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高考试题选-数列3


总题数:22 题

第 45 题(2006 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)上海卷)

题目

21.已知有穷数列 +2(

共有 2 =1,2,┅,2

项(整数

≥2) ,首项

=2.设该数列的前

和为

,且



-1) ,其中常数

>1.

(1)求证:数列

是等比数列;

(2)若 的通项公式;

,数列

满足





=1,2,┅,2

) ,求数列

(3)若(2)中的数列 求 的值.

满足不等式|



|+|



|+┅+|



|+|



|≤4,

答案

解: (1) )

,则

,两式相减,得

, (又

∴数列

是首项为

、公比为

的等比数列。

(2)







=1,2,┅,2

) 。

(3)由(2)知,数列

是首项为 、公差为

的等差数列。



,∴

时,



时,



∴|



|+|



|+┅+|



|+|



|



第 46 题(2006 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)辽宁卷(新课程))

题目

21.已知函数 f(x)=

,其中 a , b , c 是以 d 为公差的等差数列,且 a>0, d>0.



[1-

] 上,



处取得最大值, 在



将点

依次记为 A, B, C.

(I)求

(II)若⊿ABC 有一边平行于 x 轴,且面积为

,求 a ,d 的值

答案

本小题考查函数的导数,函数极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数列等基础知识的综合运用, 考查用数形结合的数学思想分析问题,解决问题的能力.

(Ⅰ)解:∵2b=a+c.

∴f′(x)=ax +2bx+c=ax +(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).

2

2

令 f′(x)=0,得 x=-1,或 x= -

∵a>0,d>0,

∴0<a<b<c,





<x<-1 时,f′(x)<0,

当 x>-1 时,f′(x)>0,

所以 f(x)在 x= -1 处取得极小值,即

x0= -1.

(Ⅱ)解法一:∵f′(x)=ax +2bx+c,a>0.

2

∴f′(x)的图象开口向上,对称轴方程是 x= -



>1,知

∴f′(x)在[1-

]上的最大值为 f′(0)=c,即

x1=0.

又由

>1,知-

∈[1-

] ,

∴当 x= -

时,f′(x)取得最小值 f′(-

)=-



x2=-

.

∵f(x0)=f(-1)= -

∴A(-1,-

),B(0,c),C(-

,-

).

由△ABC 有一条边平行于 x 轴,得 AC 平行于 x 轴,所以



a =3d .

2

2



又由△ABC 的面积为 2+

,得

利用 b=a+d,c=a+2d,得



联立①,②可得

d=3,a=3

.

解法二:∵f′(x)=ax +2bx+c,a>0,

2

f′(1-

)=0,f′(0)=c.

由 c>0 知 f′(x)在[1-

]上的最大值为 f′(0)=c.即

x1=0.



知-

∈[1-

].

∴当 x= -

时 f′(x)取得最小值 f′(-

)= -



∵f(x0)=f(-1)=-

∴A(-1,-

),B(0,c),C(-

,-

).

由△ABC 有一条边平行于 x 轴,得 AC 平行于 x 轴,所以

-

= -

,即

a =3d .

2

2



又由△ABC 的面积为 2+

,得

利用 b=a+d,c=a+2d,得



联立①,②可得

d=3,a=3

.

第 47 题(2006 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程))

题目

(22)已知数列

满足

(I)求数列

的通项公式;

(II) 若数列|bn|满足 是等差数列

,证明:

(Ⅲ)证明:

答案

本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能力。

(I)解: ∵

是以

为首项,2 为公比的等比数列。



(II)证法一:







②-①,得



③-④,得



是等差数列。

证法二:同证法一,得







下面用数学归纳法证明

(1)当

时,等式成立。

(2)假设当

时,

那么

这就是说,当

时,等式也成立。

根据(1)和(2) ,可知

对任何

都成立。



是等差数列。

(III)证明:∵



第 48 题(2006 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)安徽卷(新课程))

题目

(21)数列

的前 n 项和为 Sn,已知

,sn=n an-n(n-1),n=1,2…

2

(Ⅰ)写出 sn 与

的递推关系式(n

2),并求 sn 关于 n 的表达式:

(Ⅱ)设

求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

答案

本小题主要考查等差、等比数列的基本知识,考查分析问题和归纳推理能力。

(Ⅰ)解法 1:当

时,

,即



已知

,由递推关系式可得

由此,可猜想:



下面用数学归纳法证明②式:

证明: (i)当

时,由条件

,又②式的右边等于

,所以②式成立.

