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2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练及参考答案(三)


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预赛模拟

2013 年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练及参考答案(三)
1、复数 z1 ? 3 ? i, z2 ? 1 ? i ,则复数
z1 在复平面内对应的点位于第__________象限 z2

2、设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这 5 个球随机放入这 5 个盒子内,要求每个盒子内放一个球,记“恰有两个球的编号与盒子的 编号相同”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为__________ 3、已知 (1 ? 2 x) 2013 ? a0 ? a1x ? ?? a2013 x 2013 ( x ? R ) ,则
a a1 a2 =__________ ? 2 ? ? ? 2013 2 2 22013

4、 已知 an ? 3 ? 2n , 把数列 {a n } 的各项排成三角形状如右图所示, 记 A(i , j ) 表示第 i 行中第 j 个数,则 A(10,8) ?
a1 a 2 a3 a 4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 ?

π 5π 5、已知 f(x)=sin( +α-x)+cos( -α-x)是偶函数,且-π2<α<π2,则满足条件的实数 α 2 2 有 个. 6、甲、乙、丙三人互相传球,先由甲开始作第一次传球,则 5 次传球后球仍回到甲手中 的不同的传球方式共有 . 7、已知(x0,y0)是直线 x+y=2k-1 与圆 x2+y2=k2+2k-3 的交点,则当 x0y0 取最小值时, 实数 k 的值等于 . 8、已知点 M、N 分别在大小为 60° 的二面角 α-a-β 的 α、β 内,又点 P 到 α、β 的距离依 次为 2 与 3,则 ΔPMN 周长的最小值等于 . 1 1 1 1 9、 S ? 的整数部分是 ? ? ??? 3 5 7 99 10、 已知非负实数 a、 b、 c 满足 a+b+c=1, 则 a2+b2+c2+18abc 的最大值等于__________, 最小值等于____________

11、定义在实数集 R 上的单调函数 y=f(x),当 x<0 时 f(x)>1,且 f(x+y)=f(x)f(y)对任意 实数都成立.又数列{an}满足 a1=f(0),f(an+1)= (1)求通项 an. 1 1 1 (2)求使(1+ )(1+ )?(1+ )≥p 2n+1对任意正整数 n 都成立的实数 p 的最大值. a1 a2 an 1 (n∈N*). f(-2-an)

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12、如图。△ABC 中,AB>AC,AE 是其外接圆的切线,D 为 AB 上的点,且 AD=AC=AE.求证: 直线 DE 过△ABC 的内心. A

E D D B x2 y2 x2 y2 13、 已知 l1、 l2 是双曲线 2- 2=1 的两条渐近线, 过椭圆 2+ 2=1(a a b a b |PB| B(如图所示),求 的最大值及此时椭圆的离心率. |PA| >b

>0)的右焦点 F 作直线 m,使 m⊥l1,m 与 l2 的交点为 P,m 与已知椭圆的交点记作 A 与

y

ab ?c, 14、 设正整数 a , b , c 的最大公约数为 1,并且 a ?b

B O FA P

x

证明: a ? b 是一个完全平方数.

1、解:

z1 3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 2 ? 4 i ? ? ? ? 1 ? 2i ,故对应的点位于第一象限 z2 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2
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5 2、解:事件总数为 A5 ? 120 ,A 发生可分两步完成,首先选盒子编号与球编号相同的,共

有 C52 种情况,不妨设为 4 号与 5 号,则第二步需要将 1,2,3 号球与盒子完全装错,只有两 种情况(2,3,1 或 3,1,2) ,故 P ?
C52 ? 2 1 = 5 A5 6

3、解:令 x ? 0 ,可得: a0 ? 1 ,令 x ?
a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2013 ? ?1 2 2 22013 改编:求 a1 ? 2a2 ? ? ? 2013a2013 的值

a 1 a a ,可得: a0 ? 1 ? 2 ? ? ? 2013 ?0, 2 2 2 2 22013



解:对已知等式两边求导可得: 2013(1 ? 2 x)2012 (?2) ? a1 ? 2a2 x ? ? ? 2013a2013 x 2012 令 x ? 1 ,得: a1 ? 2a2 ? ? ? 2013a2013 ? ?4026 4、解:各行数的个数构成一个等差数列,则前 9 行共有 S9 ? 9 ?1 ?
A(10,8) 是数列 {a n } 中的第 89 项,∴ A(10,8) ? 3 ? 289

9 ? (9 ? 1) ? 2 ? 81 项,∴ 2

5、解:f(x) =f(-x),?cos(?-x)+sin(?+x) =cos(?+x)+sin(?-x), ?cos(?+x)-cos(?-x)=sin(?+x)-sin(?-x), ?-sin?sinx=cos?sinx,?tan?=-1,??=k?- (k∈Z), 4 -?2<?<?2,?k=-2,-1,0,1,2,3,共 6 个值. 6、解:5 次任意传球,第 5 次给甲,有 24 种方法,其中第 4 次传到甲时,第 5 次不可能 给甲,故应减去 23 种方法,再加上 22 种方法,减去 2 种方法,共有 24-23+22-2=10 种方 法. 7、解:以 y=2k-1-x 代入圆方程得:2x2-2(2k-1)x+3k2-6k+4=0. 4- 2 1 4+ 2 ?=-2k2+8k-7≥0,? ≤k≤ . 4 2 2 4- 2 2xy=(x+y)2-(x2+y2)=3k2-6k+4=3(k-1)2+1,在 k= 时取得最小值. 2 8、 解: 作 P 关于?、 ?的对称点 Q、 R, 则 QR2=42+63-2?4?6?cos120?=76. 故最小值=2 19. 1 1 1 9、解:? , ? ? 2 Q 2 2k ? 3 ? 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k ? 1
1 2k ? 1 ? 2k ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 1 ? 即 .? 取 k ? 1, 2,? , 49 , 得 ? 2 2 2 2k ? 1 1 1 1 1 49 个式子,并相加,得 101 ? 3 ? ? ? ??? ? 99 ? 1 . 3 5 7 99
P 3 R 3 O

?

