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上课用1.2演绎推理《三段论》优秀课件


演绎推理

示例1.类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想.

直角三角形
∠C=90° 3个边的长度a,b,c 2条直角边a,b和1条斜边c

3个面两两垂直的四面体
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°

4个面的面积S1,S2,S3和S 3个“直角面

” S1,S2,S3和 1个“斜面” S

练习

S?PA?B? PA? ? PB? ? 由图(1)有面积关系: S?PAB PA ? PB

VP ? A?B?C ? PA? ? PB? ? PC ? ? 则由图(2)有体积关系: VP ? ABC PA ? PB ? PC
B? B

B?
A

B
C

P

C?

A?
图(1)

P

A? 图(2)

A

例题解析
例2、数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后

用归纳推理得出它们之间的关系.

凸多面体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

三棱住
四棱柱

欧拉公式: F + V - E = 2
5
6

6
8

9

12

五棱柱
三棱锥 四棱锥

7
4 5

10
4 5

15
6 8

五棱锥

6

6

10

教学目标:
1.了解演绎推理的含义。 2.能正确地运用演绎推理 进行简单 的推理。 3.了解合情推理与演绎推理之间的 联系与差别。 教学重点:正确地运用演绎推理、进 行简单的推理。 教学难点:了解合情推理与演绎推理 之间的联系与差别。

一、复习回顾: 1、归纳推理: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理, 称为归纳推理.(简称归纳) 2、类比推理: 由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理(简 称类比).
从具体问 题出发 观察、分析 比较、联想

归纳、 类比

提出猜想

复 习

特殊 到 一般 的推理. 1.归纳推理是从 2.类比推理是从 特殊 到 特殊 的推理.
3.归纳推理和类比推理的结论是否

一定正确? 归纳推理和类比推理能否作为数学 证明的工具?

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。

类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特 征,从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。

案例:
(1)观察 1+3=4=22 , 1+3+5=9=32 , a⊥c,b⊥c,则a//b. 类比地推广到空 (2)在平面内,若

1+3+5+7=16=42 , 1+3+5+7+9=25=52 , …… 由上述具体事实能

间,你会得到什么结 论?并判断正误.

得到怎样的结论?

二、新授课:
完成下列推理, 它们是合情推理吗? 它们有什么特点?
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论

案例分析2:
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论,这种推理称为演绎推理.
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论 大前提 小前提 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论

? 1.演绎推理 ? 从一般性 的原理出发,推出 某个特殊 情 况 下 的结论的推理形式. ? 它的特点是:由一般到特殊的推理. ? 它的特征是:当 前提和推理形式 都 正 确 时 , 结论 必然正确.

从一般性的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论,这种推理称为演绎推理. 注: 1.演绎推理是由一般到特殊的推理; 2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包 括 ⑴大前提---已知的一般原理; ⑵小前提---所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出 的判断.

2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包 括 ⑴大前提---已知的一般原理; ⑵小前提---所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出 的判断. 3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个 子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
M
a

?

S

? ? ? ?

3.“三段论”的常用格式 M是P 大前提: S是M 小前提: S是P 结论: .

? ? ? ? ?

[例1] 下列说法正确的个数是 ( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大前提、 小前提和推理形式有关 ? A.1 B.2 C.3 D.4

[答案] C [解析] 由演绎推理的概念可知说法① ③④正确,②不正确,故应选C.

? 下列几种推理过程是演绎推理的是 ( A) ? A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两 条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° ? B.西华三高1113班有63人,1114班有64人,1115班有 66人,由此得高三所有班人数都超过60人 ? C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 1 ? 1? ? D.在数列{an}中,a1=1,an= ?an-1+a ?(n≥2), ? 2? n-1?
由此归纳出{an}的通项公式

?[解析] C是类比推理,B与D均为归纳推理,而合 情推理包括类比推理和归纳推理,故B、C、D都不 是演绎推理.而A是由一般到特殊的推理形式,故 A是演绎推理.

[例 2]

用三段论的形式写出下列演绎推理.

(1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方 形的对角线相互垂直. (2)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相 等,则此两角不是对顶角. (3)0.332是有理数. (4)y=sinx(x∈R)是周期函数.
·

? [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结 论.大前提可能在题目中给出,也可能是已经 学过的知识. ? [解析] (1)每个菱形的对角线相互垂直 大前提 ? 正方形是菱形 小前提 ? 正方形的对角线相互垂直 结论 ? (2)两个角是对顶角则两角相等 大前提 ? ∠1和∠2不相等 小前提 ? ∠1和∠2不是对顶角 结论

(3)所有的循环小数都是有理数 0.332是循环小数 0.332是有理数 (4)三角函数是周期函数 y=sinx(x∈R)是三角函数 y=sinx 是周期函数
· ·

大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

? [点评] 在三段论中,“大前提”提供了 一般的原理、原则,“小前提”指出了一 个特殊场合的情况,“结论”在大前提和 小前提的基础上,说明一般原则和特殊情 况间的联系,平时大家早已能自发地使用 三段论来进行推理,学习三段论后我们要 主动地理解和掌握这一推理方法.

