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4.1.1圆的标准方程公开课课件(人教A版必修2)


4.1.1 圆的标准方程
y
O

A

x

r

生活中的圆

复习引入
复习引入

问题:什么是圆?初中时我们是怎样给圆下 定义的?

探究新知

应用举例

面内与定点距离等于定长的点的集合( 轨迹)是圆,这个定点是圆心,这个定长是圆 的半径 y M(x,y)

课堂小结

O
课后作业

C (a,b)

x

探究新知 问题:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么?

设点M (x,y)为圆C上任一点,则|MC|= r。
y M(x,y)

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

r
O C (a,b) x

两边平方得: (x-a)2+(y-b)2=r2

知识点:

一、圆的标准方程

已知圆的圆心C(a,b),半径r 则圆的标准方程是:

y

M(x,y)

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

O

C

x

二、求圆的标准方程的方法 2 2 2 1、设圆的方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2、找出三个关于a、b、r的 条件 3、利用条件列出方程组 4、解方程组得出a,b,r的值并代入标准方程中

三、圆心:确定圆的位置;半径:确定圆的大小

应用举例 1.说出下列圆的方程: (1) 圆心在原点,半径为3. (2) 圆心在点C(3, -4), 半径为7. (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3). 2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径:

(1) (x + 7)2 + ( y ? 4)2 = 36
(2) x2 + (y+2)2 = 1

(2) (x ? a)2 + y 2 = m2

练习:课本 120页 1

例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解:设所求圆的方程为:

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2
2 2 2

2

待定系数 法

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上

?

?(5 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? 2 2 2 ?(7 ? a ) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a ) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?

?a ? 2, ? ?b ? ?3, ?r ? 5. ?

? 圆的方程为

( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25

练习:课本 121页

4

作业:课本 124页

2

复习: 一、已知圆的圆心C(a,b),半径r,则圆的标 准方程是:

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

圆的圆心坐标是(a,b),半径是r 1.说出下列圆的方程: 圆心在点C(-3, 4), 半径为9.

2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径:

(x + 6)2 + y 2 = 25

二、求圆的标准方程的方法 2 2 2 1、设圆的方程( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2、找出三个关于a、b、r的 条件 3、利用条件列出方程组 4、解方程组得出a,b,r的值并代入标准方程 中
三、圆心:确定圆的位置;半径:确定圆的 大小

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:设圆C的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,
2 2 2

∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)

待定系数法

?a ? b ? 1 ? 0 ? a ? ?3 ? ? 2 2 2 ? ?(1 ? a) ? (1 ? b) ? r ? ?b ? ? 2 ?(2 ? a)2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 5 ? ?
?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 ?2 ? 1 ? 线段AB的中点D( , ? ), k AB ? ? ?3. 2 2 2 ?1 1 1 3 ? 线段AB的垂直平分线CD的方程为:y+ ? ( x ? ). 2 3 2

即:x-3y-3=0
?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 联立直线l , CD的方程: , 解得: ? ? x ? 3y ? 3 ? 0 ? ? y ? ?2

∴圆心C(-3,-2)

? r ? AC ? (1 ? 3) 2 ? (1 ? 2) 2 ? 5.

?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

练习.根据下列条件,求圆的方程: 求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线xy+3=0上的圆的标准方程。

知识探究:点与圆的位置关系 有几种? 三种:点在圆内、在圆上、在圆外 知识点: 四、点与圆的位置关系 点在圆内、在圆上、在圆外

在平面几何中,如何确定点与圆的位置关系呢?

M ?

M?

M ? O

O
|OM|<r 点在圆内

O

|OM|=r
点在圆上

|OM|>r
点在圆外

知识点五:判断点与圆的位置关系的方法:

? 设点M ( x0 , y0 ),圆 ( x ? a) ? ( y ? b) : r
2 2

2

把点M ( x0 , y0 ) 的坐标代入圆的方程
若(x0-a)2+(y0-b)2>r2时, 点M在圆C外;
若(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; 若(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

典型例题
例:写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的方程, 并判断点 , M (?5,?1), A(4,1) N (5,?7) 是否在这个圆上。 解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准方 程 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 是: 把 N (5,?7) M (?5,?1)

A(4,1) 的坐标代入圆的方 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ,可知: 程

点N在圆上,点M在圆外,点A在圆内 练习:课本 121页 2 3

作业:课本 121页 3

124页 3,4

复习: 一、已知圆的圆心C(a,b),半径r,则圆的标 准方程是:

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

二、求圆的标准方程的方法(代数方法) 2 2 2 1、设圆的方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 2、找出三个关于a、b、r的 条件 3、利用条件列出方程组 4、解方程组得出a,b,r的值并代入标准方程 中

三:判断点与圆的位置关系的方法:

? 设点M ( x0 , y0 ),圆 ( x ? a) ? ( y ? b) : r
2 2

2

把点M ( x0 , y0 ) 的坐标代入圆的方程
若(x0-a)2+(y0-b)2>r2时, 点M在圆C外;
若(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; 若(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.

