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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(浙江.理)含详解 (2)


2009 年普通高等学校招生全国统一考试



学(理科)

本试卷分为选择题和非选择题两部分。全卷共五页,选择题部分 1 至 2 页。非选择题部分 3 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分种。 请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)

/>注意事项: 1、 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2、 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应试题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在答题纸上。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) ; 如果事件 A,B 互相独立,那么 P(A.B)=P(A) .P(B) 如果事件A在一次试验中发生地概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生K次的 概率: P( K) =C n P( 1-P) ( k =0, 1, 2, ...n) m 球的表面积公式: S ? 4? R 球的体积公式: V ?
4 3
2
k k n -k

?R

3

其中R表示球的半径 棱柱的体积公式V=Sh 其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高,棱锥的体积公式: V ? 其中S表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高,棱台的体积公式: V ? 其中分别表示棱台的上、下底面积、h 表示棱台的高 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1) 设 U=R, A ? { x | x ? 0}, B ? { x | x ? 1}, 则 A ? ?u B ? (A) { x | 0 ? x ? 1} P( K) =C n P( 1-P) ( k =0, 1, 2, ...n) m
k k n -k

1 3 1 3

Sh h ( S1 + S1S 2 + S 2 )

(B) { x | 0 ? x ? 1}

(C) { x | x ? 0}

(D) { x | x ? 1}

(2)已知 a、b 是实数,则“a>0,b>0”是 a+b>0 且 ab>0 的

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 S ? 4? R 2
2 z ?z ?
2

(3)设 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 (A)-1-i
1 x

(B)-1+ i

(C)1- i

(D)1+i

(4)在二项式 ( x ? ) 5 的展开式中,含 x4 的项的系数是 (A)-10 (B)10 (C)-5 (D)5 (5)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 式 侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 (A)300 (B)450 (C)600 (D)900 (6)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (7) 设向量 a,b 满足︱a︱=3,︱b︱=4, a ? b =0.以 a,b,a-b 的模为边长 构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (8)已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图像不可能是
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(9)过双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的右顶点

A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的

两条渐近线的交点分别为 B,C.若 AB = BC ,则双曲线的离心率是
2

1

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(A)

2

(B)

3

(C)

5

(D)

10

(10)对于正实数 ? ,记 M ? 为满足下述条件的函数 f(x)构成的集合:? x1 , x 2 ? R 且 x 2 > x1 , 有- ? ( x 2 - x1 )<f( x 2 )-f( x1 )< ? ( x 2 - x1 ).下列结论正确的是 (A)若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 , 则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1?? 2
? (B) 若 f ( x ) M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 且 g ( x ) ? 0, 则 f ( x) g (x) ?M
?1 ?2

(C) 若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 , 则 f ( x ) ?

g ( x ) ? M ? 1? ? 2

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(D) 若 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 , 且 ? 1 > ? 2,则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1 ? ? 2

2009 年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理科)
非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (11)设等比数列 { a n } 的公比 q ? 则
S4 a4 ? _____________.
1 2

,前 n 项和为 S n ,

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(12)若某几何体的三视图(单元:cm)如图所示,则 此几何体的体积是________ cm 3 .
? x ? y ? 2, ? (13)若实数 x,y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4, 则 2 x ? 3 y ? x ? y ? 0, ?

的最小值是__________. (14)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价,该地区的电网销售电 价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 高峰电价 (单位:元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 低谷电价 (单位:元/千瓦时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间用电量为 200 千瓦时, 低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答) 。
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观察下列等式:
C5 ? C5 ? 2 ? 2 ,
1 5 3

C9 ? C9 ? C9 ? 2 ? 2 ,
1 5 9 7 3

C 13 ? C 13 ? C 13 ? C 13 ? 2
1 5 9 13 1 5 9 13

11

?2 ,
5 15

C 17 ? C 17 ? C 17 ? C 17 ? C 17 ? 2
17

?2 ,
7

?? 由以上等式推测到一个一般的结论: 对于 n∈ N * , C 4 n ? 1 ? C 4 n ? 1 ? C 4 n ? 1 ? … ? C 4 n ? 1 ? _________.
1 5 9 4 n ?1
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(16)甲、乙、丙三人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人 不区分站的位置,则不同的站法种数是________(用数字作答) (17)如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点, 为线段 EC(端点除外)上一动点, F 现将 ? AFD 沿 AF 折起, 使平面 AFD⊥平面 ABC,在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足, AK=t, 设 则 t 的取值范围是_______.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (18) 本题满分 14 分) ? ABC 中, A、 C 所对应的边分别为 a、 c, ( 在 角 B、 b、 且满足 co s
??? ???? ? AB ? A C =3.
A 2

