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2.3.1 离散型随机变量的均值


2.3.1 离散型随机 变量的均值
数学期望

复习
? 什么叫做n次独立重复实验? ? 设X表示n次实验中A事件发生的次数,它 满足什么分布?分布列如何表示?
k P( X ? k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k

? 如果X满足二项分布,则 记为:X~B (n,p)

算术

平均数
? 如果你期中考试各门成绩为: 90、80、77、68、85、91 那你的平均成绩是多少?

x1 ? x2 ? ... ? xn x? n

加权平均数
? 你的期中数学考试成绩为70,平时 表现成绩为60,学校规定:在你学 分记录表中,该学期的数学成绩中 考试成绩占70%、平时成绩占30%, 你最终的数学成绩为多少?

x ? a1 x1 ? a2 x2 ? ... ? an xn a1 ? ... ? an ? 1

加权平均数
? 权:称棰,权衡轻重的数值;

? 加权平均:计算若干数量的平均数 时,考虑到每个数量在总量中所具 有的重要性不同,分别给予不同的 权数。

练习
? 某商场要将单价分别为18元/kg、24 元/kg、36元/kg的3种糖果按3:2:1 定价为 18+24+36 的比例混合销售,如何对混合糖果定 ? 26 3 价才合理?
可以吗?

3 2 1 x ? 18 ? ? 24 ? ? 36 ? ? 23 6 6 6
假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 糖果所属种类的单价(元 kg ),你能写出X的分布列吗?

假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 如果你买了1kg这种混合 糖果所属种类的单价(元 ),你能写出X的分布列吗? kg 糖果,你要付多少钱?

而你买的糖果的实际价值 解:随机变量X 可取值为18, 和36 24 刚好是23元吗? 1 1

1 而P( X ? 18) ? , P( X ? 24) ? , P( 样本平均值 X ? 36) ? 2 3 6 所以X分布列为
x p 18 1/2 24 1/3 36
随机变量均值 1/6 (概率意义下的均值)

18×1/2+24×1/3+36×1/6

=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

你能解释在该问题中权数代表的实际 含义吗?
? 将按3:2:1混合的糖果看作总体; ? 任取的1kg糖果看作一个样本; ? 样本中的每个糖果看成一个个体;

? 设样本中含有n个个体,则其中各种价钱的糖果 1 1 1 大约各占: 2 3 6 ? 在样本中任取一颗糖果,权数代表该糖果是哪
个价位的概率。

分布列
? 现在混合糖果中任取一个,它的实际 价格用X表示,X的取值分别为: 18 24 36 X

1 合理价格=18× 2

1 2

1 3

1 6

1 1 +36× +24× 6 3 =18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

代表X的平均取值

数学期望
若离散型随机变量X的分布列为:

X P
则称:

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn

EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
为随机变量X的均值或数学期望。 ?它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

例1
? 在篮球比赛中,如果某运动员罚球命中 的概率为0.7,那么他罚球一次得分设 为X,X的均值是多少? X
p

0
0.3

1
0.7

解:该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3 所以:EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7

ξ p

1 p

0 1-p

如果随机变量X服从两点分布,

那么

EX= p

例2、

某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

4

5

6

7

8 9

10

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

求n次射击的平均环数。
如果这次射击中射击所得奖金与环数ξ的关系为 η=2ξ+1,试求随机变量η的期望。

?

9

11

13

15

17 19

21

P

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

期望的线性性质
? 若X是一个随机变量,则 Y=aX+b 仍然是一个随机变量,其中a、b是常数。 ? EY=E(aX+b)=aEX+b

探究
? 如果我们只关心他是否打中10环, 则在他5次射击中,打中10环的次数 设为X,则求X的均值。

如果X服从二项分布,则EX=?
P( X ? k ) ? C p q
k n k n ?k

kC ? nC
k n

k ?1 n ?1

0 1 n EX ? 0 ? Cn p 0 q n ? 1? Cn pq n ?1 ? ... ? n ? Cn p n q 0 1 2 n ? 1? Cn pq n ?1 ? 2 ? Cn p 2 q n ? 2 ? ... ? n ? Cn p n q 0

? np

若X~B (n,p),则 EX= n p

例2
? 一次单元测验由20个选择题构成,每个选 择题有4个选项,其中仅有一个选项是正 确的。每题选对得5分,不选或选错不得 分,满分100分。学生甲选对任意一题的 概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都 从各选项中随机地选出一个,分别求学生 甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。

解:设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数 它们都满足二项分布: X1~B(20,0.9) 所以:EX1= n p =20×0.9=18 EX2= n p =20×0.25=5 甲所得分数的均值为:18×5=90 乙所得分数的均值为: 5×5=25 X2~B(20,0.25)

X

x1

x2



x20

P
Y P

p1
5x1 p1

p2
5x2 p2


… …

p20
5x20 p20

解:设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数

则Y1=5X1

Y2=5X2

所以:EY1=E(5X1)=5EX1=90 EY2=E(5X2)=5EX2=25

思考
甲同学一定会得90分吗? 90表示随机变量X的均值; 具体考试甲所得成绩是样本实际平均值;

? 随机变量的均值

样本的平均值?

? 例如取糖果问题,将每次取出的糖果价格 定为样本,每次取糖果时样本会有变化, 样本的平均值也会跟着变化;而随机变量 的均值是常数。

数学期望小结
? ? ? ? ?
1. 2.

EX表示X所表示的随机变量的均值; E(aX+b)=aEX+b 两点分布:EX= p 二项分布:EX= n p 求数学期望时:
已知是两点分布或二项分布,直接代用公式; 其它分布的随机变量,先画出分布列,在对应求值。

作业
? 课本64页练习2、3、4、5; ? 69页B组第1题。


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