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正余弦定理的应用


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第2讲

正弦定理、余弦定理的综合应用

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一、正、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理

内容

变 形 形 式

①a= , b= , cosA = c= ; ②sinA= , B= sin

, sinC= ; cosB= (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c= ④asinB=bsinA,bsinC=csinB, cosC= asinC=csinA.





.

①已知两角和任一边,求另一角和 ①已知三边,求各角; 其他两条边; 解决的问题 ②已知两边和它们的夹角, ②已知两边和其中一边的对角,求 求第三边和其他两个角. 另一边和其他两角.

二、三角形常用面积公式

1 1.S= a·ha(ha 表示边 a 上的高); 2
1

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1 2.S= absin C= 2





1 3.S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径 2

考点陪练
1 . ( 教 材 习 题 改 编 ) 在 △ ABC 中 , A = 60° , a = 4 3 , b = 4 2 , 则 B = ( ) A.45°或 135° B.135° C.45° D.60°

2.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于 A.30° B.45° C.60°

(

) D.75°

3 在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45°,则此三角形有 ( ) A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定

4.(2011·北京高考)在△ABC 中,若 b=5,B=

π 1 ,sin A= ,则 a=________. 4 3

5.(2011·新课标全国卷)△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积 为________.

2

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名师讲解· 练思维
考点一:利用正弦、余弦定理解三角形 [例 1] (2011·辽宁高考)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

asin Asin B+bcos2A= 2a.
(1)求 ; (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. 变式 11.本例条件不变,求角 A. 变式 2.(2012·长沙模拟)在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知

b a

A= ,a= 3,b=1,则 c 等于 (
A.1 B.2

π 3

) C. 3-1 D. 3

(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可 用余弦定理,应注意用哪一个 定理更方便、简捷. (2)已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的; 已知两边和一边的对 角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进 行判断. 考点二:利用正余弦定理判断三角形的形状 [例 2] (2010·辽宁高考)在△ABC 中 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.

变式 3.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,若 一定是 ( )
3

cos A a = ,则△ABC cos B b

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A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

B.直角三角形 D.等边三角形

依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法 1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出 边的相应关系,从而判断三角形的形状; 2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函 数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+ B+C=π 这个结论. 注意:在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公 因式,以免漏解. 考点三:与三角形面积有关的问题 [例 3] (2009 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足
cos A 2 5 ? , AB ? AC ? 3 . 2 5
(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

(I)求 ?ABC 的面积;

1.利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化; 2.除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有 ①S= p?

p-a? ? p-b? ? p-c? =p·r(p 是周长的一半,即 p=

a+b+c
2



r 为内切圆半径);
②S=

abc (R 为外接圆半径). 4R

4

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考题范例 (2011·浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin A 1 +sin C=psin B(p∈R),且 ac= b2. 4 5 (1)当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值;(2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 4 解:(1)由题设并利用正弦定理,得

?a+c=5, ? 4 ? 1 ?ac=4, ?

?a=1, 解得? 1 c= , ? 4

?a=1, 或? 4 ?c=1.

(2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B 1 1 =p2b2- b2- b2cos B, 2 2 3 1 即 p2= + cos B, 2 2 ?3 ? 2 因为 0<cos B<1,得 p ∈? ,2?. ?2 ? 由题设知 p>0,所以 [规律] 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角 也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或 角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两 解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三 边和其他两角;(2)已知三边,求各角. 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 6 <p< 2. 2 (12)

5

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正弦定理和余弦定理

题组一

正、余弦定理的简单应用

1.(2009· 广东高考)已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.若 a=c= 6 + ( A.2 C.4-2 3 ) B.4+2 3 D. 6- 2 2 , 且 ∠A = 75° , 则 b =

2.(2009· 湖南高考)在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则 AC 的取值范围为________.

AC 的值等于________, cosA

3.(2009· 全国卷Ⅰ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.已知 a2-c2 =2b,且 sinAcosC=3cosAsinC,求 b.

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题组二

利用正、余弦定理判断三角形的形状

A c-b 4.在△ABC 中,sin2 = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对应边),则△ABC 的形状 2 2c 为 ( ) A.正三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰三角形

5. 在△ABC 中, 已知 2sinAcosB=sinC, 那么△ABC 一定是 A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.正三角形

(

)

题组三

三角形面积公式的应用 3 , AC = 1 , B = π , 则 △ABC 的 面 积 等 于 6

6. 在 △ABC 中 , AB = ( ) A. C. 3 2 3 或 3 2

B. D.

3 4 3 3 或 2 4

7.在△ABC 中,面积 S=a2-(b-c)2,则 cosA= 8 A. 17 13 C. 15 15 B. 17 13 D. 17

(

)

π 4 8.(2009· 北京高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B= ,cosA= , 3 5 b= 3. (1)求 sinC 的值;

7

学数学,磨脑壳!要学好,靠拼搏!有思法,苦也乐! (2)求△ABC 的面积.

题组四

正、余弦定理的综合应用 3+1 ,则三角形的最大 2 为 )

9.在三角形 ABC 中,已知∠B=60° ,最大边与最小边的比为 角 (

A.60° C.90°

B.75° D.115°

10.(2010· 长沙模拟)已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=4, C=60° △ABC=8 3,则边长 c=______. ,S

11. 已知 a, c 为△ABC 的三个内角 A, C 的对边, b, B, 向量 m=( 3, -1), n=(cosA, sinA),若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B=________.

π π b 12.(2010· 长郡模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, <C< 且 3 2 a-b = sin2C , sinA-sin2C

(1)判断△ABC 的形状; (2)若| BA ? BC |=2,求 BA ? BC 的取值范围.

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8


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