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高三数学专项训练:解三角形小题练习(三)


高三数学专项训练:解三角形小题练习(三)
1.已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,

c 1 ? ? 3 ,则 tan B 的值等于 b 2
2.在 △ABC 中,若 b ? 3, c ? 1, cos A ?



1 ,则 a = 3

.

3.在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 5 , b ?

5 2 , 3

A?

?
4

,则 cos B ?

.

4.在 ?ABC 中 a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,已知 a ? 4, b ? 2, 则 5.在 ?ABC 中,若 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc , 则 A ?

sin A ? ______. sin B

6.在 ?ABC 中,已知 b ? 3 , c ? 3 3 , ?B ? 30? ,则 a 等于_____________. 7.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若 3a 2 ? 2ab ? 3b 2 ? 3c 2 ? 0 , 则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示) 8. 一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? , 行驶4 ? h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,这时船与灯塔的距离为 km. 9.在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=
2 2 2

9 ,则 BC =________. 10

10.在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ? _________。 11.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 30 , C ? 135 , 则a ? _________。
0 0

12.在 ?ABC 中,若 a ? b ? c ?
2 2 2

3ab ,则 ?C =
? ?

13.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,且 a ? 8, B ? 60 , C ? 75 , 则b ? .

14.在△ ABC 中, A ? 120?, b ? 1, 面积 S ? 3 ,则

c 等于 sinC

。 .

15. 在△ ABC 中, A、 的对边分别为 a、b , A ? 60?, a ? 3, B ? 30?, 则 b = 角 B 16.在 ? ABC 中,若 b ? c ? a ? ? 3bc, 则 A =
2 2 2

17.在 ? ABC 中, B ? 135 , C ? 15 , a ? 5, 则此三角形的最大边长为
0 0

18.在 ? ABC 中,若 a ? 50, b ? 25 6, A ? 45 , 则 sin B ?
0

19.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则∠ A 等于_________________________
2 2 2 角 20. ?ABC 中, A,B, C的对边分别为a, b, c, 若a ? c ? b ? 在

3ac , 则 角B 的

试卷第 1 页,总 3 页

值为


?

21.在 ?ABC 中, AB ? 1, BC ? 2, B ? 60 ,则 AC ? __________. 22.已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC 的面积为 23.在 ?ABC 中,若 b ? 1, c ? 3 , ?c ?

2? ,则 a = 3

.

24 . 已 知 a, b, c 分 别 是 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 , 若

a ? 1, b ? 3 , A ? C ? 2B ,则 sin A ? __________.
25.在 ?ABC 中, c ? a ? b ? 3ab ,则? C =
2 2 2

.

26.在 ?ABC 中.若 b=5, ?B ?

?
4

,sinA=

1 ,则 a=___________________. 3

27.在 ?ABC 中, B ? 450 , c ? 2 2, b ?

4 3 ,那么 A=_____________; 3

28.在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是_________ 29 . ?ABC 中 , t a A, t a B 是 3x 2 ? 8x ? 1 ? 0 的 两 个 实 数 根 , 则 n n

4 sin 2 C ? 3 sin C cosC ? 5 cos2 C 的值为



30.设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B ,sin A cos A ? 形是 三角形.
2 2

3 ,则此三角 4

31.在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b ? c ? 3bc ? a ,且
2

b ? 2 ,则 ?C = a





32.在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 A ? 则 ?ABC 的形状是 . 33.在△ABC 中, a ? 1 , A ? 30? , B ? 60? ,则 b 等于
0

?
3

, a ? 3, b ? 1 ,



34.在 ?ABC 中, a ? 3 3 , b ? 3, B ? 30 ,则角 A 的值为__________.

sin B 的值为___________. sin C ? 36. ?ABC 中, 在 三个内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 已知 c ? 2, C ? , ?ABC 的 3
35.在 ?ABC 中, ?A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7 ,则
?

面积等于 3, 则 a ? b ? 37.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,则 cos C ? 38.在 ?ABC 中, B ? 45 , c ? 2 2, b ?
0

4 3 ,那么 A=_____________。 3


39.在 ? ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 3: 5: 7 ,则 ? ABC 最大角的值是 40.在三角形 ABC 中,bcosC=CcosB,则三角形ABC是 三角形。
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41.在 ?ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是 _____ 42.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 a=2,3bsinC-5csinBcosA =0,则△ABC 面积的最大值是 . 43. ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c , si B ? si C 在 角 若 n 2 n 则 A? . ,a 2 ? b 2 ?

