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高一周练数学试卷(13)


龙泉中学高一周练数学试卷(13)
班级 姓名 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)

∣ 1.设全集 U 是实数集 R , M ? {x ∣ x2 ? 4} , N ? {x
A . {x ∣ ?2 ? x ? 1} C. {x ∣ 1 ? x ? 2} B

. {x ∣ ?2 ? x ? 2} D. {x ∣ x ? 2}

2 ? 1} ,则图中阴影部分所表示的集合是 x ?1

5? ) 的值为 3 1 1 3 3 A. ? B. C. ? D. 2 2 2 2 10.定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ?x ? ? f ?x ? 2? ,当 x ? [3,5] 时, f ?x ? ? 2 ? x ? 4 ,则

f ( x) ? sin x ,则 f (

2 2.已知 ? ? (0, ? ) ,且 sin ? ? cos ? ? ,则 sin ? ? cos ? 的 值为 2
A. ?

?? ?? ? A. f ? ? sin ? ? f ? cos ? 6? 6? ? ? 2? ? ? 2? ? C. f ? ? cos ? ? f ? sin ? 3 ? 3 ? ? ? 1 2 3

B. f ?sin 1? ? f ?cos1? D. f ?cos2? ? f ?sin 2? 4 5 6 7 8 9 10

6 2

B. ? 2

C. 2

D.

3.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 4.函数 y ? B. ? 2 或 2

? x) ? f ( ? x) ,则 f ( ) 等于 6 6 6 C. 0 D. ? 2 或 0

?

?

6 2

?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

1 ? x2 是 | x ? 1| ? | x ? 2 |

A.奇函数 5.函数 y ? 2sin( A.[0,

?
6

B.偶函数

C.非奇非偶函数

D.既是奇函数又是偶函数

? 2 x) ( x ? [0, ? ] )为增函数的区间是
B.[

π ] 3

π 7π , ] 12 12

C.[

π 5π , ] 3 6

D.[

6.同时具有性质“(1)最小正周期是 ? ; (2)图像关于直 线 x ? 的一个函数是

?
3

5π ,π] 6

对称; (3)在 [ ?

? ? , ] 上是增函数” 6 3

?? ? log 1 tan ? ? 2 x ? 的定义域是 . ?3 ? 2 12.已知函数 y ? f ( x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后 ? 把所得的图象沿 x 轴向左平移 ,这样得到的曲线和 y ? 2 sin x 的图象相同,则已知函数 y ? f ( x) 的解 2 析式为______________________. n? (n ? N * ) ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2005 )= 13.已知 f (n) ? cos . 6 1 ) 在第________象限. 14.已知 ?ABC 是锐角三角形,则点 P (cos B ? sin A, tan B ? tan C
11.函数 y ?

x ? A. y ? sin( ? ) 2 6

B.

y ? cos( 2 x ?

?
3

)

C. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D.

y ? cos( 2 x ? ) 6

?

?x ?? 7.函数 f ? x ? ? tan ? ? ? 在一个周期内的图像是 ?2 3?

) ? 3 15 .已知函数 f ( x) ? .① f ( x) 是定义域上的减函数,周期为 ; ② f ( x) 是区间 ? 2 sin(2 x ? ) 3 cos(2 x?

?

(k? , (k ? 1) ? ) ? k? Z? 上的减函数, 周期为 2?


; ③

? 2 ? f ( x) 是区间 ( , ? ) 上的减函数,周期为 6 3 4
2

2 7 ? f ( x) 是区间 ( ? , ? ) 上的减函数, 周期为 3 6 2



. 以上叙述中正确的序号是______________.
2 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分)集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 2( a ?1) x ? a ? 5 ? 0} . (1)若 A ? B ? {2} ,求实数 a 的值; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围.
8.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(? x ?

A. [ , ]

1 5 2 4

) 在 ( , ? ) 上单调递减.则 ? 的取值范围是 4 2 1 3 1 B. [ , ] C. (0, ] D. (0, 2] A 2 2 4

?

?

9. 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当 x ? [0,

?
2

] 时,

17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x2 cos? ? 2x sin ? ?1,? ? (0, ? ) 在区间 [?1, 3] 上是递增函数, 求 ? 的取值范围.

