ? 1 ?? x ?
A.8
1 2

? x ? R? 满 足 f ( x ? 2)? f ( x ), 且 x ???1, 1 ? 时 , f ? x? ? 1? x2 , 函 数 ? x ? 0? ,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 [?5, 6] 内的零点的个数为 ? x ? 0?
B .9
3 4 5

C.10
6 7

D.13
8 9 10

2.设集合 A ? ?2,3,4,5,6? , B ? {4,5,6,7,8} 则满足 S ? A 且 S ? B ? ? 的集合 S 个数为 A.28 B.21 3.下列各组函数中是相等函数的是 A. y ? ( x )2 与 y ? D.8

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若一弓形的弧所对的圆心角是 ? ,弓形的弦长是2cm,则弓形的面积是_______ cm .
2

2 3

x3 C. y ? sin(? ? x) 与 y ? cos(270? ? x)
4.已知 tan ? ? ?3 ,则 cos(2? ? ? ) ? sin( A. ?

3

B. y ? eln x 与 y ? loga a x

12.已知幂函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x
2
2

1?m

在 (0, ??) 上是增函数,则实数 m =______.

?
2

D. y ? loga ( x ? 1) ? loga ( x ?1) 与 y ? loga ( x ?1)

13.下列是函数 f ( x ) (连续不断的函数)在区间 [1, 2] 上一些点的函数值
x f(x) 1 1.25 1.37 1.406 1.438 1.5 1.62 1.75 1.875 2 -2 -0.984 0.260 -0.052 0.165 0.625 1.985 2.645 4.35 6

? ? ) 的值为
C.

9 10

B. ?

1 10

9 10

D.

1 10

由此可判断:当精确度为 0.1 时,方程 f ( x) ? 0 的一个近似解为

______(保留两位有效数字) .

x 5.函数 f ( x ) ? 2 ?

A. (1,3)

2 ? a 的一个零点在区间 (1, 2) 内,则实数 a 的取值范围是 x B. (1, 2) C. (0,3) D. (0, 2)
2

14 .实数 x ? [0,? ],定义符号 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则方程 [2sin x] ? [ 3] 的解集 是 . 15. 已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数, 对于 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立, 且 f (?4) ? ?2 ,

6. 已 知 函 数 f ( x)? x ? 2 x , g ( x) ? ax ? 2 (a>0) , 若 ?x1 ?[ ? 1, 2 , ] ?x2 ?[?1, 2] , 使 得

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围是 1 1 A. (0, ] B. [ , 3] C. (0,3] 2 2

D. [3, ??)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则给出下列命题: x1 ? x2 ① f (2008) ? ?2 ; ②函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴为 x ? ?6 ; y ? f ( x ) [ ? 9, ? 6] ③函数 在 上为减函数; ④方程 f ( x) ? 0 在 [?9,9] 上有 4 个根 , 上述命题中的所有正确命题的序号是 . (把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
当 x1 , x2 ?[0,3] 且 x1 ? x2 时,都有 16. (本题满分 12 分) 已知集合 P ? ? x

7.已知函数 y ? sin ax ? b(a ? 0) 的图象如下左图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图象可能是

? 1 ? ? x ? 3? , 函数 f ( x) ? log2 (ax2 ? 2x ? 2) 的定义域为 Q . ? 2 ?

(1)若 P ? Q ? ? , ? , P ? Q ? (?2,3] ,求实数 a 的值; (2)函数 f ( x ) 定义在 R 上,且 f (x ?3) ? f ( x), 8.函数 F ( x) ? xf ( x)( x ? R) 在 ( ??, 0) 上是减函数,且 f ( x ) 是奇函数,则对任意实数 a ,下列不等式 成立的是 若 f (35) ? 1 ,求实数 a 的值.
2 当 ? x?3时 , f (x) ?log ( 2x ? 2) , 2 ax ?

?1 2 ? ?2 3 ?

1 2

3 4 3 2 C. F (? ) ? F (a ? a ? 1) 4
A. F (? ) ? F (a 2 ? a ? 1)

9. 在 ?ABC 中,BC ? 3BO , 过点 O 任作一直线分别 交直线 AB、 AC 于点 E、 F, 且于 AE ?

??? ?

??? ?

3 2 4 3 2 D. F ( ? ) ? F ( a ? a ? 1) 4

B. F (? ) ? F (a ? a ? 1)

??? ?