(ii)假设

时,②式成立,即

则当

时,

故当 n=k+1 时,②式也成立。

由(i)(ii)知,对一切正整数 n, ②式成立. ,

解法 2:当 n≥2 时,



于是

.

∴{

}是首项为 1、公差为 1 的等差数列。

因而

=1+(n-1)=n,故

.

(Ⅱ)解:∵







当 p=0 时,

=0;

当 p=1 时,



时,在③式两边同乘以 p,得到



③—④得



综上所述:

第 49 题(2006 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程))

题目

22.已知数列{an}满足:a1=

,且 an=

(n≥2,n∈N ).

*

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)证明:对一切正整数 n,不等式 a1?a2?…?an<2?n!恒成立.

答案

解:

(1)将条件变为:1-

因此,{1-

}为一个等比数列,

其首项为 1-

,公比为

,从而 1-



据此得 an=

(n≥1)

…………①

(2)证:据①得,a1,a2…an=

.

为证 a1a2…an<2?n!,

只要证 n∈N 时有

*



.

…………②

显然,左端每个因式皆为正数,先证明,对每个 n∈N*,

≥1-

.

…………③

用数学归纳法证明③式:

1°n=1 时,显然③式成立,

2°设 n=k 时,③式成立,



≥1-

,

则当 n=k+1 时,

≥[1-



=1-

-

≥1-

.

即当 n=k+1 时,③式也成立.

故对一切 n∈N ,③式都成立.

*

利用③得,

≥1-

=1-

=1-



.

故②式成立,从而结论得证.

第 50 题(2006 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)山东卷(新课程))

题目

22.

已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中 n=1,2,3,….

2

(Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;

(Ⅱ)设 Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项;

(Ⅲ)记 bn=

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn,并证明 Sn+

=1.

答案

解:(Ⅰ)由已知

an+1=a n+2an,

2

∴an+1+1=(an+1)

2

∵a1=2

∴an+1>1,两边取对数得:

lg(1+an+1)=2 lg(1+an),



∴{lg(1+an)}是公比为 2 的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

lg(1+an)=2 ?lg(1+a1)

n-1

=2 ?lg

n-1

3

=lg3

∴1+an=3

.

(*)

∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)

=3

?3

?3

?…?3

=

=3

由(*)式得 an=3

-1.

(Ⅲ)∵an+1=a n+2an

2

∴an+1=an(an+2)







bn=

∴bn=2(

)

∴Sn=b1+b2+…+bn

=2

=2(

)

∵an=3

-1,

a1=2,

an+1=3

-1

∴Sn=1-

又 Tn=

∴Sn+

第 51 题(2006 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)陕西卷(新课程))

题目

(20)已知正项数列 数列 的通项

,其前

项和

满足



成等比数列,求

答案

解:

∵10Sn=an +5an+6,

2



∴10a1=a1 +5a2+6,

2

解之得 a1=2 或 a1=3.

又 10Sn-1=an-1 +5an-2+6,(n≥2),

2



由①-②得

10an=(an -an-1 )+5(an-an-1),

2

2

即(an+an-1)(an-an-1-5)=0.

∵an+an-1>0,

∴an-an-1=5 (n≥2).

当 a1=3 时,a2=13,an=73,a1,a2,an 不成比数列,a1≠3.

当 a1=2 时,a2=12,an=72,有 a3 =a1a2,

2

∴a1=2,

∴an=5n-3.