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显然

1 1 1 1 1 1 1 1 在 8 与 9 之间,故 [ ? ? ? ??? ? ??? ]?8 3 5 7 99 3 5 7 99

10、解:a2+b2+c2+18abc=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)+18abc. 但,ab+bc+ca=(ab+bc+ca)(a+b+c)≥3 a2b2c2· 3 abc=9abc. 1 ∴ a2+b2+c2+18abc≤1-18abc+18abc=1(当且仅当 a=b=c= 时等号成立) 3 1 又由对称性,可设 a≥b≥c,从而 a≥ , 3 故 a2+b2+c2+18abc=a2+(1 - a)2 - 2bc+18abc=2a2 - 2a+1+2bc(9a - 1) ≥ 2a2 - 2a+1=2(a - 12 1 1 1 ) + ≥ .(a=b= ,c=0 时等号成立) 2 2 2 2 11、解:⑴ 1? f(x)?0,否则 f(y)=f(x+y-x)=f(x)f(y-x)=0,矛盾. x x 2? f(x)=f( )f( )>0. 2 2 3? f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),但 f(x)?0,?f(0)=1.a1=1. ∴ f(an+1)f(-2-an)=f(an+1-an-2)=1=f(0),由 f(x)单调,?an+1-an-2=0,?an+1=an+2. ∴ an=2n-1. 2 ⑵ 1+1≥p 3,?p≤ 3. 3 1 1 1 1 (1+ )(1+ )?(1+ ) (1+ ) 2n+1 a1 a2 an 2n+1 bn+1 2n+2 2 记 bn= . 则 = = >1. 于是 bn>bn-1>?>b1= b 3 n 2n+1 2n+3 2n+1 2n+3 2 2 3.即 bn+1≥ 3 2n+3对于一切 n 成立.故 pmax= 3. 3 3
3 3

A

12、证明:设角 C 的内角平分线与 DE 交于点

I , 连 接 AI , IC, CE , 由 于 AE 是 I

?ABC
E
外接圆的切线,故

D

?ACB ? 180? ? ?DAE ,??(5 分)
B

C

又 AD ? AE ,故

180? ? ?DAE ? ?ADE ? ?AED ? 2?AED ,
故 ?ACI ?

1 ?ACB ? ?AED ,所以 A、E、I、C 四点共圆. 2 ?IAC ? ?IEC ? ?AEC ? ?AED
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??(10 分)

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180? ? ?CAE 180? ? ?DAE ? ? 2 2
=

????????????(15 分)

1 1 (?DAE ? ?CAE ) ? ?A ,故 AI 为角 A 的角平分线, 2 2 I 为 ?ABC 的内心. ????????????(20 分)

13、解:l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0. c m:ax+by-ac=0.(c= a2-b2,e= ,0<e<1) a a2 ab ∴ P( , ),即 P 在椭圆的右准线上. c c 记 FA =?(?>0),则由定比分点公式得点 A 坐标: AP

a2 ab c+?· ?· c c x= ;y= .此坐标满足椭圆方程,代入得: 1+? 1+? ∴ (c2+?a2)2+?2a4=a2c2(1+?)2.?c4+2?a2c2+2?2a4=a2c2+2?a2c2+?2a2c2. e2-e4 2 2 2 同除以 a4:e4+2?2=e2+?2e2.??2= =e +1- =3-(2-e2+ )≤3-2 2(当 2- 2-e2 2-e2 2-e2 e2= 2时取等号).即 e= 2- 2时,?max= 2-1. |PB| 记 t= ,作椭圆的右准线,分别过 A、B 作此准线的垂线,交准线于 M、N.由 P 在此 |PA| |PB| |NB| |FB| 准线上,知 t= = = .?|BF|=t|AF|,故|AB|=(1+t)|AF|, |PA| |MA| |FA| 又|AB|=(t-1)|PA|,故 t-1 t-1 |AF| t-1 = ,即?= ,从而 ≤ 2-1,?t≤ 2+1.当椭圆的离 |PA| t+1 t+1 t+1

|PB| 心率= 2- 2时, 取得最大值. |PA| 14、证: 设 (a, b) ? d , a ? a1d , b ? b1d ,其中 (a1 , b1 ) ? 1 .由于 ( a , b, c ) ? 1,故有 (d , c ) ? 1 . 代入
ab ? c 可得: a1b1d ? a1c ? b1c a ?b

(2)

由(2)知, a1 | b1c ,又 (a1 , b1 ) ? 1 ,∴ a1 | c .同理可证 b1 | c ,从而有 a1b1 | c ,设 c ? a1b1k , k 为正整 数,代入(2)得 d ? k (a1 ? b1 ) (3)

由(3)知 k | d ,又 k | c ,? k | (d , c ) ? 1 ,? k ? 2 . ∴ d ? a1 ? b1 .∴ a ? b ? d (a1 ? b1 ) ? d 2 .故成立.

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