当前位置:首页 >> 高三数学 >> 2016届高考数学大一轮总复习(人教A版,理科) 第二章 函数与基本初等函数I 第3讲 函数的奇偶性与周期性

2016届高考数学大一轮总复习(人教A版,理科) 第二章 函数与基本初等函数I 第3讲 函数的奇偶性与周期性


第 3 讲函数的奇偶性与周期性
一、选择题 1.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则

f(-1)等于(
A.3 解析

). D.-3

B.1 C.-1

由 f(-0)=-f(0),即 f(0)=0.则 b=-1,<

br />
f(x)=2x+2x-1,f(-1)=-f(1)=-3.
答案 D ).

2. 已知定义在 R 上的奇函数, f(x)满足 f(x+2)=-f(x), 则 f(6)的值为 ( A.-1 解析 B.0 C.1 D.2

(构造法)构造函数 f(x)=sin

π ?π x+2? ? x, 则有 f(x+2)=sin? 2 ? ?=-sin 2 ? ?

π π x=-f(x),所以 f(x)=sin x 是一个满足条件的函数,所以 f(6)=sin 3π 2 2 =0,故选 B. 答案 B

3.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则下 列不等式一定成立的是 2π? ? 2π? ? A.f?cos 3 ?>f?sin 3 ? ? ? ? ? π? ? π? ? C.f?sin 6?<f?cos 6? ? ? ? ? 解析 B.f(sin 1)<f(cos 1) D.f(cos 2)>f(sin 2) ( ).

当 x∈[-1,1]时,x+4∈[3,5],由 f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|

=2-|x|, 2π 1 显然当 x∈[-1,0]时,f(x)为增函数;当 x∈[0,1]时,f(x)为减函数,cos 3 =-2, 2π? ? 2π? 2π 3 1 ? 1? ?1? ? 3? ? sin 3 = 2 >2,又 f?-2?=f?2?>f? ?,所以 f?cos 3 ?>f?sin 3 ?. ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? 答案 A

-1-

-x ?1-2 ,x≥0, 4.已知函数 f(x)=? x 则该函数是 ?2 -1,x<0,

(

).

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增 解析

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减

当 x>0 时,f(-x)=2-x-1=-f(x);当 x<0 时,f(-x)=1-2-(-x)=1-2x

=-f(x).当 x=0 时,f(0)=0,故 f(x)为奇函数,且 f(x)=1-2-x 在[0,+∞)上 为增函数,f(x)=2x-1 在(-∞,0)上为增函数,又 x≥0 时 1-2-x≥0,x<0 时 2x-1<0,故 f(x)为 R 上的增函数. 答案 C

5.已知 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的周期函数,当 x∈[0,1)时,f(x)=4x-1, 则 f(-5.5)的值为( A.2 B.-1 )

1 C.- D.1 2

解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1. 答案 D ( ).

?1,x为有理数, 6.设函数 D(x)=? 则下列结论错误的是 ?0,x为无理数, A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数 解析 B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数

显然 D(x)不单调,且 D(x)的值域为{0,1},因此选项 A、D 正确.若 x 是

无理数,-x,x+1 是无理数;若 x 是有理数,-x,x+1 也是有理数.∴D(- x)=D(x),D(x+1)=D(x).则 D(x)是偶函数,D(x)为周期函数,B 正确,C 错误. 答案 C

二、填空题 7.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 由题意知,函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则 f(1)=f(-1),∴1-|1+a|

=1-|-1+a|,∴a=0. 答案 0

8.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. 解析 因为 y=f(x)+x2 是奇函数,且 x=1 时,y=2,所以当 x=-1 时,y=-
-2-

2,即 f(-1)+(-1)2=-2,得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-1. 答案 -1

9.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图 所示,则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

解析

由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对

称,由 y=f(x)在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图 象知,使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5).

答案

(-2,0)∪(2,5)

?x+1? ?的所有 x 10.设 f(x)是偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(2x)=f? ?x+4? 之和为________. ?x+1? ?, 解析∵f(x)是偶函数,f(2x)=f? ?x+4? ??x+1?? ??, ∴f(|2x|)=f?? ??x+4?? 又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数, ?x+1? ?, ∴|2x|=? ?x+4? 即 2x=

x+1 x+1 或 2x=- , x+4 x+4

整理得 2x2+7x-1=0 或 2x2+9x+1=0, 设方程 2x2+7x-1=0 的两根为 x1,x2,方程 2x2+9x+1=0 的两根为 x3,x4.