第 52 题(2006 年普通高等学校春季招生考试数学(文理合卷)上海卷)

题目

22. 已知数列 al,a2…,a30,其中 al,a2…,a10 是首项为 1 公差为 1 的等差数列;

al0,a11…,a20 是公差为 d 的等差数列;a20,a21…,a30 是公差为 d 的等差数列(d≠0).

2

(1)若 a20=40,求 d;

(2)试写出 a30 关于 d 的关系式,并求 a30 的取值范围;

(3)续写己知数列,使得 a30,a31…,a40 是公差为 d 的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷 数列.提出同(2)类似的问题,[(2)应当作为特例],并进行研究,你能得到什么样的结论?

3

答案

22.

[解]

(1) al0=10,

a20=10+10d=40,

∴d=3

(2) a30= a20+10d=10(1+d+d ) (d≠0)

2

a30=10[(d+

)+

2

],

当 d∈(-∞, 0)∪(0, +∞)时, a30∈[

,+∞).

(3) 所给数列可推广为无穷数列{ an},其中 al,a2…,a10 是首项为 1 公差为 1 的等差数列,

当 n≥1 时, 数列 a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差为 d 的等差数列.

n

研究的问题可以是:试写出 a10(n+1)关于 d 的关系式,并求 a10(n+1)的取值范围

研究的结论可以是: 由 a40= a30+10d =10(1+d+d + d ),

3

2

3

依次类推可得

当 d>0 时, a10(n+1)的取值范围为(10, +∞)

第 53 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅰ(新课程))

题目

(19)设等比数列

的公比为

,前 n 项和



(Ⅰ)求

的取值范围;

(Ⅱ)设

,记

的前 n 项和为

,试比较



的大小。

答案

(19)解: (Ⅰ)因为{an}是等比数列,Sn>0,可得 a1=S1>0,q≠0.

=Sn(q+

)(q-2).

第 54 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅱ(新课程))

题目

(18)已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1、lga2、lga4 成等差数列,又 bn=

,n=1,2,3….

(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;

(Ⅱ)如果无穷等比数列{bn}各项的和 S=

,求数列{an}的首项 a1 和公差 d.

(注:无穷数列各项的和即当 n→∞时数列前 n 项和的极限)

答案

(18) (Ⅰ)证明:

∵lga1、lga2、lga4 成等差数列,

∴2lga2=lga1+lga4,即 a =a1?a4.

2

等差数列{an}的公差为 d,则

(a1+d) =a1(a1+3d),

2

这样 d =a1d.

2

从而 d(d-a1)=0.

(i)若 d=0,则{an}为常数列,相应{bn}也是常数列.

此时{bn}是首项为正数,公式为 1 的等比数列.

(ii)若 d=a1≠0,则

=a1+(2 -1)d=2 d,bn=

n

n

.

这时{bn}是首项 b1=

,公比为

的等比数列.

综上知,{bn}为等比数列.

(Ⅱ)解:

如果无穷等比数列{bn}的公比 q=1,则当 n→∞时其前 n 项和的极限不存在.

因而 d=a1≠0,这时公比 q=

,b1=

.

这样,{bn}的前 n 项和 Sn=



则 S=

S n=

=

.

由 S=

得公差 d=3,首项 a1=d=3.

第 55 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅲ(新课程))

题目

19、

中,内角

的对边分别是

,已知

成等比数列,且

(Ⅰ)求

的值

(Ⅱ)设

,求

的值。

答案

19.解: (Ⅰ)由





及正弦定理得

于是

=

(Ⅱ)由



,由

可得

,即

由余弦定理





第 56 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)全国卷Ⅲ(新课程))

题目

20、 在等差数列

中, 公差 }的通项







的等比中项, 已知数列

成等比数列,求数列{

答案

20.解:依题设得





,整理得









所以,由已知得

是等比数列



,所以数列

也是等比数列,首项为 1,公比为

,由此



等比数列{kn}的首项

,公比

,所以

即得到数列{ kn }的通项为

第 57 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)北京卷(新课程))

题目

答案

(19)解: (I)a2=a1+

=a+



a3=

a2=

a+



(II)∵ a4=a3+

=

a+

, 所以 a5=

a 4=

a+

,

所以 b1=a1-

=a-

≠0, b2=a3-

=

(a-

),

b3=a5-

=

(a-

),

猜想:{bn}是公比为

的等比数列?

