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江西省南昌市第二中学2013-2014学年高三上学期第一次月考数学理试卷


南昌市第二中学 2013-2014 学年高三上学期第一次月考 数学(理)
一、选择题(每题 5 分,10 小题,共 50 分) 1. 已知集合 A={x|x<a}, B={x|x2-3x+2<0}且 A∪(CRB)=R,则实数 a 的取值范围是( A. a≤1 B. a<1 C.a≥2 D. a>2 2. 已知: f ( x) ? ? )

/>
?

2 x?2 ?tog 2 ( x ? 1)

( x ? 2) ( x ? 2)

则 f(f(5))等于(

)

A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 3. 下列函数中,即是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( ) 3 2 A. y=2x B. y=|x|+1 C. y=-x +4 D. y=2-|x| 4. 设偶函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x+3)=-

1 ,且当 x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则 f(107,5)=( f ( x)
C. -10 ) C. a<b<c D. b<a<c ) D. (0,+ ∞) ) D.2 D.-

)

A.10

B.

1 10

1 10

4 3 5 5.设 a= tog 5 ,b=( tog 5 )2,c= tog 4 ,则(

A. a<c<b

B. b<c<a

6. 已知 f(x)的定义域是(0,1),则 f[( A. (0,1) 7. 设 f ( x) ? A.± 1 8.已知 f ( x) ? ? B. (

1 x ) ]的定义域为( 3
C. (-∞,0)

1 ,1) 3

1 3 ax ? bx(a ? 0) ,若 f(3)=3f ′(x0),则 x0=( 3
B. ± 2 C. ± 3

?(3 ? a) x ? a ( x ? 1) 是(-∞,+∞)上的增函数,则 a 的取值范围是( x ( x ? 1) ? tog a
B. (1,3) C. [

).

A.(1,+∞)

3 ,3 ) 2

D. (1,

3 ) 2

x 9. 已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1)且当 x∈[-1,1]时, f(x)=x2, y=f(x)与 y ? tog 5 的图象的交 则

点个数为( A. 2

) B. 3 C. 4 D. 5

10. 设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 k,定义函数: f k ( x) ? ? 取函数 f(x)=2-x-e-x,若对任意的 x∈(-∞,+ ∞),恒有 fk(x)=f(x),则(
·1·

? f ( x) ( f ( x) ? k ) , ( f ( x) ? k ) ? k

)

A. k 的最大值为 2 C. k 的最大值为 1

B. k 的最小值为 2 D. k 的最小值为 1

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
2 11. 命题:“ ?x0 ? R ,x0≤1 或 x0 >4”的否定是________.

12. 函数 y ? tog 1

( x 2 ? 2 x ?8)

的单调递减区间是_______.

3

13. 关于 x 的方程 4x-k.2x+k+3=0,只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是_______. 14. 对于任意定义在区间 D 上的函数 f(x),若实数 x0∈D,满足 f(x0)=x0,则称 x0 为函数 f(x)在 D 上 的一个不动点,若 f(x)=2x+

1 +a 在区间(0,+∞)上没有不动点,则实数 a 取值范围是_______. x

15. 函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出四个命题: ①当 C=0 时,y=f(x)是奇函数; ②当 b=0,c>0 时方程 f(x)=0 只有一个实数根; ③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根. 上述命题中,所有正确命题的序号是________. 三、解答题(共 6 个大题,1 个附加题,共 75+10=85 分) 16.(12 分) 已知:全集 u=R,函数 f ( x) ? ① CuA; 求 ② A∪B=A,求实数 a 的范围. 若

1 ? lg(3 ? x) 的定义域为集合 A,集合 B={x|-2<x<a}. x?2

17. (12 分) 已知 f ( x) ? log 1
( x 2 ? mx ? m )

.

2

① 若函数 f(x)的值域为 R,求实数 m 的取值范围; ② 若函数 f(x)在区间(-∞,1- 3 )上是增函数,求实数 m 的取值范围.

18. (12 分) 已知命题 P:函数 f(x)=lg(x2 -4x+a2)的定义域为 R,命题 Q: ?m ? [?1,1] ,不等式 a2 - 5a-3≥ m ? 8 恒成立,若命题“p 或 Q”为真命题,且“P 且 Q”为假命题,求实数 a 的范围。
2

·2·

19.(12 分) 若 f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b) ,则称函数 f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数.

1 2 3 x -x+ 是[1,b]上的“四维光军”函数,求常数 b 的值; 2 2 1 ② 问是否存在常数 a,b(a>-2) ,使函数 h(x)= 是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在, x?2
① g(x)= 设 求出 a,b 的值,否则,请说明理由.

