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必修2——4.1.1圆的标准方程


4.1.1《圆的标准方程》

温故而知新 1、若已知C(3,-8),D(x,y), 它们之间的距离为d, 则这条等式该如何表示呢?
CD ? ( x ? 3) ? ( y ? 8) ? d
2 2

2、具有什么性质的点的轨迹称为圆?
答:平面内与一定点距离等于定长的点的轨 迹称为圆,定点是圆心,定长是半径。



我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两 点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直 线.在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?
y M

r
A O x

引入新课
当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了. 因此一个圆最基本要素是圆心和半径. 如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位 置用坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任 意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离.
y M (x, y)

r
A(a,b) O

x

圆的方程
符合上述条件的圆的集合是什么?你能用 描述法来表示这个集合吗?
符合上述条件的圆的集合:

p ? ?M || MA |? r?
y M (x, y) r A(a,b) O x

圆的方程
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能 用什么公式表示? 根据两点间距离公式:
P1 P2 ?

?x2

? x1 ? ? ? y 2 ? y 1 ? .
2 2

MA ? 则点M、A间的距离为:

? x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 .

即:

p ? ?M | MA |? r?

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

圆的标准方程
(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这 个方程的坐标的点都在圆上?

点M(x, y)在圆上,点M的坐标适合方程; 反之,若点M(x, y)的坐标适合方程,这就说明点 M 与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径 为r的圆上.
把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆 的方程,把它叫做圆的标准方程

特殊位置的圆方程

圆心在坐标原点,半径长为r 的圆的方程是 什么? 因为圆心是原点O(0, 0),将x=0,y=0和 半径 r 带入圆的标准方程:
(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

得: 整理得:

( x ? 0) ? ( y ? 0) ? r
2 2

2

x ? y ? r
2 2

2

练习
1. 写出下列各圆的方程 (1)圆心在原点,半径为3;

x ? y ?9
2 2

(2)圆心在C(3,4),半径为 5 ;
( x ? 3) ? ( y ? 4 ) ? 5
2 2

(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3);
( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 2 5
2 2

练习
2.根据圆的方程口答下列圆的圆 心和半径
(1) ( x ? 2 ) ? ( y ? 3) ? 5
2 2

C ( 2, 3), r ?
2 2

5
2

(2) ( x ? 2 ) ? y ? ( ? 2 )
C ( ? 2, 0 ), r ? 2

典型例题
例1 写出圆心为 A ( 2 , ? 3 ) ,半径长等于5的圆的 方程,并判断点 M 1 ( 5 , ? 7 ) , 2 ( ? 5 , ? 1) 是否在这 M 个圆上. 解:圆心是 A ( 2 , ? 3 ) ,半径长等于5的圆的标准 方程是:(x-2)? +(y+3)? =25 把 M 1 ( 5 , ? 7 ) 的坐标代入方程( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25
2 2

左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点
M
1

在这个圆上;

把点 M 2 ( ? 5 , ? 1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 的坐标不适合圆的方程,所以点 M 不 在这个圆上.
2 2

点与圆的位置关系

怎样判断点 M ( x , y ) 在圆 ( x ? a ) 内呢?还是在圆外呢?
0 0 0

2

? ( y ? b) ? r
2

2

可以看到:点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ; 点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r .
y

M3

o
M2 A M1

x

点M( ,)与圆(x-a)?+(y-b)?=r?的 判断方法:
( (1) x ? a ) ? ( y ? b ) ? r,点在圆内
2 2

2

0

0

( (2)x ? a ) ? ( y ? b )
2 0 0 2 0 0

2

?r,点在圆上
2 2

( (3) x ? a ) ? ( y ? b ) ? r,点在圆外
2

练习
已知圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 16 ,判断下列各点
2 2

在圆上、在圆外还是在圆内?

M(7,-2),N(3,-3),P(4,2)

典型例题
例2
? ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1),

B(7,-3),

C(2, -8),求它的外接圆的方程.
分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角 形有唯一的外接圆.
解:设所求圆的方程是 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 (1)

因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以它们的坐 标都满足方程(1).于是
? ( 5 ? a ) ? (1 ? b ) ? r ? 2 2 2 (7 ? a ) ? (? 3 ? b ) ? r ? 2 2 2 ? (2 ? a ) ? (?8 ? b) ? r ?
2 2 2

?a ? 2, ? ? b ? 3, ? 2 ? r ? 25 .
2 2

待定系 数法

所以,? ABC 的外接圆的方程 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25.

典型例题
例3. 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2),且圆心C 在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.

解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐标
( 3 2 ,? 1 2 ),

直线AB的斜率:

k AB ?
'

? 2 ?1 2 ?1

? ?3
1 2 1 3 3 2

因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是 即x ? 3y ? 3 ? 0

y ?

?

(x ?

)

圆心C的坐标是方程组 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 的解. ? ?x ? y ? 1 ? 0

典型例题
? x ? ? 3, 解此方程组,得 ? ? y ? ?2.

所以圆心C的坐标是 ( ? 3 , ? 2 ) 圆心为C的圆的半径长
r ? | AC |? (1 ? 3 ) ? (1 ? 2 ) ? 5
2 2

所以,圆心为C的圆的标准方程是
( x ? 3 ) ? ( y ? 2 ) ? 25
2 2

坐 标 法

知识小结
圆的基本要素

圆的标准方程
圆心在原点的 圆的标准方程

判断点与圆 的位置关系

练习 P120


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