3 bc , 2


44.在△ABC 中,BC=1,B=

? ,当△ABC 的面积为 3 时,tanC= 3

45. 在△ABC 中, 30 ? , A= b=12,S ?ABC ? 18 , 则

sinA ? sinB ? sinC 的值为__________. a?b?c
a?b 的最大值 c

46.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边为 a, b, c ,若 a ? c ? sin A ,则 是________. 47.在△ABC 中,∠A=60°,b=1, S ?ABC = 3 ,则

a =_______________. cos A

48.在△ABC 中, ?b ? c ? : ?c ? a ? : ?a ? b? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内角的度数是 49.已知△ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 S ?

a2 ? b2 ? c2 ,则角 C=_________ 4

50.△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 (a 2 ? c 2 ? b 2 ) tan B ? 3ac ,则 角 B 的值为____________

试卷第 3 页,总 3 页

高三数学专项训练:解三角形小题练习(三)参考答案
1.

1 2

【解析】 试题分析:根据余弦定理得: cos A ? ∵ A 是三角形的内角,∴ A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? . 2bc 2

?
3

.

在 ?ABC 中, C ? ? ? A ? B ? ∴ sin C ?

2? ? B. 3

3 1 cos B ? sin B . 2 2

3 1 cos B ? sin B sin C 1 2 根据正弦定理和已知得: ? 2 ? ? 3. sin B sin B 2
∴ 3 sin B ? ∴ tan B ?

3 cos B . 2

1 . 2

考点:解三角形,涉及正余弦定理、三角变换. 2. 2 2 【解析】

b2 ? c 2 ? a 2 32 ? 12 ? a 2 1 ? ? , 试题分析:用余弦定理展开,将已知条件代入,即 cos A ? 2bc 2 ? 3 ?1 3
可以解出 a ? 2 2 . 考点:考查余弦定理. 3.

2 2 3

【解析】 试题分析:由正弦定理得:sin B ?

2 2 b sin A 1 . ? 在三角形中,因为 a ? b ,所以 cos B ? 3 a 3

考点:1.正弦定理;2.三角函数基本关系(平方关系). 4.2 【解析】
答案第 1 页,总 13 页

a b 变化可得结果。 ? sin A sin B a b sin A a 4 解:由 得: ? ? ? ?2 sin A sin B sin B b 2
试题分析:由正弦定理 考点:正弦定理 点评:本题考查正弦定理在解三角形中的应用,是基础题,送分题. 5. 60

o

【解析】 试题分析:因为在△ABC 中, b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc , 由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,可知,cosA=

o 1 ,则 A ? 60 2

考点:余弦定理. 点评:本题考查余弦定理的应用,余弦定理的表达式的应用,考查基本知识的应用. 6.3 或 6 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 ?ABC 中 , 已 知 b ? 3 , c ? 3 3 ,

3 3 b c c sin B 3 ? 2? ?B ? 30?? ? ? sin C ? ? 2 ? ?C ? B?C ? , sin B sin C b 3 2 3 3 ?A?

? ?

, 2 6

,再结合余弦定理可知 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 的值为 9,或者 36,故可知答案为 3 或 6 考点:解三角形 点评:主要是考查了解三角形的运用,属于基础题。 【答案】 ? ? arccos 【 解 析

1 3
】 , 故

2 3a 2 ? 2ab ? 3b2 ? 3c 2 ? 0 ? c 2 ? a 2 ? b2 ? ab 3 1 1 cos C ? ? , C ? ? ? arccos . 3 3

【考点定位】考查余弦定理及运算,属容易题。 8. 30 2 【解析】 试题分析:由题意,在△ABC 中,∠BAC= 90? ? 60? ? 30? ,∠ACB= 90? ? 15? ? 105? ,∠ ABC=

180? ? 105? ? 30? ? 45?





AC=60















答案第 2 页,总 13 页

BC ?

AC sin ?BAC 60sin 30? ? ? 30 2 ,故这时船与灯塔的距离为 30 2 千米 sin ?ABC sin 45?