20. (13 分)仔细阅读下面问题的解法: - 设 A=[0,1],若不等式 21 x+a>0 在 A 上有解,求实数 a 的取值范围. - 解:令 f(x)=21 x+a,因为 f(x)>0 在 A 上有解。

? f ( x)在A上的最大值大于0, ? ? ? f ( x)最大值=f (0) 又 ? f ( x)在[0,1]上单调递减 ?
=2+a>0 ? a>-2 学习以上问题的解法,解决下面的问题,已知:函数 f(x)=x2+2x+3(-2≤x≤-1). ① f(x)的反函数 f-1(x)及反函数的定义域 A; 求 ② B= ? x | lg 设 21.(14 分) 已知二次函数 h(x)=ax2+bx+c(其中 c<3),其导函数 y ? ??( x) 的图象如图,f(x)=6lnx+h(x). ① f(x)在 x=3 处的切线斜率; 求 ② f(x)在区间(m,m+ 若

? ?

10 ? x ? ? lg(2 x ? a ? 5) ? ,若 A∩B≠ ? ,求实数 a 的取值范围. 10 ? x ?

1 )上是单调函数,求实数 m 的取值 2

范围; = f(x) 图 象

③ 若对任意 k∈ [-1,1], 函数 y=kx(x∈ (0,6])的图象总在函数 y 的上方,求 c 的取值范围.

22.(附加题 10 分)
·3·

已知幂函数 y ? x

m2 ? 2 m ?3

(m ? N ? ) 的图象与 x 轴,y 轴无交点且关于原点对称,又有函数 f(x)=x2

-alnx+m-2 在(1,2]上是增函数,g(x)=x- a x 在(0,1)上为减函数. ① a 的值; 求 ② 若

1 5 (n∈ +) N ,数列{bn},满足 ? 2 f ?( x) ? 2 x ? ? 1 ,数列{an}满足 a1=1,an+1=p(an), p( x) x

bn ?

1 an an ?1 3n , sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,求数列{an}的通项公式 an 和 sn. 2 3 ③ h( x) ? f ?( x) ? g ( x) ? 2 x ? ,试比较[h(x)]n+2 与 h(xn)+2n 的大小(n∈ +) 设 N ,并说明理由. x

高三数学(理)第一次考试参考解答
一、1-5 CBBBD 6-10 DCCCD 二、11. ?x ? R, x ? 1且x ? 4 ;
2

12. (4,+∞) ;

13. (-∞,-3)∪ {6}

14. a>-2

15. ①②③

三、16. CuA={x|x≤-2 或 x≥3},a≤3 . 17. ∵ f(x)值域为 R,令 g(x)=x2-mx-m,则 g(x)取遍所有的正数 ? △=m2+4m≥0 ? m≥0 或 m≤- 4.

m ? ? 1? 3 ? 2 由题意知 ? ?(1 ? 3) 2 ? m(1 ? 3) ? m ? 0 ?

? 2?2 3 ? m ? 2

18. a∈[-2,-1]∪(2,6)(见《各师伴你行》考案 2 T22) 19. 解:①由 g ( x) ?

1 ( x ? 1) 2 ? 1 知 g ( x)在[1, b], 且g (1) ? 1 . 2
·4·

∴[1,g(b)] ? [1, b] ? g (b) ? b ? b ? 3 ② 假设存在 a 与 b 使 h(x)是“四维光军”函数,则

?(a ? 2)b ? 1 h(b), h(a )] ? [a, b] ? ? ? (a ? 2)b ? (b ? 2)a ?(b ? 2)a ? 1

? a ? b 这与已知 a<b 产生矛盾. ∴不存在 a 与 b 使得 h(x)是“四维光军”函数.
y ? f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? y ? 2 ? 20. 解:① ? ? x ?1 ? ? y ? 2 ? ?2 ? x ? ?1 ? ?1 ? x ? 1 ? 0 ?

? x ? ?1 ? y ? 2即f ?1 ( x) ? ?1 ? x ? 2, x ? [2,3]
2x ? a ? 5 ? 0 10 ? x ②原不等式等价于 , ? 2 x ? a ? 5 ? 0 即 20 10 ? x ? 2x ? a ? 4 ? 0 1? ?x
因为 A∩B≠ ? ,所以不等式组在 A=[2,3]上有解,令 f ( x) ? 2 x ? a ? 5, g ( x) ? 易知 f(x)在 A\[2,3],g(x)在 A=[2,3]

20 ? 2x ? a ? 4 , 10 ? x

则?

? f ( x) max ? f (3) ? a ? 3 ? 0 ? a ? ?3 5 ? 5 5 ? ?3 ? a ? . 3 ? g ( x) max ? g (2) ? 3 ? a ? 0 ? a ? 3 ?

21. 解:①

? h( x) ? ax 2 ? bx ? c(c ? 3) ? h1 ( x) ? 2ax ? b ? ?, 又 ? h1 ( x)图象为直线,且过(0,8),(4,0)两点?

? 2a ? 2 ? a ? 1 ?? ? h( x) ? x 2 ? 8 x ? c ,故 f ( x) ? 6 ln x ? x 2 ? 8 x ? c , ? h1 ( x) ? 2 x ? 8 ,于是 ? ?b ? ?8 ?b ? ?8
? f ?( x) ? 6 ? 2 x ? 8 ? f ?(3) ? 0 x

∴f(x)在点(3,f(3) )处的切线斜率为 0. ②? f ?( x) ?