??? ? 1 ???? AF ? AC ,则 m 与 n 满足的关系式为 n
A. n ? 2 m ? 3 B. m ? 2n ? 3 C. n ? 2 m ?

? 1 ??? AB , m

1 3

D. m ? 2n ?

1 3

17.(本题满分 12 分)已知定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意 x ? R ,恒有 f ( x ? (1)求证:函数 f ( x ) 是周期函数;

?
2

) ? ? f ( x) 成立.

(2)若函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示,求出 f ( x ) 的解析 式,写出它的对称轴方程.

?ABD ” 20. (本题满分 13 分) 如图,某小区准备在一直角围墙 ABC 内的空地上植造一块 “绿地 , 其中 AB 长为定值 a , BD 长可根据需要进行调节( BC 足够长). 现规划在 ?ABD 的内接正方形 BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积 S1 与种花的面积 S2 的比


S1 称为“草花比 y ” . S2 (1)设 ?DAB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)当 BE 为多长时, y 有最小值?最小值是多少?

C D

F

G

a 18. (本题满分 12 分)设 f (log2 x) ? x ? ( a 是常数). x (1)求 f ( x ) 的表达式; (2)如果 f ( x ) 是偶函数,求 a 的值; (3)当 f ( x ) 是偶函数时,讨论函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的单调性,并加以证明.

A

E
第 20 题图

B

21. (本题满分 14 分)定义:若函数 f ( x ) 对于其定义域内的某一数 x0 ,有 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是

f ( x) 的一个不动点.已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) . (1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f ( x ) 恒有两个不动点,求实数 a 的取值范围; (3) 在(2)的条件下, 若 y ? f ( x) 图象上两个点 A, B 的横坐标是函数 f ( x ) 的不动点, 且线段 AB a 的中点 C 在函数 g ( x) ? ? x ? 2 的图象上,求实数 b 的最小值. 5a ? 4a ? 1

19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? b (? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的图像两 相邻对称轴之 间的距离是 奇函数. ( 1 ) 求 f ( x) 的 解 析 式 ; ( 2 ) 求 f ( x) 的 单 调 区 间 ; ( 3 ) 若 对 任 意 x ? ? 0,

?
2

,若将 f ( x) 的图像先向右平移

?
6

个单位,再向上平移 3 个单位,所得函数 g ( x) 为

? ?? , ? 3? ?

f 2 ( x) ? (2 ? m) f ( x) ? 2 ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

龙泉中学 2014 级高一周练理科数学试卷(14)参考答案
命题:吴金玉 选择题答案 题号 答案 11. 1 B 2 A 3 C 4 D 14. [ 5 C 6 D 7 C 8 A 9 A 10 B

19.解(1)?

2?

?

=2 ?

?
2

,? ? =2

? f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? b

又 g ( x) ? sin[2( x ? 故 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? ? ] ? b ? 3 为奇函数,且 0 ? ? ? ? ,则 ? ?

?
3

,b ? 3

? 5? , ) ? ( , ] ;15.①②③④ 6 2 2 6 2 2 16.解:(1)由条件知 Q ? (?2, ) 即 ax 2 ? 2 x ? 2 ? 0 解集 ( ?2, ) . 3 3 4 ?2 ?? ? 3 2 ?a 3 ∴ a ? 0 且 ax 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的二根为 ?2, .∴ ? ,∴ a ? ? . 2 3 ?2 ? ? 4 ? 3 ?a (2)∵ f ( x ) 的周期为 3, f (35) ? f (3?11 ? 2) ? f (2) ? log2 (a ? 22 ? 4 ? 2) ? 1 , 所以 a ? 1 .经检验 a ? 1 满足题意.
4? ; 9
12. ?1 ; 13. 1.4 ; 17. (1)证明: f ( x ? ? ) ? f ( x ? 期函数. (2)由条件知 f ( x ) 的周期为 ? ,故

? ?

………………………3 分 )? 3; 3 ? 7? ? 5? ? ?? ? (2)增区间为 ? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) ,减区间为 ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) ;…….7 分 12 12 ? 12 ? ?12 ? 1 (3)整理可得 m ? ? f ( x) ? 1 ,又 ?1 ? 3 ? f ( x) ? 1 ? ? 3 , f ( x) ? 1 则

?

?1 ? 3 3 1 4 3 ?1 ? 3 3 ,故 m ? , ? ? f ( x) ? 1 ? ? 2 2 f ( x) ? 1 3
? ? ? ?1 ? 3 3 ? ? . ….12 分 2 ?