证明如下:

因为 bn+1=a2n+1-

=

a2n-

=

(a2n-1+

)-

=

(a2n-1-

)

=

bn, (n∈N*)

所以{bn}是首项为 a-

, 公比为

的等比数列?

(III)

.

第 58 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程))

题目

18.已知

.

(Ⅰ)当

时,求数列

的前 n 项和



(Ⅱ)求

.

答案

18.

(Ⅰ)解:当 a=b 时,un=(n+1)a ,这时数列{u }的前 n 项和

n

n

Sn=2a+3a +4a +…+na +(n+1)a

2

3

n+1

n



①式两边同乘以 a,得

aSn=2a +3a +4a +…+na +(n+1)a

2

3

4

n

n+1



①式减去②式,得

(1-a)Sn=2a+a +a +…+a -(n+1)a .

2

3

n

n+1

若 a≠1,

(1-a)Sn=

-(n+1)a +a

n+1

Sn=

=

若 a=1,

Sn=2+3+…+n+(n+1)

=

.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,当 a=b 时,un=(n+1)a ,则

n

=

=

=a

当 a≠b 时,un=a +a b+…+ab

n

n-1

n-1

+b

n

= a [1+

n

+(

) +…+(

2

)]

n

=a

n

=

(a -b ).

n+1

n+1

此时,

若 a>b>0,

=

若 b>a>0,

第 59 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)上海卷)

题目

20、假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房。预计在今后的若干年 内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%。另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增 加 50 万平方米。那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价层的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4780 万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?

答案

20.[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列.

其中 a1=250,

d=50.

则 Sn=250n+

?50=25n +225n,

2

令 25n +225n≥4750,

2

即 n +9n-190≥0,而 n 是正整数,

2

∴n≥10.

∴到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列。

其中 b1=400, q=1.08,

则 bn=400?(1.08)

n-1

,

由题意可知 an>0.85bn,

有 250+(n-1)?50>400?(1.08)

n-1

?0.85.

由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6.

∴到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积点该年建造住房面积的比例首次大于 85%。

第 60 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)浙江卷(新课程))

题目

20.设点

(

,0),

和抛物线

:y=x +an x+bn(n∈N*),其中 an=-2-4n-

2



由以下方法得到:

x1=1, P2(x2, 点 2)在抛物线 C1: =x +a1x+b1 上, A1(x1, y 2 点 0)到 P2 的距离是 A1 到 C1 上点的最短距离, …,
点 最短距离. 在抛物线 :y=x +an x+bn 上,点
2

(

,0)到

的距离是



上点的

(Ⅰ)求 x2 及 C1 的方程.

(Ⅱ)证明{

}是等差数列.

答案

20.解: (Ⅰ)由题意,得

A1(1,0), C1:y=x -7x+b1,

2

设点 P(x,y)是 C1 上任意一点,

则|A1P|=

=

令 f(x)=(x-1) +(x -7x+b1) ,

2

2

2



f’(x)=2(x-1)+2(x2-7x+b1)(2x-7)

由题意,得

f’(x2)=0,

即 2(x2-1)+2(x2 -7x2+b1)(2x2-7)=0.

2

又 P2(x2,2)在 C1 上

∴2=x2 -7x2+b1,

2

解得 x2=3,

b1=14,

故 C1 方程为 y=x -7x+14

2

(Ⅱ)设点 P(x,y)是 Cn 上任意一点,

则|AnP|=

=

令 g(x)=(x-xn) +(x +anx+bn) ,

2

2

2

则 g’(x)=2(x-xn)+2(x +anx+bn)(2x+an).

