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高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换


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高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换 内容:三角函数的定义与三角变换 重点:任意角的三角函数定义 难点:三角变换公式的应用 内容安排说明及分析: 本部分内容分为两大块,一块是三角的基础与预备知识,另一块是三角变换公式及其应 用。把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习,其目的是突出“工具提前”的原 则。 即众多

的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具, 也是进一步研究三角函 数的图象和性质的重要工具。 由于本部分内容的基础性与工具性,这是高中数学的重要内容之一,因此,最近几年的 高考试题中占有一定的比例,约占 13%左右。有试题多为选择题,有时也有解答题,难度多 为容易题与中等题。 知识要点及典型例题分析: 一、三角函数的定义 1.角的概念 (1)角的定义及正角,负角与零角 (2)象限角与轴上角的表达 (3)终边相同的角 (4)角度制 (5)弧度制 2.任意角的三角函数定义 任意角的 6 个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。借助直角坐标系这个 工具,把角放进直角坐标系中完成的。由任意角的三角函数定义直接可以得到: (1)三角函数的定义域 (2)三角函数值在四个象限中的符号 (3)同角三角函数的关系 (4)单位圆中的三角函数线:要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及 解决三角函数问题中的作用。 3.诱导公式 总共 9 组共 36 个公式,记忆口决为“奇变偶不变,符号看象限” ,并弄清口决中的字词 含义,并根据结构总结使用功能。 “奇变”是指所涉及的轴上角为

?
2

的奇数倍时(包括 4 组:

?
2

??,

3? ??)函数名称 2

变为原来函数的余函数; 其主要功能在于:当需要改变函数名称时,比如:由于“和差化积” 公式都是同名函数的和差。使用时,对于不同名的函数先化为同名函数,又如:复数化三角 形式,有时也需要改变函数名称,如:sin?-icos?=cos( “偶不变” 是指所涉及的轴上角为

?
2

3? 3? +?)+isin( +?)。 2 2

的偶数倍时 (包括 5 组: 2k?+?, ???, 2?-?, -?) ,

函数名称不变,其主要功能在于:求任意角的三角函数值,化简及某些证明问题。 二、典型例题分析: 例 1. (1)已知-

?
2

<?<?<

?
2

, 求?+?与?-?的范围。

(2)已知?的终边在第二象限,确定?-?所在象限。 解: (1)∵-

?
2

<?<?<

?
2

,

∴-?<?+?<?,-?<?-?<0.

(2)有两种思路:其一是先把?的终边关于 x 轴对称放到-?的终边(在第三象限) ,再 将-?的终边按逆时方向旋转?放到?-?的终边即-?的终边的反向延长线,此时?-?的终边也 在第二象限。 思路 2:是先把?的终边(第二象限)按顺时针方向旋转?,得到?+(-?)(第四象限) ,

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再将它关于 x 轴对称得到-(?-?)=?-?的终边,此时也在第一象限。

k? k? ? , k?Z}, B={x|x= + , k?Z}, 则 A _____B。 4 2 4 k? ? (2k ? 1)? ? 解:由 B 中的 x= + = 可视为 的奇数倍所构成的集合。 2 4 4 4 k? ? 而 A 中的 x= 是 的所有奇数倍,因此 A?B。 4 4
例 2.若 A={x|x= 例 3.设 0<?<2?, 问 5?与角?终边相同,求?。 解:由已知 5?=2k?+?, k?Z, 有?= ∵ 0<?<2?, ∴k=1 时,?= 例 4.若

3 3? ;k=2 时,?=?;k=3 时,?= . 2 2

k? , 2

1 ? cos ? =ctg?-csc?,求?取值范围。 1 ? cos ? cos ? 1 cos ? ? 1 解: 先看一看右边=ctg?-csc?= = , 这样就决定了左边的变形方向。 sin ? sin? sin?