1.说出下列圆的方程:
(1)圆心在点C(-4, 6), 半径为5.判断 点A(-3,2)与圆的位置关系 (2)圆心在点C(0, -3), 半径为4.判断
点B(4,3)与圆的位置关系

2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径: (1)(x +2)2 + y 2 = 9 (2)x 2 + (y +3)2 = 7

3.根据下列条件,求圆的方程: (1)求过两点A(0,2)和B(1,3),且圆心在直 线x-y-1=0上的圆的标准方程。 (2)已知圆过点P(1,-1),圆心在y轴上还在直 线x+y-2=0上,求圆的方程。 (3)设A(3,-5),B(-1,1),求以线段 AB为直径的圆的方程。

4、已知两点A(4、9)、B(6、 3), 求以AB为 直径的圆的方程.
Y

解:AB的中点(5,6),|AB|= 2 10 所以圆心(5,6),半径r= 10

A(4、9)

圆的方程为:
(x-5)2+(y-6)2=10
B(6、3) 0 X

练习
5、求圆心在(-1、2),与y轴相切的 圆的方程
Y

c

-1

0

C(-1、2) r=1

X

(x+1)2+(y-2)2=1

练习
6、求圆心在直线y=x上,与两轴同时相切, 半径为2的圆的方程.
Y
2

Y=X
C(2,2)

-2 0
C(-2,-2)

2

X

-2

(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4

练习
7、求以c(1、3)为圆心, 并和直线3x-4y-6=0相切 的圆的方程.
Y

C(1、3)

0

X

3x-4y-6=0

? 解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ? 已知a=1,b=3 ? 因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的 距离, ? 所以 r= |3×1-4 ×3-6| 15 2 2 = 5 =3 3 ? ( ?4 ) ? 所以圆的方程为

(x-1)2+(y-3)2=9

作业:
1、求圆心在(2、-3),与x轴相切的圆的方 程 2.求过两点A(0,2)和B(1,3),且圆心在直线x-y1=0上的圆的标准方程。 3、求以C(2,1)为圆心,和直线3x-4y+8=0相切 的圆的方程。

练习

(2) x2 + y2 ? 4x + 10y + 28 = 0

1.点(2a, 1 ? a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的 取值范围. 2.根据下列条件,求圆的方程: (1)求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线xy+1=0上的圆的标准方程。 (2)圆心在直线5x-3y=8上,又与两坐标轴相 切,求圆的方程。 (3)求以C(1,3)为圆心,且和直线3x-4y-7=0 相切的直线的方程。

特殊位置的圆的方程:

x2+ (y ? b)2 = r2 (r≠0) 圆过原点: (x ? a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0) (x ? a)2 + y2 = a2 (a≠0) 圆心在x轴上且过原点: 圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0) 圆与x轴相切: (x ? a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0) 圆与y轴相切: (x ? a)2 + (y-b)2 = a2 (a≠0) 圆与x,y轴都相切: (x ? a)2 + (y±a)2 = a2 (a≠0)

圆心在原点: 圆心在x轴上: 圆心在y轴上:

x2 + y2 = r2 (r≠0)

(x ? a)2 + y2 = r2 (r≠0)

思考
例 已知圆的方程是x2 + y2 = r2,求经过圆上一 点 M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。 解: 如图, 设切线方程为y ? y0 ? k ( x ? x0 ) y0 半径OM的斜率为kOM ? x0 ,
Y
M ( x0 , y0 )

0

X

x0 因OM垂直于圆的切线, 所以k ? ? y0 x0 切线方程为y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) y0

整理得, x0 x ? y0 y ? x ? y
2 0

2 0

2 2 ? x0 ? y0 ? r 2 ,

?所求圆的切线方程为x0 x ? y0 y ? r 2

小结
1.圆的标准方程

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

(圆心C(a,b),半径r)

2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法: ①待定系数法 ②几何性质法


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