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《优化探究》2015年高三数学(理科)二轮复习课件:专题三 三角函数与平面向量 1-3-2


高考专题复习 · 数学(理)
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第二讲

三角变换与解三角形(客观题题型)

热点一 三角变换与求值 [命题方向] 1.给角求值问题.2.给值求值问题.

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1. n is 1 A. 8

π 5π ? 65π? · sin · sin?- ?=( 18 18 ? 18 ? 1 B. 16 1 D.- 8

)
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1 C.- 16

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π 5π ? 65π? 解析: sin · sin · sin?- ?= sin 10° · sin 50° · sin 70° = cos 20° · cos 18 18 ? 18 ? 40° · cos 80° sin 20° · cos 20° · cos 40° · cos 80° = sin 20° 1 sin 40° · cos 40° · cos 80° 2 = sin 20° 1 sin 80° · cos 80° 4 = sin 20° 1 1 sin 160° sin 20° 8 8 1 = = = . sin 20° sin 20° 8
答案:A
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1+sin β ? π? ? π? ? ? ? ? 2. (2014 年新课标卷Ⅰ)设 α∈ 0, , β∈ 0, , 且 tan α= , 2? 2? cos β ? ? 则( ) π A.3α-β= 2 π C.3α+β= 2 π B.2α-β= 2 π D.2α+β= 2

山 sin α 1+ sin β 解析: 由条件得 = , 即 sin αcos β= cos α(1+ sin β), sin(α 东 cos α cos β 金 ?π ? π π π π π 太 - β)=cos α= sin? - α?,因为- < α- β< ,0< -α< ,所以 α- β= 阳 2 2 2 2 2 书 ?2 ? 业 π 有 - α,所以 2α- β= ,故选 B. 2 限 公 答案:B 司
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?π ? 1 ?2π ? ? ? ? 3.若 sin -α = ,则 cos +2α?=( ?6 ? 3 ?3 ?

)

7 A.- 9 2 C.- 9

7 B. 9 2 D. 9

山 ?π ?π ?? 1 东 ?π ? 1 ?π ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 解析:∵ sin -α = ,∴ sin 2- 3+ α = ,∴ cos +α = ,∴ 金 ? ? ?? 3 ?6 ? 3 ?3 ? 3 太 阳 ?2π ? ? 1 7 2?π cos? +2α?=2cos ? + α?-1=2× -1=- ,选 A. 书 9 9 ?3 ? ?3 ? 业 有 答案:A 限 公 司
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1.求解三角函数中的给值求值问题时,要注意两点:一是分析已
知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角;二是正确 地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表

示.
2.求解三角函数中的给值求角问题时,还是要通过已知求这个角 的某种三角函数值,根据三角函数值并结合角的取值范围,即可求出

角的大小.

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热点二 利用正、余弦定理解三角形

[命题方向]
1.利用正、余弦定理解三角形.2.三角形面积问题.3.正、余弦定理 的应用. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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1. 2 0 1 4 (

年 新 课 标 卷 )

Ⅱ)钝 角 三 角 形

A B C

的 面 积 是

1 ,AB=1,BC= 2
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2,则 AC=( A.5 C.2

B. 5 D.1

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1 1 解析:由题意可得 S= AB· BC· sin B= ,又 AB= 1,BC= 2,所以 2 2 sin B= 2 ,所以 B=45° 或 B=135° .当 B=45° 时,由余弦定理可得 AC= 2

AB2+BC2-2AB· BC· cos B=1,此时 AC=AB=1,BC= 2,易得 A=
山 90° ,与“钝角三角形”条件矛盾,舍去.所以 B=135° .由余弦定理可得 东 金 2 2 AC= AB +BC -2AB· BC· cos B= 5. 太 阳 书 答案:B 业 有 限 公 司
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2.(2014 年江西高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 2sin2B-sin2A a,b,c.若 3a=2b,则 的值为( sin2A 1 A. 9 C.1 1 B. 3 7 D. 2
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)

a b sin B b 解析:∵ = ,∴ = . sin A sin B sin A a b 3 sin B 3 ∵3a=2b,∴ = .∴ = . a 2 sin A 2 2sin2B- sin2A ?sin B?2 ?3? 2 9 7 ? -1=2×? ? - 1= -1= . ∴ =2? sin2A 2 2 ?sin A? ? 2?
答案:D
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3.设锐角△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的边长分别为 a、b、c, 且 a=1,B=2A,则 b 的取值范围为( A.( 2, 3) C.( 2,2) B.(1, 3) D.(0,2) )

解析: ∵B= 2A,∴ sin B= sin 2A,∴ sin B=2sin Acos A,∴b=2acos π A,又∵a=1,∴b=2cos A,∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A< ,0<B 山 2 东 金 π π π π π π π < ,0<C< ,即 0<A< ,0<2A< ,0<π-A-2A< ,∴ <A< , 太 2 2 2 2 2 6 4 阳 书 2 3 业 ∴ <cos A< ,∴ 2<2cos A< 3,∴b∈( 2, 3). 有 2 2 限 公 答案:A 司
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解三角形的一般方法

(1)已知两角和一边,如已知A、B和c,由A+B+C=π,求C,由
正弦定理求a、b. (2)已知两边和这两边的夹角,如已知 a、b和C,应先用余弦定理

求c,再用正弦定理求较短边所对的角,然后利用 A+ B+C=π,求另
一角. (3)已知两边和其中一边的对角,如已知 a、b和A,应先用正弦定

理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解
可能有多种情况. (4)已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.