考点:本题考查了正弦定理的实际运用 点评:对于应用问题首先要理解题意,然后依据题目的条件列式,从而求解,本题就是转化 为三角形内求边的问题 9.4 或 5 【解析】 试题分析: 在△ABC 中, 由余弦定理得 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos C , ∵AB= 5 , AC=5,且 cosC=

9 ,∴ BC 2 ? 9 BC ? 20 ? 0 ,解得 BC =4 或 5 10

考点:本题考查了余弦定理的运用 点评:熟练运用余弦定理及其变形是解决此类问题的关键,属基础题 0 10.120 【解析】 试题分析:∵ a 2 ? b2 ? bc ? c2 ,∴ cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,∴ A ? 1200 2bc 2

考点:本题考查了余弦定理的运用 点评:熟练运用余弦定理及其变形是解决此类问题的关键,属基础题 11. 6 ? 2 【解析】 试 题 分 析
? ?





B ? 300 , C ? 1350
?





A ? 15?





a?

bs A n i ? s Bi n

?

2 s

s i

? i n?

?

n 1 5 ? 6? 2 3 0

2 s

s i

i n

n 3

( 4 0

5

3

0

)

考点:本题考查了正弦定理的运用 点评:熟练运用正弦定理及其变形是解决此类问题的关键,属基础题 12.30° 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意







a2 ?

b2 ? 3

?2 ? c

a 2 2? b

2 c a ?o

b s

? a2

3 2 b? c ,由于 C o 2

?c s

三角形的内角的范围可知 ?C =30°,故答案为 30°。 考点:余弦定理 点评:主要是考查了余弦定理的运用,属于基础题。 13. 4 6 【解析】

答案第 3 页,总 13 页

试题分析:易知, A ? ? ? B ? C ? 45 ? ,由正弦定理得

a b ,所以 b ? 4 6 . ? sinA sin B

考点:正弦定理 点评:本题考查了用正弦定理解三角形,关键是能先求出角 A,再用正弦定理解题,属基础 题. 14. 2 7 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 , △ ABC 中 , A ? 1 2? 0 ?, b 面1 积 S ? 3 , 所 以 , ,

1 1 3 由余弦定理得,a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos120? ? 21, a ? 21 , S ? bc sin A ? ? c ? ? 3, c ? 4 , 2 2 2

由正弦定理

c a = =2 7 sinC sin A

考点:正弦定理、余弦定理的应用,三角形面积公式。 点评:中档题,本题综合性较强,较全面地考查了三角形中的重点内容,较为典型。 15.1 【解析】

a b a sin B 试题分析:根据正弦定理可知, ? ?b ? ? sin A sin B sin A
1。 考点:正弦定理 点评:本题主要考查了正弦定理的应用,属基础题. 16.

3? 3 2

1 2 ?? 1 ,故可知答案为

5? 6
分 析 : 根 据
2

【解析】 试 题


2 + a


2 ? 3b







b2 ?

c2 ?

3 a2 ? ,

?

b =

c?

=c

3 2 ? - 2 c b 那么可知角 2 2

b? c

o

A ? 0,?) A= ( ?

5? 5? ,故答案为 6 6

考点:余弦定理 点评:主要是考查了余弦定理的解三角形的运用,属于基础题。 17. 5 2 【解析】 试题分析:首先根据最大角分析出最大边,然后根据内角和定理求出另外一个角,最后用正 弦定理求出最大边.解:因为 B=135°为最大角,所以最大边为 b,根据三角形内角和定理: A=180°- ( B+C ) =30° , 在 △ ABC 中 有 正 弦 定 理 有 :

答案第 4 页,总 13 页

1 b a b b sin A 2 2 b ? ? sin B ? = = ? ? b ? 5 2 ,故可知答案为 5 2 sin A sin B a 2 5 10
考点:正弦定理 点评:本题主要考查了正弦定理应用,在已知两角一边求另外边时采用正弦定理. 18.

3 2
析 : 根 据 题 意 , 由 于

【解析】 试 题 分

?
2 i

ABC







a ? 5 b0? ,
3 2

A? 2

a b b As 0 5? 6 ? , ? 5B ? , 4 ? s A n B i s i na

2 5? 6 n 2 ? s

i ,故可知 n 5 0

3 2

答案为

考点:正弦定理 点评:主要是考查了正弦定理的运用,求解三角形,属于基础题。 19.

? 5?
, 6 6

【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 b ? 2a sin B , 那 么 根 据 正 弦 定 理 可 知

b a a ? ? s iB ?a n 2 s iB n sAn i Ai n s ? 5? ? 5? ,故答案为 , 。 , 6 6 6 6

sB n i ?