=

2 5 5

,

(Ⅰ)求 ? A B C 的面积; (Ⅱ)若 b+c=6,求 a 的值。
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(19) (本题满分 14 分)在 1,2,3?,9,这 9 个自然数中,任取 3 个数. (Ⅰ)求这 3 个数中,恰有一个是偶数的概率; (Ⅱ)记ξ 为这三个数中两数相邻的组数, (例如:若取出的数 1、2、3,则有两组相邻的数 1、2 和 2、3,此时ξ 的值是 2) 。求随机变量ξ 的分布列及其数学期望 Eξ .
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(20) (本题满分 15 分)如图,平面 P A C ⊥平面 A B C , ? A B C 是以 A C 为斜边的等腰直角 三角形。 E , F , O 分别为 PA , PB , PC 的中点, AC ? 16, PA ? PC ? 10 。 (I) 设 C 是 O C 的中点,证明: P C // 平面 B O E ; (II)证明:在 ? A B O 内存在一点 M ,使 F M ⊥平面 B O E ,并求点 M 到 O A , O B 的距离。
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(21) (本题满分 15 分)已知椭圆 C 1 : 焦点且垂直长轴的弦长为 1。 (I) 求椭圆 C 1 的方程;
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y a

2 2

?

x b

2 2

,过 C 1 的 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右顶点 A (1,0)

(II) 设点 P 在抛物线 C 2 : y ? x ? h ( h ? R ) 上, C 2 在点 P 处的切线与 C 1 交于点 M , N 。
2

当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值。

(22) (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? ( k ? k ? 1) x ? 5 x ? 2 ,g ( x ) ? k x ? kx ? 1 ,
3 2 2 2 2

其中 k ? R 。 (I) 设函数 p ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 。若 p ( x )
? g ( x ), x ? 0, ? f ( x ), x ? 0 .
'
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(II)设函数 q ( x ) ? ?

是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一的非零
'

实数 x 2 ( x 2 ? x1 ) ,使得 q ( x 2 ) ? q ( x1 ) ?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由。

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数
一、选择题 1-10 BCDBC ACDCC 1、 【解析】 对于 C U B ? ? x x ? 1? ,因此 A ? ?U B ? { x | 0 ? x ? 1} . 2、 【解析】对于“ a ? 0 且 b ? 0 ”可以推出“ a ? b ? 0 且 a b ? 0 ”,反之也是成立的 3、 【解析】对于
2 z
r

学(理科)

?z ?
2

2 1? i
2

? (1 ? i ) ? 1 ? i ? 2 i ? 1 ? i
2 5? r

4、 【解析】对于 T r ? 1 ? C 5 ( x ) 项的系数是 C 5 ( ? 1) ? 1 0
2 2

(?

1 x

) ? ? ? 1? C 5 x
r r r

10 ? 3 r

,对于 10 ? 3 r ? 4,? r ? 2 ,则 x 4 的

5、 【解析】取 BC 的中点 E,则 A E ? 面 B B1C 1C ,? A E ? D E ,因此 A D 与平面 B B1C 1C 所 成 角 即 为 ?ADE
t a? n D E A ?

, 设
0

A B ?

a 则 ,

A E ?

3 2

, a

DE ?

a 2

, 即 有

3 , ?A D . ? E ?

6 0

6、 【解析】对于 k ? 0, s ? 1,? k ? 1 ,而对于 k ? 1, s ? 3,? k ? 2 ,则 k ? 2, s ? 3 ? 8, ? k ? 3 ,
11 后面是 k ? 3, s ? 3 ? 8 ? 2 ,? k ? 4 ,不符合条件时输出的 k ? 4 .

7、 【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对 于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现. 8、 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 要求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2 ? . 9、 【解析】对于 A ? a , 0 ? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,
? a2 ab B? , ?a?b a?b
2 ? a ab ,C( ,? ) ? a?b a?b ?

2? a

,? a ? 1,? T ? 2 ? ,而 D 不符合







2 2 ??? ? ??? ? ? 2a b 2a b ab ab BC ? ( 2 ,? 2 ), A B ? ? ? , 2 2 a ?b a ?b ? a?b a?b

??? ? ??? ? ? 2 2 ? ,因 2 A B ? B C ,? 4 a ? b ,? e ? ?

5.

10、 【解析】对于 ? ? ( x 2 ? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x 2 ? x1 ) ,即有 ? ? ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

?? ,



? k , 有 ?? ? k ? ? , 不 妨 设 f ( x ) ? M ? 1 , g ( x ) ? M ? 2 , 即 有

?? 1 ? k f ? ? 1 ,

?? 2 ? k g ? ? 2 , 因 此 有 ?? 1 ? ? 2 ? k f ? k g ? ? 1 ? ? 2 , 因 此 有

f ( x ) ? g ( x ) ? M ? 1? ? 2 .