(1 ? cos? ) 2 (1 ? cos ? ) 2 1 ? cos ? = = , 1 ? cos ? sin 2 ? 1 ? cos2 ?
?cos ? ? 1 ? 0 ?cos ? ? 1 (1 ? cos ? ) 2 cos ? ? 1 = , ∴ ? ?? ??无解, 2 sin? sin ? ?sin ? ? 0 ?sin ? ? 0 ∴ 不存在这样的?使所给等式成立。 2 ? 例 5.已知 sin(?-?)-cos(?+?)= , <?<?. 3 2
∵ 求: (1)sin?-cos?的值 (2)sin (
3

?

2

+?)+cos (

3

?

2

+?)的值

解: (1)由已知,得 sin?+cos?= ∴ 2sin?cos?=∵

2 2 ,平方得:1+2sin?cos?= , 3 9

?
2

7 , 9

<?<?,

∴ sin?-cos?= (sin ? ? cos ? ) 2 = 1? 2 sin? cos ? = (2)sin (
3

?
2

+?)+cos (
2

3

?
2

4 . 3

+?)=cos ?-sin ?
3 3 2

=(cos?-sin?)(cos ?+sin?cos?+sin ?)

4 7 (1- ) 3 18 22 =. 27
=例 6.已知 sin(?-?)=2cos(?-2?),求下列三角函数的值: sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 5 (1) (2)1+cos2?- sin2?. 3? ? 2 3 sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 2 2 解:由已知:-sin?=2cos?,有 tg?=-2, 则

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? sin? ? 5 cos ? ? tg? ? 5 7 = =- 。 5 ? 3 cos ? ? sin? ? 3 ? tg? 5 2 (2)1+cos ?- sin2? 2 5 5 sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? sin 2? tg 2? ? 2 ? ? 2tg? 2 2 = = 2 2 2 sin ? ? cos ? tg ? ? 1
(1)原式=

(?2) 2 ? 2 ? 5(?2) 16 = . 5 (?2) 2 ? 1 a sin? ? b cos ? 评述:对于形如 为关于 sin?与 cos?的一次分式齐次式,处理的方法, c sin? ? d cos ? 5 2 就是将分子与分母同除以 cos?,即可化为只含 tg?的式子。而对于 1+cos ?- sin2?属于 2 2 2 关于 sin?与 cos?的二次齐次式。即 sin ?+2cos ?-5sin?cos?. 此时若能将分母的“1”用 2 2 sin ?+cos ?表示的话, 这样就构成了关于 sin?与 cos?的二次分式齐次式, 分子分母同除以 2 cos ?即可化为只含有 tg?的分式形式。
= 例 7.求函数 y= 25 ? x 2 +logsinx(2sinx-1)的定义域。

? ?? 5 ? x ? 5 ? ? 5? ? (k ? Z ) ? ?2k? ? ? x ? 2k? ? 6 6 ? ? ? ? x ? 2k? ? 2 (k ? Z ) ? 将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来,然后,取公共部分,由于 x?[-5,5], 故下面的不等式的范围只取落入[-5,5]之内的值,即

?25 ? x 2 ? 0 ? ?sin x ? 0 解:使函数有意义的不等式为: ? ?sin x ? 1 ?2 sin x ? 1 ? 0 ?

∴因此函数的定义域为:

3? 3? 7? ? ? ? 5? )∪(,)∪( , )∪( , )。 2 2 6 6 2 2 6 sec ? ? tg? ? 1 1 ? sin? 例 8.求证: = . sec ? ? tg? ? 1 cos ?
[-5,证法一(左边化弦后再证等价命题) 1 sin ? ? ?1 1 ? sin? ? cos ? cos ? cos ? 左边= = 1 sin ? ? ? 1 1 ? sin? ? cos ? cos ? cos ? 要证

1 ? sin? ? cos ? 1 ? sin? = 1 ? sin? ? cos ? cos ?

只需证:(1+sin?+cos?)cos?=(1-sin?+cos?)(1+sin?) 2 左边=cos?+sin?cos?+cos ? 2 2 右边=1-sin ?+cos?+cos?sin?=cos ?+cos?+sin?cos? ∵左边=右边,∴原等式成立。 或证等价命题:

1 ? sin? ? cos ? 1 ? sin? =0 1 ? sin? ? cos ? cos ?