1 A i,那么由于在三角形中,可知角 A 等于 s ?n 2

考点:正弦定理 点评:主要是考查了正弦定理的运用,属于基础题。 20.

? 6
2 a 2 ? c ? b 2 3ac 3 , 即 ? ? 2ac 2ac 2

【解析】

3 试 题 分 析 : a ? c ? b ?
2 2 2

a 形 为 变 c

c oB s ?

3 ? ?B ? 2 6

考点:余弦定理解三角形 点 评 : 本 题 中 解 三 角 形 用 到 了 余 弦 定 理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 的 变 形

c oB ? s

a 2 ? c 2? b2 2ac

答案第 5 页,总 13 页

21. 3 【解析】 试题分析: AC ?

AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B ? 3

考点:余弦定理 点评:本题是基础题。在解三角形中,余弦定理的适应范围是:两边及一角,三边。 22. 9 3 【解析】 试 题 分 析 : ∵ ∠ A = 30 ° , ∠ B = 120 ° , ∴ ∠ C = 30 ° , 由 正 弦 定 理 得

AC ? AB ?

sin B sin120? ? 6? ?6 3 sin C sin 30?





S?ABC ?

1 1 AC ? AB ? sin A ? ? 6 3 ? 6 ? sin 30? ? 9 3 2 2

考点:本题考查了正弦定理的运用 点评:三角形的内容包括正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式,对这方面的考查经常 出现 23.1 【解析】

c 试题分析: 因为, ? 1, ? 3 , c ? b ?
即 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解得,a=1.

2? , 所以, 由余弦定理得, 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C , c 3

考点:本题主要考查余弦定理的应用。 点评:简单题,利用余弦定理,建立 a 的方程,注意方程根的取舍。 24.

1 2 a b 代入数据得 ? sin A sin B

【解析】 试 题 分 析 : A ? C ? 2 B ? B ? 60? , 由 正 弦 定 理 可 得

1 3 1 ? ? sin A ? ? sin A sin 60 2
考点:解三角形 点评:本题求解主要用到的是三角形中的正弦定理: 25.

? 6
2 2 2

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

【解析】 试 题 分 析 : 因 为 , c ? a ? b ? 3ab , 所 以 , 由 余 弦 定 理 得 ,

答案第 6 页,总 13 页

a 2 ? b2 ? c2 3ab 3 ? = cos C ? ? , C ? (0, ? ) ,故? C = 。 6 2ab 2 2ab
考点:本题主要考查余弦定理的应用。 点评:简单题,从已知出发,结合余弦定理求 cosC. 26.

5 2 3

【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 b=5 , ?B ?

?
4

, sinA=

1 ,则根据正弦定理可知 3

1 5? a b b in A s ? ?a ? ? 3 s i nA s iB n sin B 2 2

?

5 2 5 2 ,故可知答案为 。 3 3

考点:正弦定理 点评:本题是基础题,考查正弦定理解三角形,考查计算能力,常考题型. 27. 15o 或 75o 【解析】 试题分析:∵
? c s i nB 2 2 sin 45 3 b c ,∴ sin ? , 又 c>b , ∴ C ? ? ? b 2 sin B sin C 4 3 3

C ? 60? 或120? ,又 A ? B ? C ? 180? ,∴A= 15o 或 75o
考点:本题考查了正弦定理的运用 点评:一般地,已知两边和其中一边的对角应用正弦定理解三角形,有两解、一解、无解三 种情况.应注意讨论 28. ( 5, 13) 【解析】

?a 2 ? b 2 ? c 2 ?13 ? c 2 ? 2 2 2 ? 2 2 试题分析:依题意得, ?a ? c ? b , ?4 ? c ? 9,5 ? c ? 13, 5 ? c ? 13 , ?c 2 ? b 2 ? a 2 ?c 2 ? 9 ? 4 ? ?
故边长 c 的取值范围是 ( 5, 13) 。 考点:本题主要考查余弦定理的应用,锐角三角形的性质,不等式组的解法。 点评:中档题,锐角三角形,各个内角均为锐角,故由余弦定理看建立 a,b,c 的不等式组。 29.1 【解析】 试题分析:因为, tan A, tan B 是 3x 2 ? 8x ? 1 ? 0 的两个实数根,

答案第 7 页,总 13 页

8 ? 8 ? ? tan A ? tan B ? ? 3 tan A ? tan B ? 3 ? ?2 , 所以, ? , tan( A ? B) ? ? 1 1 ? tan A tan B 1 ? (? 1 ) ? tan A tan B ? ? ? 3 3 ?
即 tan C ? ? tan( A ? B) =2.

