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《优化探究》2015年高三数学(理科)二轮复习课件:专题三 三角函数与平面向量 1-3-1


高考专题复习 · 数学(理)
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专题三 三角函数与平面向量
第一讲 三角函数的图象与性质(客观题题型)
热点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[命题方向] 1.通过三角函数的图象及性质考查函数图象的变换.2.由图象求解 析式及应用. 山

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1. 2 0 1 4 ( 将 函 数

年 浙 江 高 考

)为 了 得 到 函 数 )

y= 3 n is

x+ 3 o s c

x的 图 象 , 可 以

y= 2c 3 o s

x的 图 象 ( π 个 单 位 4 π 个 单 位 4 π 个 单 位 12 π 个 单 位 12

A. 向 右 平 移 B. 向 左 平 移 C. 向 右 平 移 D. 向 左 平 移

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? π? ? π? 解析: 因为 y= sin 3x+ cos 3x= 2cos?3x- ?= 2cos3?x- ?所以将 4? 12? ? ?

π ? π? ? 函数 y= 2cos 3x 的图象向右平移 个单位后,可得到 y= 2cos 3x- ? 12 4? ? 的图象,故选 C.
答案:C 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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2.2 0 1 4 (

年 武 汉 调 研

? π π? )函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,- <φ< ?的部 2 2? ?

分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是( π A.2,- 6 π B.2,- 3 π C.4,- 6 π D.4, 3

)

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3 π 5π 3π 2π ?π? π 解析:由题知 T= + = ,又 T= ,∴ ω=2,又 f? ?=1,- 4 3 12 4 ω 2 ?3? π π <φ< ,∴φ=- . 2 6
答案:A 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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3.2 0 1 4 (

年 江 苏 高 考

)已 知 函 数

y=o s c

x 与 y= 2 n (is

x+φ 0 () ≤φ<π),

π 它们的图象有一个横坐标为 的交点,则 φ 的值是________. 3

解 析 : 由 题 意 可 得 两 个 函 数 图 象 有 一 个 交 点 坐 标 是
?2π ? 1 π sin? +φ?= ,又 0≤φ<π,解得 φ= . 6 ?3 ? 2

?π 1? ? , ? ,所以 ? 3 2?

π 答案: 6

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1.在利用图象求三角函数y=Asin(ωx+φ)的有关参数时,注意直
接从图中观察振幅、周期,即可求出A、ω,然后根据图象过某一特殊 点来求 φ,若是利用零点值来求,则要注意是 ωx+ φ= kπ(k∈Z),根据

点在单调区间上的关系来确定一个k的值,此时要利用数形结合,否则
就易步入命题人所设置的陷阱. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

2.作三角函数图象左右平移变换时,平移的单位数是指单个变量 x 的变化量,因此由 y= sin ωx(ω>0)的图象得到 y= sin(ωx+φ)的图象 |φ| 时,应将图象上所有点向左(φ> 0)或向右(φ<0)平移 个单位,而非 |φ| ω 个单位.

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热点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 [命题方向] 1.三角函数的最小正周期的求法.2.三角函数的奇偶性、对称性问 题.3.三角函数周期性、奇偶性、对称性的应用. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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? π? 1.(2014 年陕西高考)函数 f(x)=cos?2x- ?的最小正周期是( 6? ?

)

π A. 2 C.2π

B.π D.4π
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2π 解析:∵T= =π,∴B 正确. 2
答案:B

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π 2.若当 x= 时,函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数 y 4
?3π ? =f? -x?是( ?4 ?

)

?π ? A.奇函数且图象关于点? ,0?对称 ?2 ?

B.偶函数且图象关于点(π,0)对称 π C.奇函数且图象关于直线 x= 对称 2
?π ? ? D.偶函数且图象关于点 ,0?对称 ?2 ?

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π π 解析:由已知可知 + φ=2kπ- ,k∈ Z, 4 2 3 即 φ=2kπ- π, k∈ Z, 4
?3 ? 又 y=f? π- x? ?4 ? ?3 3 ? ? =Asin π- x+2kπ- π? 4 ? ?4

=-Asin x,
?3 ? π ∴ y=f? π- x?是奇函数且关于 x= 对称,故选 C. 2 ?4 ?