二、填空题 11、答案:15 【解析】对于 s 4 ? 12、答案:18 【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为 1 ? 3 ? 3 ? 9 ,上面的长方体体积为
3 ? 3 ? 1 ? 9 ,因此其几何体的体积为 18

a1 (1 ? q )
4

1? q

, a 4 ? a 1 q ,?
3

s4 a4

?

1? q
3

4

q (1 ? q )

? 15

13、答案:4 【解析】通过画出其线性规划,可知直线 y ? ? 14、答案: 1 4 8 .4 【解析】对于应付的电费应分二部分构成,高峰部分为 5 0 ? 0 .5 6 8 ? 1 5 0 ? 0 .5 9 8 ;对于低峰部 分为 5 0 ? 0 .2 8 8 ? 5 0 ? 0 .3 1 8 ,二部分之和为 1 4 8 .4 15、答案: 2
4 n ?1

2 3

x ? Z 过点 ? 2, 0 ? 时, ? 2 x ? 3 y ?

min

?4

? ? ? 1? 2
n

2 n ?1

【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题,结论由二项构成,第二项前有 ? ? 1 ? ,二项指
n


1


5


9



2

4n?

n1?

,

2 ,

2


n 2 n ?1

1







n? N

*



C 4 n ?1 ? C 4 n ?1 ? C 4 n ?1 ? ? ? C 4 n ?1 ? 2

4 n ?1

4 n ?1

? ? ? 1? 2

16、答案:336 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人,则有 A7 种;若有一个台阶有 2 人,另一个是 1 人, 则共有 C 3 A7 种,因此共有不同的站法种数是 336 种. 17、答案: ?
?1 ? ,1 ? ?2 ?
1 2
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3

【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于 F 位于 DC 的中点时, t ? 1 ,随着 F 点 到 C 点 时 , 因 CB ? AB , CB ? DK ,? CB ? 平 面 A D B, 即 有 C B ?
C D? 2 , B C 1 ? B D ? , ? 3 ,又 AD ? 1, AB ? 2 ,因此有 A D ? B D ,则有 t ?
B D 对于 ,

1 2

,因此 t 的

取值范围是 ?

?1

? ,1 ? ?2 ?

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三、解答题 18、 解析: 因为 cos (I)
A 2 ? 2 5 5
1 2 ? , co s A ? 2 co s
2

A 2

?1 ?

3 5

, sin A ?

4 5

??? ???? ? , 又由 AB ? AC ? 3 ,

得 bc cos A ? 3, ? b c ? 5 ,? S ? A B C ?

b c sin A ? 2

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( II ) 对 于 b c ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得
a ? b ? c ? 2
2 2 2

bcco s

A ,? a ? 2 5 ? 2 0

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19、解析: (I)记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A,则 P ( A ) ? (II)随机变量 ? 的取值为 0,1, 2, ? 的分布列为

C 4C 5 C
3 9

1

2

?

10 21



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?
P

0
5 12

1
1 2

2
1 12

所以 ? 的数学期望为 E ? ? 0 ?

5 12

? 1?

1 2

? 2?

1 12

?

2
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3

20、证明: (I)如图,连结 OP,以 O 为坐标原点,分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,
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则 O ? 0, 0, 0 ? , A (0, ? 8, 0), B (8, 0, 0), C (0, 8, 0), P (0, 0, 6), E (0, ? 4, 3), F ? 4, 0, 3 ? ,由题意得,
??? ? ??? ? 因此平面 BOE 的法向 G ? 0, 4, 0 ? , 因 O B ? (8, 0, 0), O E ? (0, ? 4, 3) ,

z

? ???? ? ???? 量为 n ? ( 0 , 3, 4 ) , F G ? ( ? 4, 4, ? 3 得 n ? FG ? 0 ,又直线 F G 不在

平面 B O E 内,因此有 F G / / 平面 B O E ???? ? (II)设点 M 的坐标为 ? x 0 , y 0 , 0 ? ,则 FM ? ( x 0 ? 4, y 0 , ? 3) ,因为
???? ? ? 9 F M ? 平面 BOE,所以有 FM // n ,因此有 x 0 ? 4, y 0 ? ? ,即点 4

y

x

M 的坐标为 ? 4 , ?
?

?

9

? , 0? ,在平面直角坐标系 xo y 中, ? A O B 的内部区域满足不等式组 4 ?

?x ? 0 ? , 经检验, M 的坐标满足上述不等式组, 点 所以在 ? A B O 内存在一点 M , F M ? 使 ?y ? 0 ?x ? y ? 8 ?

