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2014届高考数学一轮复习课件:第三章第5课时三角函数的图象和性质(新人教A版)


第5课时

三角函数的图象和性质

2014高考导航
考纲展示 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解 三角函数的周期性. 2.借助图象理解正弦函数、 余弦函数在[0,2π],正切函 ?-π,π?上的性质. 数在 2 2 ? ? 备考指南 1.三角函数的值域、最值、单 调性、周期性等性质是高考考

查的重点. 2.主要以选择题、填空题的形 式考查,也常与三角恒等变换 相结合在解答题中考查.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是: ?3π ,-1 ? ?π ,1 ?,(π ,0),____________,(2π ,0). ?2 ? (0,0), ?2 ? 余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:

?π ,0 ?,____________,?3π ,0 ?,(2π ,1). (π,-1) (0,1), ?2 ? ?2 ?

2.三角函数的图象和性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

定义域 值域

x∈R [-1,1]

x∈R [-1,1]

π {x|x∈R 且 x≠ 2 +kπ ,k∈Z} R

函数

单调 性

最值

y=sin x π π 在[- +2kπ , + 2 2 2kπ ],k∈Z 上递增; π 3π 在[ +2kπ , + 2 2 2kπ ],k∈Z 上递减 π +2kπ (k∈Z) 2 x=______________ 时,ymax=1; π - +2kπ (k∈Z) 2 x=_______________ 时,ymin=-1

y=tan x π 在[(2k-1)π ,2k 在(- 2 + π ],k∈Z 上递增; π kπ , +k 2 在[2kπ ,(2k+1) π ],k∈Z 上递减 π ),k∈Z 上递增

y=cos x

2kπ(k∈Z) x=___________
时,ymax=1; π+2kπ(k∈Z) x=_____________ 时,ymin=-1 无最值

函数 奇偶性 对 称 性 对称 中心 对称 轴 周期

y=sin x 奇 (kπ ,0),k ∈Z

y=cos x 偶 ______

y=tan x 奇

π (kπ + ,0), (kπ ,0), ___________ 2 2 k∈Z __________

k∈Z 无 π

π x=kπ + , x=kπ,k∈Z 2 ___________ k∈Z 2π _____ 2π

3.周期性 (1)一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当 x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)

就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.
(2)对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最 最小正周期 小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的______________. (3)函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数y=Acos(ωx+φ),x∈R(其 2π 中A、ω、φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=______. ω

课前热身
1.函数 y=tan 2x 的定义域为( π A.{x|x≠kπ+ ,k∈Z} 4 π C.{x|x≠kπ+ ,k∈Z} 8 ) kπ π B.{x|x≠ + ,k∈Z} 2 8 kπ π D.{x|x≠ + ,k∈Z} 2 4

答案:D

2.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是(

)

?-π, π ? A. 4 4 ? ? ?π,3π ? C. 2? ?

?π,3π ? B. 4 4 ? ? ?3π,2π? D. 2 ? ?

解析:选 C.作出函数 y=|sin x|的图象,观察可知,函数 y

?π,3π ?上递增. =|sin x|在 2? ?

x+φ 3.(2012· 高考大纲全国卷)若函数 f(x)=sin (φ∈[0,2π]) 3 是偶函数,则 φ=( ) π 2π A. B. 2 3 3π 5π C. D. 2 3
φ π 解析:选 C.∵f(x)为偶函数,∴ =kπ+ (k∈Z), 3 2 3π 3π ∴φ=3kπ+ (k∈Z).又∵φ∈[0,2π],∴φ= . 2 2

3 4.设函数 f(x)=A+Bsin x,若 B<0 时,f(x)的最大值是 , 2 1 最小值是- ,则 A=________,B=________. 2

1 答案: -1 2

π 5.函数 y=sin(x+ )的对称中心为________. 4
π 答案:(kπ- ,0),k∈Z 4

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 三角函数的定义域和值域 (1)求函数 y= sin x+ 16-x2的定义域;

例1

(2)求函数 y=sin2x-cos x+1 的值域.
【解】
?sin x≥0 ? (1)由已知得? , 2 ?16-x ≥0 ?