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证法二(利用化“1”的技巧) 左边= =

?sec? ? tg? ?(1 ? sec? ? tg? ) =sec?+tg?= 1 ? sin? =右边。
sec? ? tg? ? 1
cos ?

sec ? ? tg? ? (sec 2 ? ? tg 2? ) sec ? ? tg? ? 1

证法三(利用同角关系及比例的性质) 2 2 由公式 sec ?-tg ?=1 ?(sec?-tg?)(sec?+tg?)=1 1 sec? ? tg? ? = . sec ? ? tg? 1

sec ? ? tg? ? 1 1 ? sin? =sec?+tg?= . 1 ? sec ? ? tg? cos ? 证法四(利用三角函数定义) y y r x 证 sec?= , tg?= , sin?= , cos?= . x r x r 然后代入所证等式的两边,再证是等价命题。 其证明过程同学自己尝试一下。 评述:证明三角恒等式的实质,就是逐步消除等号两边结构差异的过程,而“消除差异” 的理论依据除了必要三角公式以外,还需要有下列等式的性质: (1)若 A=B,B=C 则 A=C(传递性) (2)A=B?A-B=0 A (3)A=B? =1 (B?0) B A C (4) = ? AD=BC (BD?0) B D (5)比例:一些性质,如等比定理: a a ? a 2 ? ? ? a n a1 a 2 a a a 若 1 = 2 =??= n ,则 1 = = =??= n 。 b1 b 2 bn b1 ? b2 ? ? ? bn b1 b 2 bn
由等比定理有: 1.如果?是第二象限角,则 A、第一象限 限 2.在下列表示中正确的是( ) A、终边在 y 轴上的角的集合是{?|?=2k?+

? 所在的象限是( ) 2
C、第二象限 D、第二或第四象

B、第一或第三象限

?
2

, k?Z}

B、终边在 y=x 的直线上的角的集合是{?|?=k?+ C、与(-

?
4

, k?Z} , k?Z}

?
3

)的终边相同的角的集合是{?|?=k?-

?

3

D、终边在 y=-x 的直线上的角的集合是{?|?=2k?3.若?<?<

?
4

, k?Z}

3 log sin ? ?, 则 2 2 等于( ) 2
B、-sin? C、cos(?-?) D、-csc?

A、sin(?-?) 4.函数 y=2sin( A、2

x ? ? )在[?,2?]上的最小值是( ) 2 6
B、1 C、-1 D、-2

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5.已知函数 y=cos(sinx),下列结论中正确的是( ) A、它的定义域是[-1,1] B、它是奇函数; C、它的值域是[0, 1] D、它是周期为?的函数 6.设 0<x<

?
4

,下列关系中正确的是( ) B、sin(sinx)<sin(tgx)<sinx D、sinx<sin(tgx)<sin(sinx)

A、sin(sinx)<sinx<sin(tgx) C、sin(tgx)<sinx<sin(sinx) 7.若 sin

? 3 ? 4 = ,cos =- ,则??[0, 2?],终边在( ) 5 2 5 2

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 8.如果一弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个圆心角所对的弧长是( ) 1 1 1 ? A、sin B、 C、 D、2sin 1 2 2 6 sin 2 9.化简三角函数式 tg( A、tg

?
7

10.设??(0, A、A>B

?

2k ? 1 6 ?+ ?) (k?Z), 结果是( ) 7 2 6? ? ? B、ctg C、ctg D、-tg 7 7 7
), A ? ?cos? ?
? sin ?

2

, B ? ?sec? ?

tg?

的大小是( )

B、A≥B

C、A<B

D、A≤B

答案:

B B

D C D

A D C B C

正、余弦函数的有界性在解题中的作用 正、余弦函存在着有界性,即 sin x ? 1, cos x ? 1 ,在一些数学问题中灵活地加以运 用,沟通三角函数与数值间的关系,能大大简化解题过程。 例 1.若实数 x 满足 log2 x ? 2 sin ? ? 3 ,求 x ? 2 ? x ? 32 的值。 解:原方程可化为 sin ? ?