6 2( x ? 1)( x ? 3) 由 x ? 0令f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? 3 ,列表如下: ? 2x ? 8 ? x x
(0,1) 1 (1, 3)
·5·

x

3

(3,+∞)

f ?( x)
f(x)

+

0 极大值



0 极小值

+

所以 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞),f(x)的单调递减区间为(1,3). 要使 f(x)在(m,m+

1 1 5 )上是单调函数,m 的取值范围为: 0 ? m ? 或1 ? m ? 或m ? 3 . 2 2 2

③由题意知: kx ? f ( x)对k ? [?1,1]在x ? (0, 6] 恒成立

? kx ? 6 ln x ? x 2 ? 8 x ? c 在 x ? (0, 6] 恒成立.

6 ln x c ? x ? 8 ? 在x ? (0, 6], 恒成立 x x 6 ln x c 令 g ( x) ? ? x ? 8 ? , x ? (0, 6], 则k ? g ( x) max . x x ?k?

? g ?( x) ?

6(1 ? ln x) c 6 ? c ? x 2 ? 6 ln x ?1? 2 ? x2 x x2

6 2( x 2 ? 3) 令 则 ? ?( x) ? 2 x ? ? x x
? x ? (0, 3)时? ?( x) ? 0 ? ? ( x)在(0, 3) ? x ? ( 3, ??)时? ?() x ? 0 ? ? ( x)在( 3m ? ?) ? 又 ? c ? 3,?当x ? 3时,? ( x)最小=4( 3) ? 9 ? 3ln 3 ? c ?

6 ? 3ln 3 ? 3(2 ? ln 3) ? 0, 即? ( x)最小 ? 0
? x ? (0, 6]时,g ?( x) ? 0 ? g ( x)在(0, 6] ?
6 ln 6 c c ? ? 2 ? ln 6 ? ? 2 6 6 6 c ? k ? g ( x)最大=ln 6 ? ? 2在k ? [?1,1]恒成立 , 6 ? g ( x)最大 ? g (6) ?

c ? -1 ? ln 6 ? ? 2 ? ? 6 ? ? c ? 6 ? 6 ln 6 又? c ? 3 ? ?
22. 附加题: 解①由幂函数概念和条件知,m=2,
·6·

a? f ( x) ? x 2 ? a ln x, ? f ?( x) ? 2 x ? ? a ∴ x ? ? f ?( x) ? 2 x ? ? 0对(1, 2] 恒成立 ? a ? 2 x ? 又 ? f ( x)在(1, 2] ? ?

? a ? 又∵ ? 0对x ? (0,1)恒成立 , 2 x ? ? g ?( x) ? 1 ? 2 x 又 ? g ( x)在(0,1) ? ? ? g ?( x) ? 1 ? a
? a ? (2 x )最大值 ? a ? 2 ? ? ?? a ? 2 又? a ? 2 ? ?
②? p ( x) ?

a x 1 3 1 1 1 1 ? an ?1 ? n ? ? ? ? ? 3( ? ) x?3 an ? 3 an ?1 an ? 1 an ?1 2 an 2

? 1 1? 1 1 3 ? ? ? ? 等比数列且公比Q=3, 长项 ? ? a1 2 2 ? an 2 ?
? 1 1 3 n ?1 3 n ?1 2 ? ? Q ? ? 3 ? an ? n an 2 2 2 3 ?1

? bn ?

2.3n 1 1 ? n ? n ?1 n n ?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 3 ? 1 3 ? 1

? S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn
1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ?? ? ( n ? n ?1 ) ? ? n ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 2 3 ?1 3 3 1 ③? h( x) ? f ?( x) ? g ( x) ? 2 x ? ? ( x 2 ? 2 ln x)? ? x ? 2 x ? 2 x ? ? x ? x x x ?(
①当 n ? 2时,[ h( x)]n ? h( x n ) ? ( x ? ) n ? ( x n ?
0 = cn x n ?1 ? c1 x n ?1 n

1 x

1 ) xn

1 1 n 1 ? ? cn ( ) n ? ( x n ? n ) x x x 1 1 1 1 2 n = Cn x n ?1 ? Cn x n ? 2 ( ) 2 ? ? ? Cn ?1 x.( ) n ?1 x x x 1 1 2 3 n = Cn x n ? 2 ? Cn x n ? 4 ? Cn x n ?6 ? ? ? Cn ?1 x n ? 2 x 1 1 n ?1 1 1 2 n = [Cn ( x ? n ?1 ) ? Cn ( x n ? 4 ? n ? 4 ) ? ? ? Cn ?1 ( x n ? 2 )] 2 x x
·7·

1 2 3 n ? Cn ? Cn ? Cn ? ? Cn ?1 ? 2n ? 2

?[h( x)]n ? 2 ? h( x n ) ? 2n

·8·


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