-3-

7 ? 9? 则(x1+x2)+(x3+x4)=- +?- ?=-8. 2 ? 2? 答案-8 三、解答题 11.已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 x,y,f(x)都满足 f(xy)= yf(x)+xf(y). (1)求 f(1),f(-1)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 解 (1)因为对定义域内任意 x,y,f(x)满足 f(xy)=yf(x)+xf(y),所以令 x=y=1,

得 f(1)=0,令 x=y=-1,得 f(-1)=0. (2)令 y=-1,有 f(-x)=-f(x)+xf(-1),代入 f(-1)=0 得 f(-x)=-f(x),所 以 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 12.已知函数 f(x)对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时,f(x) <0,f(1)=-2. (1)求证 f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明 令 x=y=0,知 f(0)=0;再令 y=-x,

则 f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以 f(x)为奇函数. (2)解 任取 x1<x2, 则 x2-x1>0, 所以 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-

x1)=f(x2)-f(x1)<0,所以 f(x)为减函数.而 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)
=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6. 所以 f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6. 13.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称,当 x ∈[0,1]时,f(x)=2 -1, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. 解析(1)证明 函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图象关于
x

x=1 对称,则 f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-

-4-

f(2+x)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数.
(2)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 又 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2]. (3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1
又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 14.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)=2x,求使 f(x)=-2在[0,2 014]上的 所有 x 的个数. (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 (2)解 当 0≤x≤1 时,f(x)=2x, 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1, 1 1 ∴f(-x)=2(-x)=-2x. ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 1 1 ∴-f(x)=-2x,即 f(x)=2x. 1 故 f(x)= x(-1≤x≤1). 2 又设 1<x<3,则-1<x-2<1, 1 ∴f(x-2)=2(x-2). 又∵f(x)是以 4 为周期的周期函数 1 ∴f(x-2)=f(x+2)=-f(x),∴-f(x)=2(x-2),

-5-

1 ∴f(x)=-2(x-2)(1<x<3). 1 ? ?2x,-1≤x≤1, ∴f(x)=? 1 - ? ? 2?x-2?,1<x<3. 1 由 f(x)=-2,解得 x=-1. ∵f(x)是以 4 为周期的周期函数, 1 ∴f(x)=- 的所有 x=4n-1(n∈Z). 2 1 2 015 令 0≤4n-1≤2 014,则4≤n≤ 4 . 又∵n∈Z,∴1≤n≤503(n∈Z), 1 ∴在[0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x)=-2.

-6-


更多相关文档:

2016届高考数学大一轮总复习(人教A版,理科) 第二章 函...

2016届高考数学大一轮总复习(人教A版,理科) 第二章 函数与基本初等函数I第2讲 函数的单调性与最值_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 2 讲函数的单调性与...

2016届高考数学大一轮总复习(人教A版,理科) 第二章 函...

2016届高考数学大一轮总复习(人教A版,理科) 第二章 函数与基本初等函数I第5讲 对数与对数函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 5 讲对数与对数函数一、...

...A版(理)复习测试题:第二章 函数与基本初等函数I第7...

2016高考数学人教A版()复习测试题:第二章 函数与基本初等函数I第7讲 函数图象_数学_高中教育_教育专区。第 7 讲 函数图象 一、选择题 1.函数 y=|x|与 ...

...理)复习测试题:第二章 函数与基本初等函数I第3讲 函...

2016高考数学人教A版()复习测试题:第二章 函数与基本初等函数I第3讲 函数的奇偶性与周期性_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 函数的奇偶性与周期性 一、...

...A版(理)复习测试题:第二章 函数与基本初等函数I第6...

2016高考数学人教A版()复习测试题:第二章 函数与基本初等函数I第6讲 幂函数与二次函数_数学_高中教育_教育专区。第 6 讲 幂函数与二次函数 一、选择题 1...

...一轮复习导练测:第二章 函数与基本初等函数I第9讲 ...

人教A版()数学轮复习导练测:第二章 函数与基本初等函数I第9讲 函数的应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 9 讲 函数的应用一、选择题 1.在我国...

...一轮复习导练测:第二章 函数与基本初等函数I第4讲 ...

人教A版()数学轮复习导练测:第二章 函数与基本初等函数I第4讲 指数与指数函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 4 讲 指数与指数函数一、选择题 1...

2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.3...

2018版高考数学轮复习第二章函数与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性理...(x + a) =- f(x) ,则 f(x) 是周期为 2a(a>0) 的周期 数.( ...

2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.7...

2018版高考数学轮复习第二章函数与基本初等函数I...y=logax(a>0 且 a≠1). (3)伸缩变换 ①y=f...(-x)=-f(x),即函数 f(x)为奇 数,故选 ...

...数学 (理科)一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第...

2016届 数学 (理科)轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。第2讲 函数的单调性与最值基础巩固题组 (建议...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com