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[名校联盟]江苏省盐城中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学(理)试题教师卷


高二年级数学试题(理工方向) (2012.4)
命题人:丁振华 杨 生涛 试卷说明:本场考试 120 分钟。 一、填空题(共 14 题,每题 5 分,共 70 分)
2 1、函数 f ( x) ? ?2?x ? 的导数 f ? ? x ? =___ 8? x _______
2

审题人:徐文 陈健

2、 (

x ? 2 y ) 展开式中各项的系数和为_____81_____
4

[来源:学_科_网]

3、由 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成 无重复数字的五位数中,小于 50000 的数有__96__个 4、将 x ? 2012 输入如图所示的程序框图得结果_2013__

5、比较大小 7 ? 6 ?

8 ? 5 ,分析其结构,请你再写出一个

不等式,使以上不等式为它的特殊情况。若 0 ? a ? b ? c ? d , 且 a ? d ? c ? b 则该不等式可以是

b? c ? a? d



6、如图,把 1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目 的点可以排成一个正三角形,则第 七个三角形数是_28____ 开始

i=1,m=0,s=0

i?5


否 输出 s 结束

4 7、一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输 出的结果为__ _. 5
3 2

i=i+1

8、设函数 f ( x ) ? x ? 15 x ? 33 x ? 6 的单调减区间为__ (?1,11) 开闭都可以__ m=m+1 9、三张卡片的正反面上分别写有数字 0 与 2,3 与 4,5 与 6,把这 三张卡片拼在 一起表示一个三位数,则三位数 的个数为__40___ 10、若 A ( x,5 ? x,2 x ? 1) ,B (1, x ? 2,2 ? x) ,当 A B 取 最小值时, s=s+1/(m×i)
第 7 题图

?

x 的值等于_

8 _____ 7

11、

?

x?3 x

?

12

展开式中有理项共有____3____ 项.

12、如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 A1 B1 的中点,则异面直线 A1C 与 AE 所成角的余弦值是__

15 15

13、设 A ? B ? {1,2,3,4,5},3 ? A ? B, ,则符合条件的 ( A, B) 共有_81___组( A, B 顺序不同视为不 同组) 14 、 设 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 , 且 满 足 f ( x) ? xf ( x) ? 0 . 则 不 等 式
'

f ( x ? 1) ? x ? 1 f ( x 2 ? 1) 的解集为
二、解答题 (共 6 题,共 80 分)

[1,2]



15 、 (12 分 )已知向量 a ? (?4,2,4), b ? (?6,3,?2) (1)求 | a | ; (2)求 a与b 夹角的余弦值.

16、 (12 分)用 1 到 5 的五个数字组成没有重复的五位数,试问: ①能组成多少个没有重复数字的五位数? ②上述五位数中三个奇数排在一起的有几个? ③偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?

17、 (13 分)设函数 f ( x ) ? ?

1 2 x ? ln x, x ? [1, e] 8

(Ⅰ)求 f (x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f (x ) 的值域.

18、 (13 分)若 (6 x ?

1
6

x

) n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列 .

(1)求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项,为什么? 18、 (13 分) (1) 2C n ? C n ? C n
2 1 3

化简可得 n ? 7
7?2 r 6

(2)无常数项, Tr ?1 ? C x
r n

其中

7 ? 2r ? 0 时 r ? 3.5 ? Z ,故不存在 6

19、 (15 分)底面 ABCD 为矩形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 , 侧棱 PA ? 底面 ABCD , E 为 PD 的中点 (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离
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P

E

D

C

O
A

B

19、 (1)建立直角坐标系

1 B( 3, 0, 0) 、 C ( 3,1, 0) 、 D(0,1,0) 、 P(0,0, 2) 、 E (0, ,1) , 2
从而 AC ? ( 3 ,1,0), PB ? ( 3 ,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 ? ,则 cos? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 14

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(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为 ( x, 0, z ) ,则

1 NE ? (? x, ,1 ? z ) ,由 NE ? 面 PAC 可得, 2
? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0. ? 1 ? ? z ? 1 ? 0, ?(? x, 2 ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? ? 即? 化简得? 1 ?(? x, 1 ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ?? 3 x ? 2 ? 0. ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (

3 3 ,0,1) ,从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 1, 6 6

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20、 (15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? (b ? a) x ( a , b 不同时为零的常数) ,导函数为 f ?( x) .
3 2

1 (1)当 a ? 时,若存在 x ? [?3 , ? 1] 使得 f ?( x) ? 0 成立,求 的取值范围; b 3

(2)求证:函数 y ? f ?( x) 在 (?1, 0) 内至少有一个零点; (3)若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 , 关于 x 的方程

1 f ( x) ? ? t 在 [?1, t ] (t ? ?1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围. 4 1 1 1 2 2 2 解: (1)当 a ? 时, f ?( x) = x ? 2bx ? b ? = ( x ? b) ? b ? b ? ,其对称轴为直线 x ? ?b , 3 3 3
??b ? ?2, ??b ? ?2, 26 26 ,解得 b ? ,当 ? , b 无解,所以 b 的的取值范围为 (?? , ) .4 分 15 15 ? f ?(?3) ? 0 ? f ?(?1) ? 0
2

当?

(2)因为 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? (b ? a) , 法一:当 a ? 0 时, x ? ?

1 适合题意………………………………………6 分 2 b b b 2 2 当 a ? 0 时, 3x ? 2 x ? ( ? 1) ? 0 ,令 t ? ,则 3x ? 2tx ? (t ? 1) ? 0 , a a a 1 1 2 令 h( x) ? 3x ? 2tx ? (t ? 1) ,因为 h(? ) ? ? ? 0 , 2 4
1 当 t ? 1时, h(0) ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在 (? ,0) 内有零点. 2

当 t ? 1 时, h(?1) ? 2 ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在( ? 1,? ) 内有零点. 因此,当 a ? 0 时, y ? h( x) 在 (?1, 0) 内至少有一个零点. 综上可知,函数 y ? f ?( x) 在 (?1, 0) 内至少有一个零点.……………………10 分

1 2

法二: f ?(0) ? b ? a , f ?(?1) ? 2a ? b , f ?(? 1 ) ? b ? 2a . 3 3 由于 a , b 不同时为零,所以 f ?(? ) ? f ?(?1) ? 0 ,故结论成立. (3)因为 f ( x) = ax ? bx ? (b ? a) x 为奇函数,所以 b ? 0 , 所以 f ( x) ? ax ? ax ,
3 2

1 3

3

又 f ( x) 在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,所以 a ? 1 ,即 f ( x) ? x ? x .
3

因为 f ?( x) ? 3( x ?

3 3 )( x ? ) 3 3

所以 f ( x) 在 (??, ?

3 3 3 3 ) , ( , ??) 上是増函数,在 [? , ] 3 3 3 3

上是减函数,由 f ( x) ? 0 解得 x ? ?1, x ? 0 ,如图所示,

当 ?1 ? t ? ?

3 3 3 1 t 3 ?t?? 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,即 t ? t ? ? ,解得 ? ; 3 2 3 4 4

当?

3 3 1 ? t ? 0 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,解得 ? ?t ?0; 3 3 4

当 t ? 0 时,显然不成立; 当0 ? t ?

3 3 1 t 3 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,即 t ? t ? ? ,解得 0 ? t ? ; 3 3 4 4

当t ?

3 3 3 1 ?t ? 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,故 . 3 3 2 4 3 3 ? t ? 0 或0 ? t ? . 2 2

所以所求 t 的取值范围是 ?

y

-1

O

1

x


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