3 ? log2 x , 2 3 ? log2 x ? 1, 2

因为 ? 1 ? sin ? ? 1 ,所以 ? 1 ?

所以 1 ? log2 x ? 5 ,所以 2 ? x ? 32 所以 x ? 2 ? x ? 32 ? x ? 2 ? 32 ? x ? 30 。 例 2.在 ?ABC 中, cos? A ? B? ? sin? A ? B? ? 2 ,试判定三角形的形状。

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解:因为 cos? A ? B ? ? 1 , sin ? A ? B ? ? 1 ,又 cos? A ? B? ? sin? A ? B? ? 2 , 所以 cos? A ? B ? ? 1 , sin ? A ? B ? ? 1 而 ?? ? A ? B ? ? ,0 ? A ? B ? ? , 于是 A ? B ? 0 , A ? B ? 所以, A ? B ?

?
2

?
4

。故 ?ABC 为等腰直角三角形。
2

例 3.已知四边形 ABCD 中的角 A 、 C 满足 cos 求证: B ? D ? ? 证明:由已知条件有 cos
2

A?C A C 3 ? sin 2 ? sin 2 ? 3 3 2 4

A?C 1? 2A ? 1 ? 2C ? 3 ? ?1 ? cos ? ? ?1 ? cos ?? 3 2? 3 ? 2? 3 ? 4

所以 cos ?
2

A?C A?C 1 ? A?C ? cos ? ?0 ? ? cos 3 3 4 ? 3 ?

由于 cos

A?C A?C A?C 1 ? 1 。从而 cos 2 ? cos ? ?0 3 3 3 4

所以 ? cos 所以 cos

? ?

A?C 1? A?C 1? ? ? ? ? 0 ,但 ? cos ? ? ? 0, 3 2? 3 2? ?
2 2

A?C 1 A?C 1 ? ? 0 , cos ? 。 3 2 3 2 所以 A ? C ? ? ,故 B ? D ? ? 。
例 4 . 已 知 函 数 f ?x ? ? ax ? b , 2a ? 6b ? 3 , 求 证 : 对 于 任 意 x ? ?? 1,1? , 有
2 2

f ?x ? ? 2 。
? 2 ? ? 证明:因为 2a ? 6b ? 3 ,所以 ? ? 3a? ? ? ?
2 2

2

? 2b?

2

? 1。



2 2 1 cos? a ? sin ? , 2b ? cos? ,则 a ? sin ? , b ? 3 3 2
3 1 sin ?x ? cos ? ? 2 2 ? 3x 2 ? 1 1 ? sin ?? ? ? ??? ? arctg ? ? ? 2 3x ? ?

所以 f ? x ? ?

从而 f ?x ? ?

3x 2 ? 1 3x 2 ? 1 sin ?? ? ? ? ? 2 2

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又 x ? 1 ,故 f ? x ? ? 例 5.证明: 1 ? 证明:设
2

3 x ?1
2

2

?

4 ? 2 2
3 4

sin ? ?

cos ? ? 2 。
3 4

sin ? ?

cos ? ? k ,则只须证明 1 ? k ? 2 。

因为 k ? sin ? ? cos? ? 2 sin ? cos? ?

? sin ? ? cos? ?

2

? 2 sin 2?

? 1 ? sin 2? ? 2 sin 2?
因为 0 ? sin 2? ? 1,所以 1 ? k ?
2

2? 2 ?2 2,
cos ? ? 2 。
3 4

从而 1 ? k ? 2 。故 1 ?

3 4

sin ? ?

