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【创新设计】2015-2016学年高中数学 1.2.2第2课时分段函数及映射学案 新人教A版必修1


第 2 课时

分段函数及映射

[学习目标] 1.掌握简单的分段函数,并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系.

[知识链接] 1.函数的定义:设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合

A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A.
2.作函数的图象通常分三步,即列表、描点、连线. [预习导引] 1.分段函数 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常 叫做分段函数. 2.映射的概念 映射的定义:设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射.

要点一 分段函数求值

例1

x+1,x≤-2, ? ? 2 已知函数 f(x)=?x +2x,-2<x<2, ? ?2x-1,x≥2.

5 (1)求 f(-5),f(- 3),f[f(- )]的值; 2 (2)若 f(a)=3,求实数 a 的值. 解 (1)由-5∈(-∞,-2],- 3∈(-2,2),

5 - ∈(-∞,-2],知 f(-5)=-5+1=-4, 2

f(- 3)=(- 3)2+2(- 3)=3-2 3.

1

5 3 3 ? 5? ∵f?- ?=- +1=- ,而-2<- <2, 2 2 2 ? 2? 5 3 ? 3? ? 3?2 ? 3? 9 ∴f[f(- )]=f?- ?=?- ? +2×?- ?= -3=- . 2 2 2 2 4 ? ? ? ? ? ? 4 (2)当 a≤-2 时,a+1=3, 即 a=2>-2,不合题意,舍去. 当-2<a<2 时,a +2a=3,即 a +2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得 a=1,或 a=-3. ∵1∈(-2,2),-3?(-2,2),∴a=1 符合题意. 当 a≥2 时,2a-1=3,即 a=2 符合题意. 综上可得,当 f(a)=3 时,a=1,或 a=2. 规律方法 1.分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求 值. 2.已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值, 但应注意检验分段解析式的适用范围;也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再 求解. 1 ? ?x+1,x<1, 跟踪演练 1 已知函数 f(x)=? ? ? x-1,x>1, 1 A.0 B. 3 答案 C 解析 f(2)= 2-1=1. 要点二 分段函数的图象及应用 例2
? ?x 已知 f(x)=? ?1 ?
2 2 2

则 f(2)等于(

)

C.1 D.2

?-1≤x≤1?, ?x>1或x<-1?,

(1)画出 f(x)的图象; (2)求 f(x)的定义域和值域. 解 (1)利用描点法,作出 f(x)的图象,如图所示.

(2)由条件知,函数 f(x)的定义域为 R. 由图象知,当-1≤x≤1 时,f(x)=x 的值域为[0,1], 当 x>1 或 x<-1 时,f(x)=1,
2
2

所以 f(x)的值域为[0,1]. 规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式,所以它的 图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段或 射线,而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”. 2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转 化为分段函数来画图象. 3.画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”. -7,x∈?-∞,-2], ? ? 跟踪演练 2 作出 y=?2x-3,x∈?-2,5], ? ?7,x∈?5,+∞? -7,x∈?-∞,-2], ? ? 解 y=?2x-3,x∈?-2,5], ? ?7,x∈?5,+∞?. 图象如下图.

的图象,并求 y 的值域.

值域为 y∈[-7,7].

要点三 映射的概念 例 3 以下给出的对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射? (1)集合 A={P|P 是数轴上的点},集合 B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对 应; (2)集合 A={P|P 是平面直角坐标系中的点},集合 B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系 f: 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合 A={x|x 是三角形},集合 B={x|x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应它的内 切圆; (4)集合 A={x|x 是新华中学的班级},集合 B={x|x 是新华中学的学生},对应关系 f:每一 个班级都对应班里的学生. 解 (1)按照建立数轴的方法可知,数轴上的任意一个点,都有唯一的实数与之对应,所以这 个对应 f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射. (2)按照建立平面直角坐标系的方法可知, 平面直角坐标系中的任意一个点, 都有唯一的一个 实数对与之对应,所以这个对应 f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射. (3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应,所以这个对应 f:A→B 是从集合 A 到集合 B
3

的一个映射. (4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个, 即与一个班级对应的学生不止一个, 所以这 个对应 f:A→B 不是从集合 A 到集合 B 的一个映射. 规律方法 映射是一种特殊的对应,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的; (2)唯一性: 集合 A 中的任意一个元素在集合 B 中都有唯 一元素关系,可以是:一对一,多对一,但不能一对多. 跟踪演练 3 下列对应是从集合 M 到集合 N 的映射的是( )

1 2 ①M=N=R,f:x→y= ,x∈M,y∈N;②M=N=R,f:x→y=x ,x∈M,y∈N;③M=N=R,

x

f:x→y=
A.①② 答案 D

1 3 ,x∈M,y∈N;④M=N=R,f:x→y=x ,x∈M,y∈N. |x|+x B.②③ C.①④ D.②④

解析 对于①,集合 M 中的元素 0 在 N 中无元素与之对应,所以①不是映射.对于③,M 中 的元素 0 及负实数在 N 中没有元素与之对应,所以③不是映射.对于②④,M 中的元素在 N 中都有唯一的元素与之对应,所以②④是映射.故选 D.

1.下列集合 A 到集合 B 的对应中,构成映射的是(

)

答案 D 解析 在 A、B 选项中,由于集合 A 中的元素 2 在集合 B 中没有对应的元素,故构不成映射, 在 C 选项中,集合 A 中的元素 1 在集合 B 中的对应元素不唯一,故构不成映射,只有选项 D 符合映射的定义,故选 D. 2.函数 y=|x|的图象是( )

4

答案 B
?x,x≥0, ? 解析 ∵y=|x|=? ?-x,x<0, ?

