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高一周练数学试卷(16)


龙泉中学高一周练数学试卷(16)
班级 姓名 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.下列命题中,假命题为

15.给出下列四个命题:

b |? a b ,则 a / / b ; ①若 | a?

? ?

/>? ?

?

?

② (b? c)a ? (c? a)b 与 c 不垂直;

???

?? ?

?

③在 ?ABC 中,三边长 BC ? 5, AC ? 8, AB ? 7 ,则 BC ? CA ? 20 ; ④设 A(4, a ) , B(b,8) , C (a, b) ,若 OABC 为平行四边形( O 为坐标原点) ,则 ?AOC ? 其中真命题的序号是 . (请将你认为真命题的序号都填上) 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16 . (本小题满分 12 分)设向量 OA ? (3,1) , OB ? (?1, 2) ,向量 OC ? OB , BC ∥ OA ,又

??? ? ??? ?

?
4

?? A.若 a ? b ? 0 ,则 a ? b B.若 a? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ? ? ? ? C.若 k ? R , ka ? 0 ,则 k ? 0 或 a ? 0 D.若 a , b 都是单位向量,则 a ? b ≤1 恒成立 ??? ? ???? ? ? 2.设点 A(1, 2) , B(3,5) ,将向量 AB 按向量 a ? (?1, ?1) 平移后得向量 A?B? 为 A. (2,3) B. (1, 2) C. (3, 4) D. (4, 7)
3.下面给出的关系式中正确的个数是



??? ?

??? ?

OD + OA = OC ,求 OD .

b ① 0? a ? 0 ;② a? b ? b ?a ;③ a ? a ;④ (a? b )c ? a(b ? c) ;⑤ a ?b ? a ?
B. 1 C. 2 D. 3 ? ? ? ? 4.若平面向量 a ? (1, x) 和 b ? (2x ? 3, ? x) 互相平行,其中 x ? R .则 a ? b ? A. 0

? ?

?

? ?

??

?2

?2

? ? ?

? ??

? ?

? ?

B. 2 5 C. 2 或 2 5 D. 2 或 10 ? ? ? ? ? ? 5.向量 a ? (?1,1) ,且 a 与 a ? 2b 方向相同,则 a ? b 的范围是 A. (1, ??) B. (?1,1) C. (?1, ??) D. (??,1) ??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 6.四边形 ABCD 中, AB ? a ? 2b , BC ? ?4a ? b ,CD ? ?5a ? 3b ,则四边形 ABCD 的形状是

A. ? 2 或 0

? ? ? ? 7.已知 a ? (2,3) , b ? (?4,7) ,则 a 在 b 的方向上的投影为
A. 13 B.

A.长方形

B.平行四边形

C.菱形

D.梯形

17.(本小题满分 12 分)已知平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( , 使 x ? a ? (t 2 ? 3)b, y ? ?ka ? tb 且 x ? y . (1)试求函数关系式 k ? f (t ) ; (2)求使 f (t ) ? 0 的 t 的取值范围.

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

? ?

1 3 ) .若存在不同时为零的实数 k 和 t , 2 2

65 D. 65 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 8. O 是 ?ABC 所在平面上一点,且满足条件 OA? OB ? OB? OC ? OC ? OA ,则点 O 是 ?ABC 的
C.

13 5

???? ??? ? 9.已知 O 、 A 、 B 为平面上三点,点 C 满足 AC ? 2CB ,则 ???? 1 ??? ? 2 ??? ? ???? 1 ??? ? 2 ??? ? A. OC ? OA ? OB B. OC ? OA ? OB 3 3 3 3 ???? 2 ??? ? 1 ??? ? ???? 2 ??? ? 1 ??? ? C. OC ? OA ? OB D. OC ? OA ? OB 3 3 3 3 ? ? ? 2 ? ? ? 10.设 a 、 b 不共线,则关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 的解的情况是
A.至少有一个实数解 C.至多有两个实数解
1 2 3 4 5

A.重心

B.垂心

C.内心

D.外心

B.至多只有一个实数解 D.可能有无数个实数解
6 7 8 9 10

18. (本小题满分 12 分)已知 A(2, 0) , B(0, 2) , C (cos ? ,sin ? ) ,( 0 ? ? ? ? ). (1)若 OA ? OC ?

??? ? ????