2

由题意,得

g’(xn+1)=0

即 2(xn+1-xn)+2(xn+1 +anxn+1+bn)(2xn+1+an)=0

2

又∵2 =xn+1 +anxn+1+bn

n

2

∴(x -xn)+2 (2xn+1+an)=0(n≥1).

n+1

n

即(1+2 )xn+1-xn+2 an=0

n+1

n

(*)

下面用数学归纳法证明 xn=2n-1

①当 n=1 时,x1=1,等式成立。

②假设当 n=k 时,等式成立,即 xk=2k-1.

则当 n=k+1 时,

由(*)知(1+2 )xk+1-xk+2 ak=0

k+1

k

又 ak=-2-4k-

,

∴xk+1=

即当 n=k+1 时,等式成立,

由①②知,等式对 n∈N*成立。

∴{xn}是等差数列。

第 61 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)福建卷(新课程))

题目

22.已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+

我们知道当 a 取不同的值时,得到不同的数列,如当 a=1 时,得到

无穷数列:

(Ⅰ)求当 a 为何值时 a4=0;

(Ⅱ)设数列{bn-}满足 b1=-1, bn+1= 个有穷数列{an};

,求证 a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一

(Ⅲ)若

,求 a 的取值范围.

答案

22.(I)解法一:

故 a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an}

解法二:∵b1=-1,bn+1=

,∴bn=

+1

当 a=b1 时,a2=1+

=0.

当 a=b2 时,a2=1+

=b1, ∴a3=0.

当 a=b3 时 a2=1+

=b2, ∴a1=1+

=1+

=b1,a4=0.

……

一般地,当 a=bn 时,an+1=0,可得一个含有 n+1 项的有穷数列 a1,a2,a3,…,an+1.

下面用数学归纳法证明:

①当 n=1 时,a=b1,显然 a2=0.得到一个含有 2 项的有穷数列 a1,a2.

②假设当 n=k 时,a=bk,得到一个含 k+1 项的有穷数列 a1,a2,a3,…,ak+1.

其中 ak+1=0.

则 n=k+1 时,a=bk+1,

∴a2=1+

=bk.

由假设可知,可得到一个含有 k+1 项的有穷数列 a2,a3,…,ak+2,其中 ak+2=0.

∴当 n=k+1 时,可得到一个含有 k+2 项的有穷数列 a1,a2,a3,…,ak+2,其中 ak+2=0.

由①②知,对一切 n∈N,命题都成立。

(III)要使

<an<2,即

<1+

<2,

∴1<<Aan-1<2.

∴要使

<an<2,当且仅当它的前一项 an-1 满足 1<a<An-1<2.

∵(

,2)

(1,2),

∴只须当 a4∈(

,2)时,都有 an∈(

,2)(n≥5).

由 a4=

,得



<2.

解不等式组



故 a>0.

第 62 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖北卷(新课程))

题目

22.已知不等式

为大于 2 的整数,

表示不超过

的最大整数. 设数列

的各项为正,且满足

.

(Ⅰ)证明

;

(Ⅱ)猜测数列

是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) ;

(Ⅲ)试确定一个正整数 N,使得当

时,对任意 b>0,都有

答案

22. (Ⅰ)证法 1:

∵当



于是有

所有不等式两边相加可得

由已知不等式知,当 n≥3 时有,





证法 2:设

,首先利用数学归纳法证不等式

(i)当 n=3 时,



知不等式成立.

(ii)假设当 n=k(k≥3)时,不等式成立,即



即当 n=k+1 时, 不等式 也成立.

由(i)(ii)知, 、

又由已知不等式得

(Ⅱ)有极限,且

(Ⅲ)∵

则有

故取 N=1024,可使当 n>N 时,都有

第 63 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)湖南卷(新课程))

题目

20、自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度 对鱼群总量的影响。用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量,n∈N ,且 x1>0。不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn 成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c。
2 *

(Ⅰ)求 xn+1 与 xn 的关系式;

(Ⅱ)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)

(Ⅲ)设 a=2,c=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允许值是多少? 证明你的结论。

答案

20.解(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为

(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N ,从而由(*)式得

*

因为 x1>0,所以 a>b.