例 6.复数 z 1 , z 2 , z3 的幅角分别为 ? 、 ? 、 ? , z1 ? 1 , z 2 ? k , z3 ? 2 ? k , 且 z1 ? z 2 ? z3 ? 0 ,问 k 为何值时, cos?? ? ? ? 分别取得最大值和最小值,并求出最大值 和最小值。 解;因为 z1 ? cos? ? i sin ? , z 2 ? k ?cos ? ? i sin ? ? , z3 ? ?2 ? k ??cos? ? i sin ? ? , 因为 z1 ? z 2 ? z3 ? 0 , 所以 ?cos? ? k cos ? ? ?2 ? k ?cos? ? ? i?sin ? ? k sin ? ? ?2 ? k ?sin ? ? ? 0 。 因而 cos? ? ?k cos ? ? ?2 ? k ?cos? , sin ? ? ?k sin ? ? ?2 ? k ?sin ? 。 两式平方相加得 1 ? k 2 ? ?k ? 2? ? 2k ?k ? 2?cos?? ? ? ?
2

由题设知 k ? 0 , k ? 2 , 所以 cos?? ? ? ? ?

?k ? 2?2 ? k 2 ? 1 ? 1 ? 3 ??(*) 2 2k ?k ? 2? 2?k ? 1? ? 2
2?k ? 1? ? 2
2

因为 cos?? ? ? ? ? 1 ,所以 ? 2 ?

3

?0,

解之得

1 3 ?k? 。 2 2 1 。 2

由(*)知,当 k ? 1 时, ?cos ?? ? ? ??min ? ? 又由(*)及

1 3 1 3 ? k ? 知,当 k ? 、 时, ?cos?? ? ? ??min ? ?1。 2 2 2 2

例 7.设 a 为无理数,求证:函数 f ?x ? ? cos x ? cosax 不可能是周期函数。

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证明:假设 f ?x ? 是周期函数,则存在常数 T ? 0 ,使对于任意的 x ,

cos?x ? T ? ? cosa?x ? T ? ? ? cos x ? cosax 都成立。
令 x ? 0 得, cos T ? cos aT ? ? cos 0 ? cos 0 ? 2 因为 cosT ? 1 , cosaT ? 1,所以 cos T ? cos aT ? 1 从而 T ? 2 K? , aT ? 2L? K , L为整数 所以 a ?

?

?

aT L ? 。 T K
L 为有理数,但 a 为无理数,这是不可能的,故命题成立。 K

此时 K , L 为整数,则

1. (2002 年全国)在(0,2?)内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( ) 。

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? 5? ) C、 ( , 4 4
A、 ( 解:在 (

? ?

B、 ( D、 (

?
4

,?)

?
4

,? ) ? (

? ? ? 5? , ) 内,sinx>cosx,在 [ , ? ] 内 sinx>cosx;在 (? , ) 内,sinx>cosx;综 4 2 2 4

5? 3? , ) 4 2

上,∴ 应选 C。 2. (2001 年全国) tg 3000 ? ctg 4050 的值为( ) 。 A、 1? 3
0

B、 1? 3
0

C、 ? 1? 3

D、 ? 1? 3

解: tg 300 ? ctg 405

? tg (3600 ? 600 ) ? ctg (3600 ? 450 ) ? ?tg 600 ? ctg 450 ? ? 3 ?1
∴ 应选 B。 3. (1998 年全国)已知点 P(sin?-cos?,tg?)在第一象限,则在[0,2?]内?的取值范围是 ( )

5? ? ? 5? ) ) B、 ( , ) ? (? , 2 4 4 4 2 4 ? 3? 5? 3? ? ? 4? )?( , ) ,? ) C、 ( , D、 ( , ) ? ( 2 4 4 2 4 2 3 ?sin ? ? cos? ? 0 ?sin ? ? cos? ? ? 解:由题设,有 ?tg? ? 0 ?? ? 3? ?0 ? ? ? 2? ?? ? (0, 2 ) ? (? , 2 ) ? ?
A、 (

? 3?
,

) ? (? ,

在[0,2?)的范围内,在同一坐标系中作出 y=sinx 和 y=cosx 的图像,可在 ?? (

? 5?
4 , 4

) 时,sin?>cos?。

∴?? (

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4

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应选 B。 4. (1998 年全国)sin600?的值是( ) 。 A、

1 2

B、 ?

1 2

C、

3 2

D、 ?

3 2

解:sin600?=sin(360?+240?)=sin240? =sin(180?+60?)=-sin60? =? ∴应选 D。

3 2


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