答案:C

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3.已知函数 f(x)=2sin x( 3cos x-sin x)+1,若 f(x-φ)为偶函数, 则 φ 可以为( π A. 2 π C. 4 ) π B. 3 D. π 6
2

? π? 解析:f(x)= 3sin 2x-2sin x+1= 3sin 2x+ cos 2x=2sin?2x+ ?, 6? ? 山 ? π? π π ? ? 则 f(x- φ)=2sin 2x-2φ+ ,∵f(x-φ)为偶函数,∴-2φ+ =kπ+ , 金 6? 6 2 ? 太

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k∈ Z, kπ π π ∴φ=- - , k∈ Z,结合各选项可知,φ 可以为 ,故选 B. 2 6 3
答案:B
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1.函 数 y=A n (is π (k∈ Z)时 为 偶 函 数 . 2 2. 函 数 y=A n (is

ωx+ φ),当 φ=kπ(k∈ Z)时 为 奇 函 数 , 当

φ= kπ+

ωx+φ),

π 令 ωx+φ= kπ+ , 可 求 得 对 称 轴 方 程 . 2 令 ωx+φ= kπ(k∈ Z), 可 求 得 对 称 中 心 的 横 坐 标 . 3. 三 角 函 数 周 期 性 的 求 法 求 三 角 函 数 的 周 期 , 一 般 是 先 化 原 函 数 为 A( o s c ωx+ φ))的 形 式 (A、ω、φ 为 常 数 , y=A n (is ωx+φ)(或 y= T
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A≠0, ω≠0), 其 最 小 正 周 期 π T= . |ω|

2π = .应 特 别 注 意 |ω|
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y= |Asin(ωx+ φ)|的 周 期 为
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热点三 三角函数单调性、最值及应用

[命题方向]
1.三角函数的单调区间的求值问题.2.三角函数的最值问题.3.三角 函数性质的综合应用. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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1. 已 知

f(x)=a 2 n is

x+b 2o c s

x, 其 中

? ? π? ? a,b∈R,ab≠0.若 f(x)≤?f?6?? ? ? ??

?π? 对一切 x∈R 恒成立,且 f? ?>0,则 f(x)的单调递增区间是( ? 2? ? π π? A.?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) 3 6? ? ? π 2π? B.?kπ+ ,kπ+ ?(k∈ Z) 6 3? ? ? π? C.?kπ,kπ+ ?(k∈ Z) 2? ? ? π ? D.?kπ- ,kπ?(k∈Z) 2 ? ?
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)
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b 解析:f(x)=asin 2x+bcos 2x= a +b sin(2x+ φ),其中 tan φ= .∵ a
2 2

? ? π?? π π π f(x)≤?f?6??,∴ x= 是函数 f(x)的图象的一条对称轴,即 + φ= +kπ( k 6 3 2 ? ? ?? ?π? 5π ? 5π? 2 2 ? ? ? ∈ Z),又 f >0,∴φ 的取值可以是- ,∴f(x)= a +b sin 2x- ?, 山 6 6? ? 2? ?

π 5π π π 2π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈ Z)得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈ Z),故选 B. 2 6 2 6 3
答案:B

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2.(2014年新课标卷Ⅱ)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最

大值为________.
解析: f(x) = sin[(x + φ) + φ] - 2sin φcos(x + φ) = sin(x + φ)cos φ - 2cos(x+φ)sin φ=sin(x+φ-φ)=sin x,因为x∈R,所以f(x)的最大值为

1.
答案:1

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?π π? 3.(2014 年全国大纲卷)若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间? , ?是 ?6 2?