2 2 故 4 sin C ? 3 sin C cosC ? 5 cos C =

4sin 2 C ? 3sin C cos C ? 5cos 2 C sin 2 C ? cos 2 C

=

4 tan 2 C ? 3 tan C ? 5 4 ? 22 ? 3 ? 2 ? 5 =1. ? tan 2 C ? 1 22 ? 1

考点:本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,两角和的正切公式,同角公式。 点评:中档题,本题综合性较强,给出了解答此类题的一般方法。涉及已知正切,求正弦、 余弦齐次式三角函数式值,往往要通过“1”的代换、分子分母同除以余弦的最高次幂,将 三角函数式用正切表示。 30.等腰或直角 【解析】 试题分析:因为, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B ,所以,

tan A ? tan B ?? 3, 1 ? tan A tan B

tan C ? ? tan( A ? B) ? 3 ,C=60°;又, sin A cos A ?

3 3 ,所以,A=30° ,sin 2 A ? 4 2

或 60°,故此三角形是等腰或直角三角形. 考点:本题主要考查和差倍半的三角函数公式,三角形的性质。 点评:小综合题,根据已知条件可确定得到角,因此,利用角可判断三角形的形状。 31. 15 0 或105 0 【解析】

b2 ? c2 ? a 2 3 b 试题分析:因为, b ? c ? 3bc ? a ,且 ? 2 ,所以 cosA= , ? 2bc 2 a
2 2 2

A=30°,又由正弦定理得,sinB= 2 sinA=

2 ,故 B=45°或 135°,C= 15 0 或105 0 。 2

考点:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,三角形内角和定理。 点评:中档题,本题综合考查正弦定理、余弦定理的应用,三角形内角和定理。利用正弦定 理求角,要注意正弦函数在(0,π )表示单调函数,所以,求得的角有可能是两解。 32.直角三角形 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

A?

?
3

, a ? 3, b ? 1 , 所 以 由 正 弦 定 理 得 ,

答案第 8 页,总 13 页

a b ? ,sin B ? sin A sin B

sin

3 ? 1 ,B= ? ,C= ? ,即 ?ABC 是直角三角形。 2 6 2 3

?

考点:本题主要考查正弦定理。 点评:简单题,判定三角形的形状,是常见题型,一般思路是从角出发或从边出发。 33. 3 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 △ ABC 中 , a ? 1 , A ? 30? , B ? 60? , 所 以 , 由 正 弦 定 理 得

a b a 1 0 3。 ? ,b ? sin B ? 0 sin 60 ? sin A sin B sin A sin 30
考点:本题主要考查正弦定理的应用。 点评:简单题,已知两角及其一条对边,求其它边长,应用正弦定理。 34. 60 或120
0 0

【解析】 试 题 分 析 : ?ABC 中 , a ? 3 3 , b ? 3, B ? 30
0

则 由 正 弦 定 理 可 知

a b a sin B ? ? sin A ? ? sin A sin B b
别是 60 或120
0 0

3 3?

1 2 ? 3? 1 , 因为 a>b,因此可知角 A 有两个解分 3 2

考点:解三角形 点评:解决的关键是根据已知的两边和一边的对角,结合正弦定理来求解角 A,属于基础题。 35.

3 5
sin B b ? ,那么根据余弦 sin C c

【解析】 试题分析:根据题意,由于 ?A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7 ,则可知
?

定理可知 CB ? AB ? AC ? 2 ABAC cos120 ? 9 ?b ? 3 ,因此可知答案为
2 2 2 0

3 5

考点:正弦定理 点评:解决的关键是根据已知的边和角,结合正弦定理来得到求解,属于基础题。 36.4. 【解析】

1 ? ab sin C ? 3 ? 试题分析:因为 c ? 2, C ? , ?ABC 的面积等于 3, 所以 ? , 2 3 ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ?

?

答案第 9 页,总 13 页

即?