即 m 取值范围是 ? ??,

?

? ) ? ? f ( x ? ) ? f ( x) ,因此 f ( x) 是以 ? 为一个周期的周 2 2 2 2?

?

?

1 2 ? a tan ? ( ? ? (0, ) )设正方形 BEFG 的 2 2 a 2 tan 2 ? t a tan ? ? t FG DG a tan ? ? 边长为 t ,则由 ,得 ? ,解得 t ? ,则 S2 ? a a tan ? AB DB 1 ? tan ? (1 ? tan ? )2
20.解: (1)因为 BD ? a tan ? ,所以 ?ABD 的面积为

由图象知, A ? 2 ,从而 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) 又 2?

?

?? ?? ? 2,

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 3 3 3 ? ? ? k ? ? (k ? Z ) 由 2 x ? ? k? ? ? x ? 3 2 12 2 ? k ? ? (k ? Z ) . 即 f ( x ) 的对称轴方程为: x ? 12 2
18. (1)解:令 t ? log2 x ,则 x=2t,于是 f (t) ? 2t ? (2)解:∵ f ( x ) 是偶函数,∴ 2 ? x ? 即 (a ? 1)(2x ?

?

?? ? ? ? ? ?

?

?

a a ∴ f ( x) ? 2 x ? x t 2 2

----- 4分

a a ? 2 x ? x 对任意 x∈R 恒成立 ?x 2 2
--------------7分

1 ) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,∴ a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 2x 1 (3)解: f ( x) ? 2 x ? x ,设 0 ? x1 ? x2 ,则 2 1 1 1 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? (2 x2 ? x ) ? (2 x1 ? x ) ? (2 x2 ? 2 x1 )(1 ? x ? x ) 2 1 1 2 2 2 2 x2 x1 x2 x1 x ∵ x1 ? x2 ,且 y ? 2 是增函数,∴ 2 ? 2 ,即 2 ? 2 ? 0
∵ 0 ? x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 0 ,∴ 2 故1 ?
x1 ? x2

---------------------8 分

?1 ?

1 2
x1 ? x2

?1

-------------------------- 10 分

1 2
x1 ? x2

? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
------------------------12 分

∴当 x ? (0, ??) 时, f ( x ) 是增函数.

1 2 1 2 a 2 tan 2 ? S1 (1 ? tan ? )2 所以 S1 ? a tan ? ? S2 ? a tan ? ? ,则 y ? ? ?1 2 2 (1 ? tan ? )2 S2 2 tan ? 1 1 1 1 ? 2) ? 1 ? (tan ? ? ) ?1 (2)因为 tan ? ? (0, ??) ,所以 y ? (tan ? ? 2 tan ? 2 tan ? a a 当且仅当 tan ? ? 1 时取等号,此时 BE ? .所以当 BE 长为 时, y 有最小值 1. 2 2 2 2 21.解:(1)当 a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) ? x ? x ? 3 ,由 x ? x ? 3 ? x 解得 x ? 3 或 x ? ?1 故所求的不动点为 ?1 和 3 . ------ 3 分 2 (2)令 f ( x) ? x ,则由条件知方程 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 应有两个不相等的实数根, 2 2 故 ? ? b ? 4a(b ? 1) ? 0 ,即 b ? 4ab ? 4a ? 0 对任意的 b ? R 恒成立,则 ?? ? 16a2 ? 16a ? 0 ? 0 ? a ? 1 . ------ 8 分 x ? x2 x1 ? x2 , ), (3)依题意,设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) ,则 AB 的中点 C ( 1 2 2 x ? x2 x ?x a a ?? 1 2 ? 2 又 AB 的中点 C 在函数 g ( x) ? ? x ? 2 的图象上,故 1 5a ? 4a ? 1 2 2 5a ? 4 a ? 1 a ? x1 ? x2 ? 2 ------ 10 分 5a ? 4a ? 1 b b a 2 而 x1 , x2 是方程 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 的两个根,于是 x1 ? x2 ? ? ,即 ? ? 2 a a 5a ? 4a ? 1 2 a 1 1 ?? ?? ∴b ? ? 2 ------ 12 分 1 2 1 1 5a ? 4a ? 1 2 ( ) ? 4( ) ? 5 ( ? 2) ? 1 a a a 1 1 1 又由(2)知 0 ? a ? 1 , ? 1 ,从而当 ? 2 即 a ? 时, bmin ? ?1 .------ 14 分 a 2 a


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