7 ( O 为坐标原点) ,求 OB 与 OC 的夹角;

(2)若 AC ? BC ,求 tan ? 的值.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 a ? (3, ?4), b ? (2,3) ,则 2 | a | ?3a? b?

?

?

?

??

? ? ? ? ? 12.已知向量 a ? 3, b ? (1, 2) ,且 a ? b ,则 a 的坐标是______________.
13. 有一两岸平行的河流, 水速为 1 , 速度为 2 的小船要从河的一边驶向对岸, 为使所行路程最短, 则小船的行驶方向与水流的方向的夹角应为________.



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? ?2 ,则 a ? b ? 它的长度 a ? b ? a b sin ? ,如果 a ? 3 , b ? 2 , a?

14.如果向量 a 与 b 的夹角为 ? ,那么我们称 a ? b 为向量 a 与 b 的“向量积” , a ? b 是一个向量, .

? ?

? ? ? ? ? ? ? 19. (本小题满分 12 分)已知向量 a 与向量 b 夹角为 45 ,且 a ? 2 , b ? 3 ,若向量 a ? ? b 与 ? ? 向量 ? a ? b 的夹角是锐角,求实数 ? 的取值范围.

A、 B、 O 为坐标原点, C 三点满足 OC ? 21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,

??? ?

??? ? (1)求证: A 、 B 、 C 三点共线; (2)求 ??? 的值;
| AC | | CB |
(3)已知 A(1, cos x) 、 B(1 ? cos x,cos x) , x ? [0, 值为 ?

1 ??? 2 ??? OA ? OB. 3 3

?
2

??? ??? ? 2 ??? ] , f ( x) ? OA ? OC ? (2m ? ) | AB | 的最小
3

3 ,求实数 m 的值. 2

20. (本小题满分 13 分) 四边形 ABCD 中, 且 BC / / AD . AB ? (6,1) , BC ? ( x, y) , CD ? (?2, ?3) , (1)求 x 与 y 间的关系; (2)若 AC ? BD ,求 x 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积. (选做题) 1 . 在 ?ABC 和 ?AEF 中 , B 是 EF 的 中 点 , AB ? EF ? 1 , BC ? 6 , CA ? 33 , 若

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB?AE ? AC?AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于
??? ? ??? ? ????



2.已知 ?ABC ,若对任意的 t ? R , BA ? t BC ? AC ,则 ?ABC 的形状为



3.设点 O 在 ?ABC 的内部,且有 OA ? 2OB ? 3OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积的比值 为 .

??? ?

??? ?

??? ?

?

龙泉中学 2014 级高一周练理科数学试卷(16)参考答案
命题:郑胜 选择题答案 1 B 11. 28 ; 2 A 12. ( 3 C 4 C 5 C 6 D 7 C 8 B 9 B 10 B

要使向量 a ? ? b 与向量 ? a ? b 的夹角是锐角,则 (a ? ?b)? (?a ? b) ? 0 即 3? ? 11? ? 3 ? 0
2

?

?

? ?

?

?

? ?

?6 5 3 5 6 5 ?3 5 , ) 或( , ) ; 13. 135? ; 14. 4 2 ;15.①④. 5 5 5 5 ??? ? 16.解: 设 OC ? ( x, y) ,
∵ OC ? OB ,∴ OC ? OB ? 0 ,∴ 2 y ? x ? 0 ,① 又∵ BC ∥ OA , BC ? ( x ?1, y ? 2) ,∴ 3( y ? 2) ? ( x ? 1) ? 0 ,即: 3 y ? x ? 7 ? 0 ,② 由①、②解得, x ? 14, y ? 7 ,∴ OC ? (14,7) ,则 OD ? OC ? OA ? (11,6) . 17.解: (1)? x ? y,? x ? y ? 0 ,即 [(a ? t 2 ? 3)b]? (?ka ? tb) ? 0 .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?

? ?

? ? ?

?

?

?

?