? 把下列演绎推理写成三段论的形式. ? (1) 在 一 个 标 准 大 气 压 下 , 水 的 沸 点 是 100℃,所以在一个标准大气压下把水加 热到100℃时,水会沸腾; ? (2)一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇 数,所以(2100+1)不能被2整除;

(3)∵三角函数都是周期函数,∴y=tanα 是周期函 数; (4)如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,那 么∠A+∠B=180° .

? [解析] (1)大前提:在一个标准大气压下, 水的沸点是100℃, ? 小前提:在一个标准大气压下把水加热到 100℃, ? 结论:水会沸腾.

? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)大前提:一切奇数都不能被2整除, 小前提:2100+1是奇数, 结论:2100+1不能被2整除. (3)大前提:三角函数都是周期函数, 小前提:y=tanα是三角函数, 结论:y=tanα是周期函数. (4)大前提:两条直线平行,同旁内角互补, 小前提:∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角, 结论:∠A+∠B=180°.

? ? ? ? ? ? ?

[例3] 指出下面推理中的错误. (1)因为自然数是整数, 大前提 而-6是整数, 小前提 所以-6是自然数. 结论 (2)因为中国的大学分布于中国各地, 大前提 而北京大学是中国的大学, 小前提 所以北京大学分布于中国各地. 结论

? [分析] 要判定推理是否正确,主要从三个方面:(1)大 前提是否正确;(2)小前提是否正确;(3)推理形式是否正 确,只有当上面3条都正确时,结论才正确. ? [解析] (1)推理形式错误,M是“自然数”,P是“整 数”,S是“-6”,故按规则“-6”应是自然数(M)(此 时它是错误的小前提),推理形式不对,所得结论是错误 的. ? (2)这个推理错误的原因是大、小前提中的“中国的大学” 未保持同一,它在大前提中表示中国的各所大学,而在 小前提中表示中国的一所大学.

? [点评] 三段论的论断基础是这样一个原理: “凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯 定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”,简 言之,“全体概括个体”.M,P,S三个概念之 间的包含关系表现为:如果概念P包含了概念M, 则必包含了M中的任一概念S(如图甲);如果概 念P排斥概念M,则必排斥M中的任一概念S(如 图乙).

四、数学运用 M S

例1完成下面的推理过程 一条抛物线 .” “二次函数y=x2 + x + 1的图象是 试将其恢复成完整的三段论.
解:
大前提 小前提 ∵二次函数的图象是一条抛物线, 函数y = x2 + x + 1是二次函数, ∴函数y = x2 + x + 1的图象是一 条抛物线.

P





例6. 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E 是垂足.求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:(1)∵有一个内角是只直 大前提 角的三角形是直角三角形, 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o 小前提 ∴△ABD是直角三角形. 结论 A 同理△ABE是直角三角形
C
E D

M

B

(2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提 M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线. 小前提
1 ∴DM= 2 AB. 1 同理 EM= 2 AB.

结论

∴DM = EM.

练1 分析下列推理是否正确,说明为什么?
大前提错误 (1)自然数是整数, 3是自然数, 3是整数. (2)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数. (4)自然数是整数, -3是整数, -3是自然数. 推理形式错误

(3)自然数是整数, -3是自然数, -3是整数. 小前提错误

例3 证明函数 f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.
证明:满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2,有 大前提 f(x1) < f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
任取x1 , x2 ? ( ??,1), 且x1 ? x2 ,
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? x1 ? 2 x1 ) ? ( ? x2 ? 2 x2 )

? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2)
? x1 ? x2 , 所以x2 ? x1 ? 0; ? x1 , x2 ? 1, 所以x2 ? x1 ? 2 ? 0. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

小前提

∴函数f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.

结论

合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理

区 别

推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的 推理 形式 别到一般的推理 推理 推理 结论 结论不一定正确,有待进一 步证明

在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的

思考题:
已知lg2=m,计算lg0.8 解(1) a lg
n

lg 8 ? lg 2

? n lg a

(a>0)

3

大前提 小前提 结论

lg8=3lg2 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0) lg0.8=lg(8/10) lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1

大前提
小前提 结论

五、回顾小结:
1、 演绎推理概念; 演绎推理的一般模式——三段论. 2、 合情推理与演绎推理的区别与联系.

3、演绎推理错误的主要原因是: ①、大前提不成立;②、小前提不符合大前提的 条件;③推理形式错误
4、演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重 要思维过程.但数学结论、证明思路等的发 现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜想.

作业:
1.课本35页A组7;


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