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3.3.1利用导数判断函数的单调性一(张)


3.3.1利用导数判断函数的单调性

复习
函数的单调性: 对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1 <x2时,都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x) 就是区间I上的增函数.

对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1< x2时,都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)就 是区间I上的减函数.

用函数的导数判断函数单调性的法则:

1.如果在区间(a,b)内,f ’(x)>0,则f(x) 在此区间是增函数,(a,b)为f(x)的单调增 区间; 2.如果在区间(a,b)内,f ’(x)<0,则f(x) 在此区间是减函数,(a,b)为f(x)的单调减 区间;

如果函数y=f(x)在x的某个开区间内,总 有f ’(x)>0,则f(x)在这个区间上是增函数; 如果函数y=f(x)在x的某个开区间内,总 有f ’(x)<0,则f(x)在这个区间上是减函数。
y

x O

例1.如图,设有圆C和定点O, 当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速 旋转(旋转角度不超过90°)时, 它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t的函数,它的图象大致是 下列四种情况中的哪一种?

解:由于是匀速旋转,阴影部分的面积S(t) 开始和最后时段缓慢增加,中间时段S增 速快, 图A表示S的增速是常数,与实际不符, 图A应否定; 图B表示最后时段S的增速快,也与实际 不符,图B也应否定; 图C表示开始时段与最后时段S的增速快, 也与实际不符,图C也应否定; 图D表示开始与结束时段,S的增速慢, 中间的时段增速快,符合实际,应选D。

水以恒速(即单位时间内注入水的体 积相同 ) 注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找 出与各容器对应的高度h与时间t的函数关系图象.

?1?
h h

?2?

?3?
h h

?4?

o

?A ?

t

o

?B ?

t

o

?C ?

t

o

?D?

t

例2.确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间 内是增函数,哪个区间内是减函数. 解:f ’(x)=(x2-2x+4)’=2x-2. 令2x-2>0,解得x>1. ∴当x∈(1,+∞)时,f ’(x)>0, f(x)是增函数.
令2x-2<0,解得x<1. ∴当x∈(-∞,1)时,f ’(x)<0, f(x)是减函数.

例3.找出函数f(x)=x3-4x2+x-1的单调区间。
解:f ’(x)=3x2-8x+1, 令3x2-8x+1>0,解此不等式得
4 ? 13 x? 3
4 ? 13 或 x? 3
4 ? 13 4 ? 13 (??, )和( , ? ?) 3 3

因此,区间

为f(x)的单调增区间;

令3x2-8x+1<0,解此不等式得
4 ? 13 4 ? 13 ?x? 3 3
4 ? 13 4 ? 13 因此,区间 ( , ) 为f(x)的单调 3 3

减区间。

1 例4.证明函数f(x)= 在(0,+∞)上是减 x 函数. 1 1 证明:∵f ’(x)=( )’=(-1)·-2=- 2 , x x x

∵ x>0,∴x2>0, 1 ∴- 2 <0. 即f ’(x)<0, x 1 ∴f(x)= 在(0,+∞)上是减函数. x

例5.求函数y=x2(1-x)3的单调区间. 解:y’=[x2(1-x)3]’

=2x(1-x)3+x2· 3(1-x)2· (-1)
=x(1-x)2[2(1-x)-3x] =x(1-x)2· (2-5x)
2(2-5x)>0,解得0<x< 2 令x(1-x)

2 ∴ y=x2(1-x)3的单调增区间是(0, ) 5

5

.

令x(1-x)2(2-5x)<0,
2 解得x<0或x> 且x≠1. 5

∵ x=1为拐点,
∴ y=x2(1-x)3的单调减区间是
2 (-∞,0),( ,+∞) 5

已知导数f ' ?x ?的下列信息 : 当1 ? x ? 4时, f ' ?x ? ? 0; 当x ? 4, 或x ? 1时, f ' ?x ? ? 0; 当x ? 4, 或x ? 1时, f ?x ? ? 0.
'

y

解 当1 ? x ? 4时, f ?x ? ? 0,可 知f ?x ?在此区间内单调递增; ' 当x ? 4, 或x ? 1时, f ?x ? ? 0,可知f ?x ?在这两个区间 内单调递减 ; 当x ? 4, 或x ? 1时, f ' ?x ? ? 0, 这两点比较特殊, 我们 称它们为" 临界点". 综上,函数f ?x ?图象的大致形状如图1.3 ? 4所示.
'

试画出函数f ?x ?图象的大致形状.

O

1

4

x

图1.3 ? 4

练习题 1.函数y=3x-x3的单调增区间是( C )

(A) (0,+∞)
(C) (-1,1)

(B) (-∞,-1)
(D) (1,+∞)

2 2.设f(x)=x+ (x<0),则f(x)的单调增区 x 间是( C )

(A) (-∞,-2)
(B) (-2,0)

(C) (-∞,- 2)
(D) (- 2 ,0)

3.函数y=xlnx在区间(0,1)上是( C )
(A)单调增函数 (B)单调减函数 (C) 在(0, 是增函数
1 e

)上是减函数,在(

1 e

, 1)上
1 e

(D) 在(
是增函数

1 e

, 1)上是减函数,在(0,

)上

4.函数y=x2(x+3)的减区间是 (-2,0) , 增区间是 (-∞,-2)及(0,+∞) 5.函数f(x)=cos2x的单调区间是 .

(kπ, kπ+

?

), k∈Z 2

.

6.函数y= 2x ? x2 的单调增区间是

(0,1) 上是增函数。

.

? 7.证明:函数f(x)=ln(cosx)在区间(- , 0) 2 1 证明:f ’(x)= (cosx)’=-tanx. cos x ? 当x∈(- 2 , 0)时, -tanx>0, 即f ’(x)>0, ? ∴函数f(x)=ln(cosx)在区间(- , 0)上是 2

增函数。

1 8.当x>1时,证明不等式:2 x ? 3 ? x 1 证明:设f(x)= 2 x ? 3 ?
x

显然,f(x)在[1,∞)上连续,且f(1)=0.
1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) f ’(x)= x x 1 x x x ∵ x>1, ∴ 1 ? >0,于是f ’(x)>0. x x

故f(x)是[1,+∞)上的增函数,应有: 当x>1时,f(x)>f(1)=0, 1 2 即当x>1时, x ? 3 ? x


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