? ? ?2 ?2 1 ? a ? b ? 0, a ? 4, b ? 1,??4k ? t (t 2 ? 3) ? 0 ,即 k ? t (t 2 ? 3) . 4 1 2 (2)由 f (t ) ? 0 得 t (t ? 3) ? 0 ,即 t (t ? 3)(t ? 3) ? 0 ,解得: ? 3 ? t ? 0 或 t ? 3 . 4 18. 解:⑴∵ OA ? OC ? (2 ? cos?, sin ? ) , | OA ? OC |? 7 , 1 ∴ (2 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 7 ,∴ cos ? ? . 2 ? ? 又 ? ? (0, ? ) ,∴ ? ? ,即 ?AOC ? , 3 3 ? ? 又 ?AOB ? ,∴ OB 与 OC 的夹角为 . 2 6 ⑵ AC ? (cos? ? 2, sin ? ) , BC ? (cos? , sin ? ? 2) , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 由 AC ? BC ,∴ AC ?BC ? 0 , 可得 cos ? ? sin ? ? , ① 2 1 3 2 ∴ (cos ? ? sin ? ) ? ,∴ 2 sin ? cos ? ? ? , 4 4 ? ∵ ? ? (0, ? ) ,∴ ? ? ( , ? ) , 2 7 2 又由 (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? , cos ? ? sin ? <0, 4 7 ∴ cos ? ? sin ? =- , ② 2 4? 7 1? 7 1? 7 由①、②得 cos? ? , sin ? ? ,从而 tan? ? ? . 4 4 3 ? ? ? ? ? 19.解:∵向量 a 与向量 b 夹角为 45 ,且 a ? 2 , b ? 3
? ? ? ? 2 b ? a b cos 45? ? 3 2 ? ?3 ∴ a? 2 ? ? ? ? 而 (a ? ?b)? (? a ? b) ? ?a2 ? ab ? ? 2ba ? ?b2 ? 2? ? 3 ? 3? 2 ? 9? ? 3? 2 ?11? ? 3

?11 ? 85 ?11 ? 85 , 或? ? 6 ? ?6 ? ? 又当向量 a ? ? b 与 ? a ? b 同向共线时 ? ? 1 ,此时不满足条件 ?11 ? 85 ?11 ? 85 综上所述,实数 ? 的取值范围是: (??, )?( ,1) ? (1, ??) . 6 6 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 20.解:(1)∵ AD ? AB ? BC ? CD ? (4 ? x, y ? 2) , ??? ? ???? ∴ 由 BC / / AD ,得 x( y ? 2) ? y(4 ? x) ? x ? 2 y ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2) 由 AC ? AB ? BC ? (6 ? x,1 ? y) , BD ? ( x ? 2, y ? 3) . ??? ? ??? ? ? x ? ?6 ? x ? 2 ∵ AC ? BD , ∴ (6 ? x)( x ? 2) ? (1 ? y)( y ? 3) ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ∴ ? 或? . ?y ? 3 ? y ? ?1 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ AC ? (0, 4), BD ? (?8,0) 或 AC ? (8,0), BD ? (0, ?4) , ? 1 ???? ??? S ABCD ? AC BD ? 16 . 2 ???? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ???? 2 ??? ? 21.解: (1)由已知 OC ? OA ? (OB ? OA) ,即 AC ? AB , 3 3 ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ∴ AC ∥ AB . 又∵ AC 、 AB 有公共点 A ,∴ A 、 B 、 C 三点共线. ???? 2 ??? ? 2 ???? ??? ? ? 1 ???? 2 ??? AC ? CB , (2)∵ AC ? AB ? ( AC ? CB ) ,∴ 3 3 3 3 ???? ???? ??? ? | AC | ? ?2. ∴ AC ? 2CB ,∴ ??? | CB | ??? ? 2 (3)∵ C (1 ? cos x, cos x) , AB ? (cos x,0) , 3 ??? ? ???? ? 2 ??? 2 2 OC ? (2m ? )? | AB |? 1 ? cos x ? cos 2 x ? (2m ? ) cos x ∴ f ( x) ? OA? 3 3 3 2 2 ? (cos x ? m) ? 1 ? m .
从而得 ? ?

?? ? ,∴ cos x ? [0,1] . 2? ? ? 当 m ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 1 与已知相矛盾;
∵ x ? ?0,
2 当 0 ? m ? 1 时 , 当且仅当 cos x ? m 时 , f ( x ) 取得最小值 1 ? m ,由 1 ? m ? ?
2

3 10 得m?? 2 2

(舍去); 当 m ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 2 ? 2m ,由 2 ? 2m ? ? 件. 综上所述, m ? 选做题:1.

3 7 得 m ? ? 1 满足条 2 4

7 为所求. 4

2 ;2.直角三角形;3. 3 . 3


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