猜测:当且仅当 a>b,且

时,每年年初鱼群的总量保持不变.

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N

*

由 xn+1=xn (3-b-xn), n∈N , 知

*

0<xn<3-b, n∈N , 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1.

*

而 x1∈(0, 2),所以

由此猜测 b 的最大允许值是 1.

下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N

*

①当 n=1 时,结论显然成立.

②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2),

则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk-)>0.

又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1) +1≤1<2,

2

所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立.

由①、②可知,对于任意的 n∈N ,都有 xn∈(0,2).

*

综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn >0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允许值是 1.

第 64 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)江西卷(新课程))

题目

21.已知数列

(1)证明

(2)求数列

的通项公式 an.

答案

21.解: (1)方法一 用数学归纳法证明:

1°当 n=1 时,



,命题正确.

2°假设 n=k 时有









时命题正确.

由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有

方法二:用数学归纳法证明:

1°当 n=1 时,





2°假设 n=k 时有

成立,





在[0,2]上单调递增,所以由假设有:



也即当 n=k+1 时

成立,

所以对一切

(2)下面来求数列的通项:

所以

又 b0=-1,所以

第 65 题(2005 年普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)山东卷(新课程))

题目

(21)已知数列

的首项



项和为

,且

(I)证明数列

是等比数列;

(II)令 的大小.

,求函数

在点

处的导数

并比较



答案

21.解: (Ⅰ)由已知



两式相减,得







从而











,∴



从而

故总有





又∵



从而



是以

为首项,2 为公比的等比数列。

(II)由(I)知









从而

=

=

-

=

=

=



由上

-

=

=12

(*)



时, (*)式=0







时, (*)式=-12





时,





即(*)

从而

(或用数学归纳法:n≥3 时,猜想

由于 n-1>0,只要证明 2 >2n+1。事实上,

n

1*

当 n=3 时,2 >2?3+1

3

不等式成立,

2*

设 n=k 时(k≥3) ,有 2 >2k+1

k



2 >2(2k+1)

k+1

=4k+2

=2(k+1)+1+(2k-1).

∵k≥3,∴2k-1>0.

从而

2 >2(k+1)+1+(2k-1)

k+1

>2(k+1)+1



n=k+1 时,亦有 2 >2n+1.

n

综上 1*、2*知,2 >2n+1 对 n≥3,n∈N* 都成立。

n

∴n≥3 时,有



综上

n=1 时,

n=2 时,

n≥3 时,

第 66 题(2005 年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)北京卷(新课程))

题目

17.已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18; n}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20. {b

(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;

(Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的公式;

(Ⅲ)设

Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,

Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,

其中 n=1,2,…,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论.

答案

17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力,分析问题和解决问题的能力.

解: (Ⅰ)设{an}的公比为 q,由 a3=a1q 得

2

q2=

=9,q=±3.

当 q=-3 时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,这与 a1+a2+a3>20 矛盾,故舍去;

当 q=3 时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意.

设数列{bn}的公差为 d,由 b1+b2+b3+b4=26 得

4b1+

=26,

又 b1=2,解得 d=3,

所以 bn=3n-1.

(Ⅱ)Sn=



.

(Ⅲ)b1,b4,b7,…,b3n-2 组成以 3d 为公差的等差数列,所以

Pn=nb1+

?3d=



b10,b12,b14,…,b2n+8 组成以 2d 为公差的等差数列,b10=29,

所以 Qn=nb10+

?2d=3n +26n,

2

Pn-Qn=(

)-(3n +26n)=

2

n(n-19) ,

所以,对于正整数 n,当 n≥20 时,Pn>Qn;当 n=19 时,Pn=Qn;当 n≤18 时,Pn<Qn .


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