?2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z ? ∴? . ?-4≤x≤4 ?

如图: ∴所求定义域为[-4,-π]∪[0,π].

(2)∵y=sin2x-cos x+1

?cos x+1 ?2+9, =2-cos x-cos x=- 2? 4 ?
2

又∵-1≤cos x≤1,

?0,9 ?. ∴函数的值域为 ? 4?

【思维升华】

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三

角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ) +k的形式,再求最值(值域); ②形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化 为关于t的二次函数求值域(最值);

③形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设
t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).

跟踪训练

?x+π ?的值 1.(1)(2012· 高考湖南卷)函数 f(x)=sin x-cos ? 6?
域为( ) A.[-2,2] B.[- 3, 3] 3 3 C.[-1,1] D.[- , ] 2 2 (2)函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域为________.

?x+π ?=sin x-cos x· π+sin 解析: (1)∵f(x)=sin x-cos cos ? 6? 6 π 3 1 3 1 xsin =sin x- cos x+ sin x= 3 ? sin x- cos x ?= 6 2 2 ?2 2 ? ?x-π ?(x∈R), 3sin ? 6?
∴f(x)的值域为[- 3, 3].

(2)设 t=sin x+cos x, t2-1 则 sin xcos x= (- 2≤t≤ 2). 2 12 1 1 y=t+ t - = (t+1)2-1, 2 2 2 1 当 t= 2时,y 取最大值为 2+ , 2 当 t=-1 时,y 取最小值为-1. 1 ∴函数值域为[-1, + 2]. 2 1 答案:(1)B (2)[-1, + 2] 2

考点 2

三角函数的单调性 ?sin x-cos x?sin 2x (2012· 高考北京卷)已知函数 f(x)= . sin x

例2

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间.

【解】 (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sin x-cos x?sin 2x 因为 f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 ?2x-π ?-1, = 2sin 4? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2

(2)函数 y=sin x 的单调递增区间为

?2kπ-π,2kπ+π ?(k∈Z). 2 2? ?
π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 π 3π 所以 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ)和(kπ,kπ+ ](k 8 8 ∈Z).

【规律小结】

(1)熟记 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的单

调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础. (2)求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时,只需把 ωx +φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间即可,注 意 A 的正负以及要先把 ω 化为正数.

跟踪训练 2.写出下列函数的单调区间. ?-2x+π ?;(2)y=|tan x|. (1)y=sin 3? ?

?2x-π ?, 解:(1)y=-sin 3? ? ?2x-π ?的减区间, 它的增区间是 y=sin 3? ? ?2x-π ?的增区间. 它的减区间是 y=sin 3? ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 ?kπ- π ,kπ+5π ?,k∈Z; 故所给函数的减区间为 12 12 ? ? ?kπ+5π,kπ+11π ?,k∈Z. 增区间为 12 12 ? ? (2)观察图象(图略)可知,y=|tan x|的增区间是 ?kπ,kπ+π ?,k∈Z,减区间是?kπ-π,kπ ?,k∈Z. 2? 2 ? ? ?

考点 3

三角函数的奇偶性与周期性 x x x 已知函数 f(x)=2sin cos + 3cos . 4 4 2

例3

(1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; π (2)令 g(x)=f(x+ ),判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. 3

【解】

x x (1)f(x)=sin + 3cos 2 2

x π =2sin( + ), 2 3 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 x π 当 sin( + )=-1 时,f(x)取得最小值-2, 2 3 x π 当 sin( + )=1 时,f(x)取得最大值 2. 2 3

x π (2)由(1)知 f(x)=2sin( + ), 2 3 π 又 g(x)=f(x+ ), 3 1 π π ∴g(x)=2sin[ (x+ )+ ] 2 3 3 x π x =2sin( + )=2cos . 2 2 2 x x ∵g(-x)=2cos(- )=2cos =g(x), 2 2 ∴函数 g(x)是偶函数.

【规律小结】 (1)求三角函数周期的方法: ①利用周期函数的定义. ②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正 2π π 周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω| ③利用图象. (2)判断函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性,注 意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数;复合函数在复合 过程中,对每个函数而言,“同奇才奇,一偶则偶”.