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热点三 解三角形与实际问题
[命题方向] 1.利用正、余弦定理解决高度、距离问题.2.利用正、余弦定理解 决角度问题. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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1. 2 0 1 4 ( C的 俯 角 分 别 为 等 于 _ _ m .

年 四 川 高 考

)如 图 , 从 气 球

A上 测 得 正 前 方 的 河 流 的 两 岩 m 4 6 , 则 河 流 的 宽 度

B, BC 约

6 7 ° ,3 0 ° , 此 时 气 球 的 高 是

(用 四 舍 五 入 法 将 结 果 精 确 到 个 位 . 参 考 数 据 : 67° ≈ 3 9 0 . , 3 7 ° n is
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n 6 7 ° is ≈ 8 0 0 . , 3≈ 7 3 )1 .

≈ 9 2 0 .

,o c s

≈ 6 0 0 .

, 3 7 ° o c s

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解析:过 A 作 BC 边上的高 AD,D 为垂足.在 Rt△ACD 中,AC= AC 92 92, 在△ABC 中, 由正弦定理, 得 BC= ×sin∠BAC= ×sin sin 67° sin∠ABC 92 37° ≈ ×0.60=60(m). 0.92
答案:60 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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2.(2014年新课标卷Ⅰ)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山
的山顶 C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的 仰角∠ CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C点测得∠MCA=60°.已知

山高BC=100 m,则山高MN=________m.
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解析:根据图示,AC=100 2m. 在△ MAC 中,∠CMA=180° -75° -60° =45° . AC AM 由正弦定理得 = ?AM=100 3m. sin 45° sin 60° MN 在△AMN 中, = sin 60° , AM ∴ MN=100 3×
答案:150 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

3 =150(m). 2

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1.根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出.

2.将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正
弦定理、余弦定理等有关知识正确求解. 3.检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

确答案.

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函数与方程思想——解三角形实际应用问题 1.应用类型 (1)与测量有关的山高、距离、方位角问题. (2)实际应用设计问题. 2.解题方法 通过模型准备、假设建立、求解的思想,结合函数思想或方程思 想求解. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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[典例]

(2014年连云港一模)如图,港口A在港口O正东的120 n mile处,小
岛B在港口 O的北偏东 60°的方向上,且在港口A的北偏西 30°的方向 上.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 30°的 OD 方向以 20 n

mile/h的速度驶离港口O.一艘给养快艇从港口A沿AB方向以60 n mile/h
的速度驶向小岛B,在B岛装运补给物资后以相同的航速送往科学考察 船.已知两船同时出发,补给物资装船时间为1 h.给养快艇驶离港口

A后,能和科学考察船相遇的最少时间为________h.

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[解析] 由题意知,在△OAB 中,OA=120,∠AOB=30° ,∠OAB =60° ,所以 AB=60,而快艇的速度为 60 n mile/h,所以快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间为 1 h.为使航行的时间最少,快艇从小岛 B 驶离 后必须按直线方向航行. 如图, 设快艇驶离小岛 B 后 t h 恰与科学考察船 在 C 处相遇, 在△OAB 中,计算可得 OB=60 3.在△OCB 中,BC=60t, OC=20(2+t),∠BOC=30° ,由余弦定理 得 BC2=OB2+OC2-2OB· OC· cos∠BOC, 即 (60t)2= (60 3)2 + [20(2+ t)]2- 2×60 3 ×20(2+t)× 3 ,即 8t2+5t-13=0,解得 2
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13 t=1 或 t=- (舍去). 故 t+2=3, 即给养 8 快艇驶离港口 A 后,最少经过 3 h 能和科学考察船相遇.
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[答案] 3 [注意事项] 应用三角函数结合正、余弦定理建立模型后,根据函数与方程思 想进行求解时注意有关的参数范围. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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甲 船 在 岛 同 时 乙 船 自 岛

A的 正 南 A出 发 以

B处 , 以 k m 6 h /

k m h 4 /

的 速 度 向 正 北 航 行 ,

AB=k m 1 0



的 速 度 向 北 偏 东 ( 15 B. h 7 D. h 1 5 2 . )

6 0 ° 的 方 向 驶 去 , 当 甲 、
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乙 两 船 相 距 最 近 时 , 它 们 所 航 行 的 时 间 为 1 5 0 A. m n i 7 C. m n 5 i2 1 .

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解析:如图,设 t h 后甲行驶到 D 处,则 AD =10-4t,乙行驶到 C 处,则 AC=6t.∵∠BAC= 120° ,∴DC2=AD2+AC2-2AD· AC· cos 120° = (10 -4t)2+ (6t)2-2×(10-4t)×6t×cos 120° =28t2- 20t+100.当 t= 5 时,DC2 最小,DC 最小,此时 14
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5 150 它们所航行的时间为 ×60= min. 14 7
答案:A

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课时跟踪训练
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