减函数,则 a 的取值范围是________.
? a? 解析:f(x)= cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x=-2?sin x- ?2+ 1+ 4? ?

a ?π π? 1 a 1 ,∵当 x∈? , ?时, < sin x<1 且 f(x)为减函数,∴ ≤ ,∴a≤2. 8 2 4 2 ?6 2 ?
答案:(-∞,2]

2

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求 解 函 数

y=A n (is

ωx+φ)的性质问题的三种意识

(1)转化意识:利用三角恒等变换将所求函数转化为 f(x)=Asin(ωx +φ)的形式. (2)整体意识: 类比于 y= sin x 的性质, 只需将 y=Asin(ωx+φ)中的 “ωx+ φ”看成 y= sin x 中的 “x”,采用整体代入求解. π ①令 ωx+φ= kπ+ (k∈ Z),可求得对称轴方程. 2 ②令 ωx+φ= kπ(k∈ Z),可求得对称中心的横坐标. ③将 ωx+ φ 看作整体,可求得 y=Asin(ωx+ φ)的单调区间,注意 ω 的符号. (3)讨论意识:当 A 为参数时,求最值应分情况讨论 A>0,A<0.
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数形结合思想——解决三角函数图象与性质问题

1.应用类型
(1)含参数的方程解的个数问题. (2)与平面向量结合考查综合应用.

(3)特殊函数的周期问题.
2.解题方法 根据方程的特征构造相应的函数,画出函数的图象,通过图象的

交点确定方程解的个数及参数范围或研究相应的函数的性质.

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[典 例 ] 已 知 函 数
? π? ? f(x)= n is 2ωx+ ?的 相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 3? ?

π , 将 函 4 2

数 f(x)的 图 象 向 右 平 移 倍 , 得 到 g(x)的 图 象 , 若 (

π 个 单 位 后 , 再 将 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 8
? π? g(x)+k=0 在 x∈?0, ?有 且 只 有 一 个 实 数 根 , 2? ?

则k的 取 值 范 围 是 1 A.k≤ 2

) 1 B.-1≤k<- 2 1 1 D.- <k≤ 或 k=-1 2 2

1 1 C. - < k≤ 2 2

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[解 析 ] 因 为 f(x)相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 图 象 可 知 T π = . 2 4
? π? ? ω=2,f(x)= n is 4x+ ?. 3? ?

π , 结 合 三 角 函 数 的 4

2π π 又 T= = , 所 以 2ω ω 将 f(x)的 图 象 向 右 平 移

π 个 单 位 得 到 8 标 伸 长 为 原 来

? ? π? π? ? π? ? ? ? ? ? 4 x - + f(x)= n is n is 4x- ?, 再 将 所 有 点 的 横 坐 8? 3?= 6? ? ? ?

的2倍 得 到 所 以 方 程 为

? π? g(x)= n is ?2x- ?. 6? ? ? π? ? n is 2x- ?+ k=0. 6? ?

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π ? π? π 5π ? ? 令 2x- =t,因为 x∈ 0, ,所以- ≤t≤ . 6 2? 6 6 ?
? π? ? 若 g(x)+ k=0 在 x∈ 0, ?有且只有一个实数根, 2? ? ? π 5π? 即 g(t)= sin t 与 y=-k 在?- , ?有且只有一个交点. ? 6 6?

如图所示,由正弦函数的图象可知
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1 1 1 1 - ≤- k< 或-k=1,即- <k≤ 或 k=-1. 2 2 2 2
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[答案] D

[注意事项]
在求解时应灵活结合三角函数的图象对上述问题进行合理的分析, 并要注意的是作图务必准确. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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2 0 1 4 (

年 大 庆 模 拟

)如 图 为 函 数

f(x)= 3s n (i

ωx +φ)(ω>0)的 部 分 图 )

象,B、C 分 别 为 图 象 的 最 高 点 和 最 低 点 , 若 π A. 3 π C. 6 π B. 4 π D. 12

→· → =|AB → |2,则 ω=( AB BC

山 东 金 2 → → → → → → → 解析:由题意可知 |BC|= 2|AB|,由AB· BC= |AB| 知- |AB|· |BC|cos∠ 太 阳 → |2,∠ABC=120° → |=3,T 书 ABC= |AB ,过 B 作 BD 垂直于 x 轴于 D,则 |AD 业 有 2π π =12, ω= = ,故选 C. 限 T 6 公 司 答案:C
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课时跟踪训练
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