平面 B O E ,由点 M 的坐标得点 M 到 O A , O B 的距离为 4,

9 4



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?b ? 1 2 ?a ? 2 y ? 2 21、解析: (I)由题意得 ? b 2 ,? ? , 所求的椭圆方程为 ? x ? 1, 4 ?1 ?b ? 1 ?2 ? a ?
2

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(II) 不妨设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), P ( t , t ? h ), 则抛物线 C 2 在点 P 处的切线斜率为 y ?
2

x ?t

? 2t ,

直 线 MN 的 方 程 为 y ? 2 tx ? t ? h , 将 上 式 代 入 椭 圆 C 1 的 方 程 中 , 得
4 x ? (2 tx ? t ? h ) ? 4 ? 0 ,即 4 ?1 ? t
2 2 2

2

?x

2

? 4 t ( t ? h ) x ? ( t ? h ) ? 4 ? 0 ,因为直线 MN
2 2 2

与椭圆 C 1 有两个不同的交点,所以有 ? 1 ? 16 ? ? t 4 ? 2( h ? 2) t 2 ? h 2 ? 4 ? ? 0 , ? ? 设线段 MN 的中点的横坐标是 x 3 ,则 x 3 ? 设线段 PA 的中点的横坐标是 x 4 ,则 x 4 ?
x1 ? x 2 2
t ?1 2

?

t (t ? h )
2

2(1 ? t )
2



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,由题意得 x 3 ? x 4 ,即有 t ? (1 ? h ) t ? 1 ? 0 ,
2

2 其中的 ? 2 ? (1 ? h ) ? 4 ? 0,? h ? 1 或 h ? ? 3 ;

2 当 h ? ? 3 时有 h ? 2 ? 0, 4 ? h ? 0 ,因此不等式 ? 1 ? 16 ? ? t 4 ? 2( h ? 2) t 2 ? h 2 ? 4 ? ? 0 不成 ? ? 2 立;因此 h ? 1 ,当 h ? 1 时代入方程 t ? (1 ? h ) t ? 1 ? 0 得 t ? ? 1 ,将 h ? 1, t ? ?1 代入不等式

4 2 2 ? 1 ? 16 ? ? t ? 2( h ? 2) t ? h ? 4 ? ? 0 成立,因此 h 的最小值为 1. ? ?

22、解析: (I)因 P ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? ( k ? 1) x ? ( k ? 5) ? 1 ,
3 2

因 所以 p ? ? x ? ? 0 在 ? 0, 3 ? 上 p ? ? x ? ? 3 x ? 2( k ? 1) x ? ( k ? 5) , p ( x ) 在区间 (0, 3) 上不单调, ....
2

有实数解,且无重根,由 p ? ? x ? ? 0 得 k (2 x ? 1) ? ? (3 x ? 2 x ? 5),
2

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?k ? ?

(3 x ? 2 x ? 5)
2

2x ?1
9 t

??

3? 9 10 ? ? ? 2 x ? 1 ? ? 2 x ? 1 ? 3 ? ,令 t ? 2 x ? 1, 有 t ? ?1, 7 ? ,记 4? ?

h (t ) ? t ?

, 则 h ? t ? 在 ? 1, 3 ? 上单调递减,在 ? 3, 7 ? 上单调递增,所以有 h ? t ? ? ? 6,10 ? ,于是 9 ? ? 6,1 0 ? ,得 k ? ? ? 5, ? 2 ? ,而当 k ? ? 2 时有 p ? ? x ? ? 0 在 ? 0, 3 ? 上有两个相

? 2 x ? 1? ?

2x ?1

等的实根 x ? 1 ,故舍去,所以 k ? ? ? 5, ? 2 ? ;

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2 2 (II)当 x ? 0 时有 q ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 3 x ? 2( k ? k ? 1) x ? 5 ;

2 当 x ? 0 时有 q ? ? x ? ? g ? ? x ? ? 2 k x ? k ,因为当 k ? 0 时不合题意,因此 k ? 0 ,

下面讨论 k ? 0 的情形,记 A ? ( k , ?? ) ,B= ? 5, ? ? ? (ⅰ)当 x1 ? 0 时, q ? ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上 单调递增, 所以要使 q ? ? x 2 ? ? q ? ? x1 ? 成立, 只能 x 2 ? 0 且 A ? B , 因此有 k ? 5 , (ⅱ) x1 ? 0 当

时, q ? ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递减,所以要使 q ? ? x 2 ? ? q ? ? x1 ? 成立,只能 x 2 ? 0 且 A ? B ,因 此 k ? 5 ,综合(ⅰ) (ⅱ) k ? 5 ; 当 k ? 5 时 A=B,则 ? x1 ? 0, q ? ? x1 ? ? B ? A ,即 ? x 2 ? 0, 使得 q ? ? x 2 ? ? q ? ? x1 ? 成立,因为
q ? ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上单调递增,所以 x 2 的值是唯一的;

同理, ? x1 ? 0 ,即存在唯一的非零实数 x 2 ( x 2 ? x1 ) ,要使 q ? ? x 2 ? ? q ? ? x1 ? 成立,所以 k ? 5 满足题意.
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