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必修2——3.3.4两条平行直线间的距离


3.3.4 两条平行直线间的 距离

两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长
两平行线间的距离处处相等

1. 怎样判断两条直线是否平行?

2.设l1//l2,如何求l1和l2间的距离? 1)能否将平行直线间的距离转化为点到直线 的距离? 2) 如何取点,可使计算简单?

例7 已知直线 l : 2x ? 7 y ? 8 ? 0 和 l : 6 x ? 21y ? 1 ? 0 2 1 l1 与l2 是否平行?若平行,求 l1与 l2的距离.
解: l 1的斜率 k 1 ? 2 7 , l 2的斜率 k 2 ? 6 21 ? 2 7 .

因为 k 1 ? k 2 ,所以 l1 // l 2 .
先求 l1与 x 轴的交点 A 的坐标,容易知道
点 A 到直线 l 2的距离 d ? 6 ? 4 ? 21 ? 0 ? 1 6 ? 21
2 2

A 点坐标为(

4 , 0)

?

23 3 53

?

23 159

53

? l 1与 l 2间的距离为

23 159

53

例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
解: 在l2上任取一点,如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
? d ? 2?3? 7?0? 8 2 ? (?7)
2 2

两平行线间的 距离处处相等

?

14 53

?

14

53 53

直线到直线的距离转化为点到直线的距离

例3. 求证:两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0间的距离为
d ? | c1 ? c 2 | A ? B
2 2

小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0

的距离公式是

d =

Ax

0

+ By A
2

0

+ C
2

+ B

当A=0或B=0时,公式仍然成立.

2.两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是
d = C1 - C A
2 2 2

+ B


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