?

ab ? 4

2 2 ? 4 ? a ? b ? ab

,所以 (a ? b) ? a ? b ? 2ab ? 8 ? 8 ? 16, a ? b ? 4.
2 2 2

考点:本题主要考查余弦定理的应用,三角形面积公式。 点评:中档题,解答思路明确,主要是依题意构建 a,b 的方程组。 37. ?

1 . 4

【解析】 试 题 分 析 : 因 为 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 4 , 所 以 设 a=2k,b=3k,c=4k , k>0 ) 则 ( ,

a 2 ? b2 ? c2 (2k ) 2 ? (3k ) 2 ? (4k ) 2 1 cosC= ? =? ?? 。 2 2ab 2 ? 2 ? 3k 4
考点:本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用。 点评:简单题,根据 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 4 可设 a=2k,b=3k,c=4k,利用余弦定理求 cosC。 38. 15o 或 75o 【解析】

c sin B 2 2 sin 450 3 试题分析:由正弦定理得, sin C ? ,由于 c>b,所以,C 可为 ? ? b 2 4 3 3
60°或 120°,从而 A= 15o 或 75o 。 考点:本题主要考查正弦定理的应用,三角形内角和定理。 点评:易错题,从已知出发,应用正弦定理求三角形的内角,注意解的情况。 39.120° 【解析】 试题分析:解:由 sinA:sinB:sinC=3:5:7,根据正弦定理得:a:b:c=3:5:7,设 a=3k, b=5k,c=7k,k>0,可得 7k 为最大边,设 7k 所对的角,即△ABC 最大角为 C,根据余弦定

a 2 ? b2 ? c2 1 理得:cosC= =,又 C∈(0,180°) ,∴C=120°,则△ABC 最大角的值是 2ab 2
120°.故答案为:120° 考点:正弦、余弦定理 点评:此题考查了正弦、余弦定理,比例的性质以及特殊角的三角函数值,正弦、余弦定理 很好的建立了三角形的边角关系, 熟练掌握定理是解本题的关键, 同时注意比例性质的运用 40.等腰 【解析】 试题分析:解:∵ccosB=bcosC,∴由正弦定理,化边为角得到 sinCcosB=sinBcosC,∴sin (B-C)=0,∴B=C,∴是等腰三角形。 考点:正弦定理 点评:本题考查了正弦定理的运用,是基础题 41. (0, ] 3
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?

【解析】 试 题 分 析 : ∵ s i2 A ? n
2

s Bi? n

2

, C s i n B ,s ∴ na ? ib n ? c ? b c∴ ? Ci s
2 2 2

c oAs?

2 ? b2 ? c ? a 2 1 ? ? ,又 0 ? A ? ? ,∴ 0 ? A ? ,即 A 的取值范围是 (0, ] 3 2bc 2 3

考点:本题考查了正余弦定理及三角函数不等式的解法 点评:熟练运用正余弦定理及其变形是解决此类问题的关键,属基础题 42.2 【解析】 试题分析: 根据题意, ABC 中, A, , 的对边分别是 a, , 又 3bsinC-5csinBcosA=0, △ 角 B C b c, ∴bsinC (3-5cosA) ∵bsinC≠0, =0, ∴3-5cosA=0, cosA= 即 那 么

3 4 , A∈ 又 (0, ) 故 sinA= , π , 5 5
可 知

6 4 a 2 ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? b 2 ? c ? bc ? 2bc ? b ? c ? 2 bc ? 4 ? cb ? 5 5 5 1 2 ? s ? bc sin A ? bc ? 2 ,故可知答案为 2. 2 5
考点:三角形的面积 点评:解决的关键是利用已知的边角关系化简得到角 A 的值,以及三角形面积公式的运用, 属于基础题。 43. ? 【解析】 试题分析:? sin B ? 2 sinC ?b ? 2c 代入 a 2 ? b 2 ? 理得 cos A ?

2 3

3 bc 得 a 2 ? 7c 2 ,三角形中由余弦定 2

b2 ? c 2 ? a 2 4c 2 ? c 2 ? 7a 2 1 2 ? ? ? ?A? ? 2bc 2 ? 2c ? c 2 3
a b c ? ? sin A sin B sin C

考点:解三角形 点评: 解三角形通常用正余弦定理实现边与角的互相转化。 正弦定理:

余弦定理: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C 44. - 2 3 【解析】 试题分析: S?ABC ? ∵

? 1 3 2 2 ac sin B ? c? 3, ∴c=4, ∴ b ? a ? c ? 2ac cos ? 13 , 3 2 4

∴ cos C ?