20. ((本题满分 13 分)弹簧振子在完成一次全振动的过程中的时间 x( s) 与位移 y (cm) 之间的对应数据如 下表: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y -20 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20 (1)在坐标系中作出这个弹簧振子的时间 x 与位移 y 之间关系的散点图; (2)选择一个函数来近似描述时间 x 与位移 y 之间的关系,并求出函数关系式; (3)求弹簧振子在两次位移为 10 2cm 时最短的间隔时间.
y

20 10
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x ( ? ? 0 ). (1)当 ? ? 2 时,写出由 y ? f ( x) 的图象向右平移

-10 -20

原来的 4 倍,纵坐标不变得到的函数 y ? g ( x) 所对应的解析式; (2)若 y ? f ( x) 图象过 (

? 个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标伸长到 6

2? ? , 0) 点,且在区间 (0, ) 上是增函数,求 ? 的值. 3 3
21. (本小题满分 14 分)对于函数 f ( x) ,若在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 “局部奇函数” . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 4a (a ? R, a ? 0) ,试判断 f ( x) 是否为“局部奇函数”?并说明理由; (Ⅱ)若 f ( x) ? 4 x ? m ? 2 x?1 ? m2 ? 3 为定义域 R 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围.

19.(本题满分 12 分)已知点 (

5? ?? ? ,2) 在函数 f ?x ? ? 2 sin ??x ? ? ?? ? ? 0,0 ? ? ? ? 的图象上,直线 12 2? ?

x ? x1 、 x ? x 2 是 y ? f ( x) 图象的任 意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为
(1)求函数 f ?x ? 的单递增区间和其图象的对称中心坐标; (2)设 A ? ? x

? . 2

? ? ?? ? x ? ? , B ? x f ( x) ? m ? 1 ,若 A ? B ,求实数 m 的取值范围. 2? ? 4

?

?

龙泉中学2014级高一周练数学试卷(13)参考答案
出题人:刘曲文 选择题答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 C 6 C 7 A 8 A 9 D 10 B

因为

?? f ( x) 在 ? ? 0, ? 上是增函数.
? 3?

所以

?
3

?

2?

?

???

3 3 ,又因为 ? ? 0 ,所以 0 ? ? ? 2 2

由 y ? f ( x) 的图象过 (

3 2? 2? 2? , 0) 点,得 sin ? ? 0 ,所以 ? ? k? . 即 ? ? k , k ? Z ,所以, 2 3 3 3

??

3 1 ? ? k ? ? k? ? , ? 11. ? ? 12. f ? x ? ? ? cos 2 x 13. 14.二 15.○ 3 ?,k ? Z 2 ? 2 ? 24 2 6 2 16.解:(1) 由 A ? B ? {2} 得 2 ? B, 解得 a ? ?1 或 a ? ?3 ,经检验均符合题意 (如果不检验扣 2 分};
(2)由 A ? B ? A ? B ? A ,所以 B ? ? 或 B ? {1} 或 B ? {2} 或 B ? {1, 2} 当 B ? ? 时得 a ? ?3; 当 B= {2}时得 a ? ?3 ,当 B={1}或 B={1,2}时无解,. 所以 a 的取值范围为 17.解: (1)若 0 ? ? ?

? ? 2? ?? ? 2. , 周期 T ? ? ? ? 2 5? ? 5? ? ? ) ? 2 ? ? ? 2 k? ? , k ? Z 又图象经过点 ( , 2) ,? 2sin(2 ?
19. (1)? | x1 ? x2 | 的最小值为

3 . 2

?? ?

?

12

2,

?? ? ?

?
3
?
12 , k? ?

6

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?
5? ], k ? Z 12

?
3

3

)
??????2 分

?
2

a ? ?3 .
,则 cos ? ? 0 ,由 f ( x ) 在区间 [?1, 3] 上是递增函数得:

单调递增区间为 [k? ?

对称中心坐标为 (

对称轴 x ? ? tan ? ? ?1 ? tan ? ? 1 ? (2) 若? ? 符合题意; (3)若

?
4

?? ?

?
2

? ? (2)? A ? B ,? 当 ? x ? 时 f ( x) ? m ? 1 恒成立.
即 m ? 1 ? f ( x) ? m ? 1 恒成立. 即?

k? ? ? , 0), k ? Z . 2 6



4

2

?
2

0 ,由 f (x) ?2 x ? 1 在 R 上是增函数知 f ( x) 在区间 [?1, 3] 上也是递增函数, , 则 cos ? ?