跟踪训练 3.(1)已知 f(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ)为偶函数, 则 φ 可以取的一个值为( π A. 6 π C.- 6 ) π B. 3 π D.- 3

?kx+π ?的最小正周期 T 满足 1<T<2, (2)若函数 f(x)=2tan 3? ?
则自然数 k 的值为________.

? 3x+φ+π ?,则 φ+π=kπ?φ=kπ-π, 解析:(1)f(x)=2cos 3? ? 3 3
π k∈Z,令 k=0,φ=- . 3 π π π (2)T= ,1< <2, <k<π, 2 k k 而 k∈N?k=2 或 3.
答案:(1)D (2)2 或 3

考点 4

三角函数的对称性

例3

?x-π ?的图象的一 (2012· 高考福建卷)函数 f(x)=sin ? 4?
) π B.x= 2 π D.x=- 2

条对称轴是( π A.x= 4 π C.x=- 4

【解析】 法一:∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或 最低点, π π 故令 x- =kπ+ ,k∈Z, 4 2 3π ∴x=kπ+ ,k∈Z. 4 π 则 k=-1,则 x=- . 4 π ?π-π ?=0,不合题意,排除 A;x=π时, 法二: x= 时,y=sin 4 4 4 ? ? 2 ?π-π ? = 2 , 不 合 题 意 , 排 除 B; x= - π 时 , y = y = sin 2 4 ? ? 2 4 ?-π- π ?=-1,符合题意,C 项正确;而 x=-π时,y= sin 4 4 ? ? 2 ?-π- π ?=- 2,不合题意,故 D 项也不正确. sin 2 4 ? ? 2

【答案】

C
正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又

【名师点评】

是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记 它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.

跟踪训练

?|φ|<π ?的一条对称轴为 x= π , 4.(1)函数 y=2sin(3x+φ) 2? ? 12
则 φ=________; (2)函数 y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形, 则 φ=________.

π π 解析: (1)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z), 3× 即 2 12 π π +φ=kπ+ (k∈Z),得 φ=kπ+ (k∈Z). 2 4 π π 又|φ|< ,∴k=0,故 φ= . 2 4 (2)由题意,得 y=cos(3x+φ)是奇函数, π ∴φ=kπ+ ,k∈Z. 2

π 答案:(1) 4

π (2)kπ+ ,k∈Z 2

方法感悟
1.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如 y= Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区 间,求出 x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数 的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同: π π (1)y=sin(2x- );(2)y=sin( -2x). 4 4 2.求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一 个三角函数的式子,否则很容易出现错误.一般地,经过 三角恒等变换化成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y =Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.

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规范解答


三角函数的图象和性质

(本题满分 12 分)(2012· 高考天津卷)已知函数 f(x)

?2x+π ?+sin?2x-π ?+2cos2x-1,x∈R. =sin 3? 3? ? ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期;

?-π,π ?上的最大值和最小值. (2)求函数 f(x)在区间 4 4 ? ?

π π 【解】 (1)f(x)=sin 2x· +cos 2x· + cos sin 3 3 π π sin 2x· -cos 2x· +cos 2x=sin 2x+cos 2x cos sin 3 3 ?2x+π ?,? 5分 = 2sin 4? 1 ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π.6 分 2 ?-π,π ?,∴-π≤2x+π≤3π,? 8分 2 (2)∵x∈ 4 4 ? ? 4 4 4 ?2x+π ?≤ 2.10 分 ∴-1≤ 2sin 4? ? ?-π,π ?上的最大值为 2,最小值为-1.12 分 故函数 f(x)在区间 4 4 ? ?

抓关键 促规范
1 正确恒等变换,转化为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,是

进一步研究函数性质的关键.
2 利用不等式的性质,判断 2x+ 的范围是易失分点.

π 4

【方法提炼】

解决这类题目的一般思路就是变换函数解

析式,将其化为 y=Asin(ωx+φ)+h 的形式,一般要求 A >0,ω>0(当然这不是绝对的),然后根据 y=Asin(ωx+φ) +h 的性质解决问题.对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的性质,完全可以令 z=ωx+φ,与函数 y=sin z 的性 质类比得到,解决相应的问题.

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