14 ? 16 13 2 39 ?? , ∴ sin C ? , ∴ tan C ? ?2 3 13 13 2 13

考点:本题考查了正余弦定理的运用
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点评:掌握正弦、余弦定理及其变形,是研究三角形边角关系的前提.在解答问题的过程中, 要选好研究方向:①以角变换为主?②以边转换为主?③两者相互配合运用?无论哪一种方 向,都要运用好正弦、余弦定理及其变形,及三角的恒等变形,必要时还要配合勾股定理使用

45. 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 已 知 条 件 , 在 △ABC 中 , A= 30 ? , b=12 ,

1 1 1 S ?ABC ? 18= bc sin A ? ?12c ? ? c ? 6 2 2 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 144 ? 36 ? 144 ? 3 2

可知

sinA ? sinB ? sinC sin A 1 = ? ,故答案为 a?b?c a 12 5 ? 2 3
sinA ? sinB ? sinC sinA 1 = ? ,属于基础题。 a?b?c a 2r

考点:正弦定理 点评:解决该试题的关键是理解

46. 2 【解析】 试题分析:由 a=csinA 得到

a sin A ? ? sin A .所以 sinC=1,即 C=90°.所以 c2=a2+b2.所 c sin C



(a ? b) 2 a 2 ? b 2 ? 2ab 2ab 2 2 a?b 的最大值是 ? ? 1? 2 ? 1? ? 1 ? ? 2 ,所以 2 2 2 2 b a c a ?b a ?b 2 c ? a b

2.
考点:本题考查了正弦定理及基本不等式的运用 点评:解题时要认真审题,注意正弦定理和基本不等式的合理运用,属基础题 47. 2 13 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 可 知 , 在 △ ABC 中 , ∠ A = 60 ° , b = 1 , S ?ABC =

1 1 3 3= bcsin A ? ?1? c ? ?c ? 4 , 那 么 结 合 余 弦 定 理 可 知 , 2 2 2

a 2 = c 2 + b2 - 2 b c A? o ? ? c s

1 ? 1 ?1 6 ? 2

a 2 3 故可知答案 则可知 =1 13 , a? 4 ? 2 1 3 cos A

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为 2 13 。 考点:解三角形的运用 点评: 解决的关键是对于已知的条件合理的选择面积公式得到 c 的值, 进而利用正弦定理来 得到比值的求解,属于基础题。 48.120° 【解析】 试题分析:根据比例分别设出 b+c,c+a,a+b,三式相加即可表示出 a+b+c,进而表示出 a, b,c,判断得到 A 为最大内角,利用余弦定理即可求出 cosA 的值,由 A 的范围,利用特殊 角的三角函数值即可求出 A 的度数 设 b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k,三式相加得:2(a+b+c)=15k,即 a+b+c=7.5k,所以 a=3.5k, b=2.5k,c=1.5k,所以 A 最大,根据余弦定理得

c 2 ? b 2 ? a 2 6.25k 2 ? 2.25k 2 ? 12.25k 2 1 ? ?? 2 2bc 7.5k 2 2? ? A ? (0, ? ) ? A ? 3 cos A ?
故答案为 120° 考点:解三角形 点评:此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值,是一道中档题.根 据比例设出 k 是解本题的关键. 49.45° 【解析】 试题分析:先利用余弦定理,将面积化简,再利用三角形的面积公式,可得 cos C ? sin C , 根据 C 是△ABC 的内角,可求得 C 的值.由题意可知, S ? 那么结合余弦定理可知原式等于

a2 ? b2 ? c2 4

2ab cos C ab cos C absin C ? ?s ? ? cos C ? sin C 4 2 2
∵C 是△ABC 的内角∴C=45°,故答案为:45° 考点:余弦定理 点评:本题重点考查余弦定理的运用,考查三角形的面积公式,属于基础题. 50.

? 2? 或 3 3
a 2 ? c2 ? b2 3 ? ? ac tanB 3 c o sB ,∴ sin B

【解析】
2 2 2 试 题 分 析 : ∵ (a ? c ? b ) tan B ? 3ac , ∴

sin B ?

3 ? 2? ,故角 B 的值为 或 2 3 3

考点:本题考查了余弦定理的运用 点评:掌握余弦定理及其变形是解决此类问题的关键,应用时注意角的分类讨论
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