? f ( x) max ? 1 ? m ?2 ? m ? 1 ,? f ( x) ? [1, 2] ,? ? ? 1 ? m ? 2 . ?????12 分 ? f ( x) min ? m ? 1 ?1 ? m ? 1

?
2

? ? ? ? ,则 cos ? ? 0 ,由 f ( x) 在区间 [?1, 3] 上是递增函数得:

20.解: (1)以时间为横轴,位移为纵轴在直角坐标系中作出散点图: (2)由此知用函数 y ? A sin(? x ? ? ), x ?[0,12] 进行拟合是合理的.

——————— 2 ?

对称轴 x ? ? tan ? ? 3 ? tan ? ? ? 3 ? 综上得 ? 的取值范围为 [

?

? 2?
4 , 3

2 ?? ? ? ; 2 3

?A?

]。 1 2

18.解: (1)由已知,所求函数解析式为 g ( x ) ? sin( x ? (2) 由 y ? f ( x) 的图象过 (
* 又 ? ? 0 ,所以 k ? N .

?
3

).

3 2? 2? 2? ? ? 0, , 0) 点, ? ? k? , k ? Z .即 ? ? k , k ?Z . 得 sin 所以 2 3 3 3

4? 3 3 ? ?? , f ( x ) ? sin x ,其周期为 ,此时 f ( x) 在 ? 0, ? 上是增函数; 3 2 2 ? 3? 2? 2? 4? ? ?? ? ? 当 k ? 2 时,? ? 3 , f ( x) ? sin ? x 的周期为 ,此时 f ( x ) 在 ? 0, ? 上不是增函数.所以, ? 3 3 ? 3? 3 ?? . 2
当 k ? 1 时, ? ? 方法 2:当

1 ( ymax ? ymin ) ? 20 2 2? ? T ? 12 ? ? ? ? T 6 3 ? 3 ? ? x4 ? ? ? ? ? ?12 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 6 2 2 ?x ? ? y ? 20sin( ? ), x ? [0, ??) 为所求的函数关系式;———————— 8 ? 6 2 ?x ? ?x ? 2 (3)令 20sin( ? ) ? 10 2, x ?[0,12] ?sin( ? ) ? , x? [0,12] 6 2 6 2 2 ? x ? ? 3? 9 15 ? ? 或 则 ,解得: x ? 或 6 2 4 4 2 2 15 9 ? 弹簧振子在两次位移为10 2cm 时最短的间隔时间为 s ? s ? 3s .——————13? 2 2 21 .解: (Ⅰ) f ( x ) 为“局部奇函数”等价于关于 x 的方程 f ( x) ? f (? x) ? 0 有解.
2 2 当 f ( x) ? ax ? 2 x ? 4a (a ? R) 时,由 f ( x) ? f (? x) ? 0 得: 2a( x ? 4) ? 0 ? x ? ?2 .

f ( x) 为增函数时, ? ? ? 2k? ? ? x ? ? ? 2k? , k ? Z ?
2 2

即方程 f ( x) ? f (? x) ? 0 有解,故 f ( x ) 为“局部奇函数” ; (Ⅱ)当 f ( x) ? 4 ? m ? 2
x

?

? 2 k? ? 2 k? ? ?x? ? , k?Z 2? ? 2? ?

? m2 ? 3 时, f ( x) ? f (? x) ? 0 可化为: 4x ? 4? x ? 2m(2x ? 2? x ) ? 2m2 ? 6 ? 0 ,令 t ? 2x ? 2? x ?[2, ??) ,则 4 x ? 4? x ? t 2 ? 2 2 2 从而 t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在 [2, ??) 上有解即可保证 f ( x ) 为“局部奇函数” ,

x ?1

令 F (t ) ? t 2 ? 2mt ? 2m2 ? 8 , 1° 当 F (2) ? 0 , t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在 [2, ??) 有解,
2 2

由 F (2) ? 0 ,即 2m ? 4m ? 4 ? 0 ? ?1 ? 3 ? m ? 3 ?1; ???? 10 分
2

2° 当 F (2) ? 0 时, t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在 [2, ??) 有解等价于
2 2

?? ? 4m2 ? 4(2m2 ? 8) ? 0 ? ? ?2 2 ? m ? ?1 ? 3 . ??????? 12 分 ?m ? 2 ? F (2) ? 0 ?
(说明:也可转化为 t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 的大根大于等于 2 求解)
2 2

综上,所求实数 m 的取值范围为 ?2 2 ? m ? 3 ? 1 .

??????? 13 分


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