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2.3.4抛物线与过焦点的弦


复习
例题1 例题2 例题3 练习1、2 练习3 练习4、5

复习:

1、抛物线的定义是什么? 平面内与定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹 y l MF ? MN N K o
M

x
F

2、抛物线标准方程的四种形式,以 y ? 2 px ( p ? 0 ) ? p ? 准线方程 x ? ? p 为例,焦点坐标 ? , 0 ? 2 ? 2 ?
2

(一)弦长与焦点坐标之间的关系
6

如图:抛物线的焦点在 x 轴上: y 由数形结合和抛物线定义可知
AF ? BF ? AA ? BB
' '
A1

4

A

?x A , y A ?

? AB ? x A ?

p 2

? xB ?

p 2

2

? AB ? x A ? x B ? p
B1

O

F

x

5

B
-2

?xB , yB ?

若焦点在

y 轴上,则
-4

AB ? y A ? y B ? p

例1:长为10的弦经过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )
2

的焦点弦交抛物线于 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 如果
6

x1 ? x 2 ? 8 则抛物线的方程是

y ? 4x
2
4

A1 A

( x1 , y 1 )

2

O

F

5

B1
-2

B

( x2 , y2 )

-4

返回

例2:过抛物线 y ? 4 x 的焦点,且斜率为1的直线被
2

抛物线所截得的弦长为多少?

返回

练习1 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A ( x A , y A ), B ( x B , y B ) 且 x A ? x B ? 6 , 则 AB ? C
2

A、4 练习2
2

B、6

C、8

D、12
6 4

(思考题)将上题中的抛物线改为
A1

y
A

y ? ? 4 x , x A ? x B ? ? 6 答案如何?
AB ?

(xA, yA )

8

2

O

F

x

5

B1
-2

B

( xB , yB )

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练习3

过抛物线 x 2 ? 6 y 的焦点作直线交抛物线于

A、B两点,且A、B两点的纵坐标 y 1 ,

y2
10

恰好是方程

y ? 7 y ? 5 ? 0 的两根,则弦长 AB
2

?

(二)弦长与弦的中点到准线距离之间的关系
如图,由梯形中位线定理和抛物线定义可知
'

y

MM

?
'

AA ? BB
'

'

?

AF ? BF 2

2 ? MM ? 1 2 AB

A

'

A
'

M

M

O

F

x

B

'

B

此关系式与抛物线焦点位置有关吗
无关

例3:定长为6的弦经过抛物线 y

2

? 4x

的焦点 则

一直线 l:方程为 x ? ? 2 ,记弦的中点为 M ,

M 到直线 l 的距离是

y

M

O

F

x

x ? ?2

练习4

以任一过抛物线焦点的弦为直径作圆,则 ) D、三者都有可能

这个圆与抛物线准线之间的关系是( A、相离 练习5 B、 相切 C、相交

定长为12的线段,端点在抛物线

y ? 8x
2

上,当线段经过抛物线焦点时,其中点到 y 轴的距离是多少

作业
1、过抛物线 y ? 4 x 焦点作直线交抛物线于点 A ( x1 , y1 ) 与 B ( x 2 , y 2 ),若 x1 ? x 2 ? 6 则
2

AB 中点 M
A、5 2、抛物线 y
2

到准线距离为( B、4



? 4 ax ( a ?

C、3 D、2 0 ) 过焦点的弦 PQ

且 PQ 的倾斜角为 ? ,求证

S ? OPQ ?

2a

2

sin ?

3、定长为3的线段 AB 的两个端点在抛物线 y

2

? x

上移动,记线段的中点为 M ,求点 M 到 y 轴的最短距离

4、(思考题)设抛物线C: ? 2 px ( p ? 0 ) 有两动点 y
2

A、B(A、B不垂直于 x 轴)F为焦点,且 AF ? BF ? 8 又线段AB的垂直平分线恒过点 Q ( 6 , 0 ) 求抛物线C的方程


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关于抛物线焦点弦的弦长公式补充

现将改动陈 述于下: (3)已知:抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A ,B 两点,且弦 AB 与抛物线的对称轴的夹角...
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