∴B 选项正确.

x +1,x≤1 ? ? 3.设函数 f(x)=?2 ,x>1 ? ?x
A. C. 1 B.3 5 2 13 D. 3 9

2

,则 f(f(3))等于(

)

答案 D 2 13 ?2?2 解析 ∵f(3)= ,∴f(f(3))=? ? +1= . 3 9 ?3?
?-x,x≤0, ? 4.设函数 f(x)=? 2 ?x ,x>0. ?

若 f(α )=4,则实数 α 等于(

)

A.-4 或-2 B.-4 或 2 C.-2 或 4 D.-2 或 2 答案 B 解析 当 α ≤0 时,f(α )=-α =4,∴α =-4; 当 α >0 时,f(α )=α =4,∴α =2 或-2(舍去). 5.某客运公司确定车票价格的方法是:如果行程不超过 100 千米,票价是每千米 0.5 元;如 果超过 100 千米, 超过部分按每千米 0.4 元定价, 则客运票价 y(元)与行程 x(千米)之间的函 数关系式是________.
? ?0.5x,0≤x≤100 答案 y=? ?10+0.4x,x>100 ?
2

解析 由题意得,当 0≤x≤100 时,y=0.5x;当 x>100 时 y=100×0.5+(x-100)×0.4= 10+0.4x.

1.对映射的定义,应注意以下几点: (1)集合 A 和 B 必须是非空集合,它们可以是数集、点集,也可以是其他集合. (2)映射是一种特殊的对应,对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达. 2.理解分段函数应注意的问题: (1)分段函数是一个函数,其定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并 集.写定义域时,区间的端点需不重不漏. (2)求分段函数的函数值时,自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.
5

(3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其是作分段函数的图象时,可先将各段 的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象.

一、基础达标 1.以下几个论断 ①从映射角度看,函数是其定义域到值域的映射; ②函数 y=x-1,x∈Z 且 x∈(-3,3]的图象是一条线段; ③分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集; ④若 D1,D2 分别是分段函数的两个不同对应关系的值域,则 D1∩D2=?. 其中正确的论断有( A.0 个 答案 C 解析 函数是特殊的映射,所以①正确;②中的定义域为{-2,-1,0,1,2,3},它的图象是 直线 y=x-1 上的六个孤立的点;因此②不正确;由分段函数的概念可知③正确,④不正确.
?10,x<0, ? 2.已知 f(x)=? ?10x,x≥0, ?

) C.2 个 D.3 个

B.1 个

则 f[f(-7)]的值为(

)

A.100 B.10 C.-10 答案 A
?10,x<0, ? 解析 ∵f(x)=? ?10x,x≥0, ?

D.-100

∴f(-7)=10.

f[f(-7)]=f(10)=10×10=100.
|x| 3.函数 f(x)=x+ 的图象是(

x

)

答案 C 解析 f(x)=?
? ?x+1,x>0, ?x-1,x<0, ?

画出 f(x)的图象可知选 C. 4.已知集合 A 中元素(x,y)在映射 f 下对应 B 中元素(x+y,x-y),则 B 中元素(4,-2)

6

在 A 中对应的元素为( A.(1,3) B.(1,6) C.(2,4) D.(2,6) 答案 A 解析 由题意得?

)

? ?x+y=4, ? ?x-y=-2,

解得?

? ?x=1, ? ?y=3.

5.设 f:x→ax-1 为从集合 A 到 B 的映射,若 f(2)=3,则 f(3)=________. 答案 5 解析 由 f(2)=3,可知 2a-1=3,∴a=2, ∴f(3)=3a-1=3×2-1=5.
? ?x +1?x≥0?, 6.函数 f(x)=? ? ?2-x?-2≤x<0?
2

的值域是________.

答案 [1,+∞) 解析 当 x≥0 时,f(x)≥1, 当-2≤x<0 时,2<f(x)≤4, ∴f(x)≥1 或 2<f(x)≤4,即 f(x)的值域为[1,+∞).
? ?x -4,0≤x≤2, 7.已知函数 f(x)=? ?2x,x>2. ?
2

(1)求 f(2),f[f(2)]的值; (2)若 f(x0)=8,求 x0 的值. 解 (1)∵0≤x≤2 时,f(x)=x -4, ∴f(2)=2 -4=0,
2 2

f[f(2)]=f(0)=02-4=-4.
(2)当 0≤x0≤2 时, 由 x0-4=8, 得 x0=±2 3(舍去); 当 x0>2 时,由 2x0=8,得 x0=4. ∴x0=4. 二、能力提升 8.已知 f(x)=?
? ?x-5,x≥6, ?f?x+2?, ?
2

x<6,

则 f(3)为(

)

A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A 解析 f(3)=f(3+2)=f(5),
7

f(5)=f(5+2)=f(7),
∴f(7)=7-5=2.故 f(3)=2.

?1? 9.已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则 f[f? ?]等于( ?3?

)

1 1 A.- B. 3 3 2 2 C.- D. 3 3 答案 B 解析 由图可知,函数 f(x)的解析式为
?x-1,0<x<1, ? f(x)=? ?x+1,-1<x<0, ?

2 ?1? 1 ∴f? ?= -1=- , 3 3 3 ? ? 2 1 ?1? ? 2? ∴f[f? ?]=f?- ?=- +1= . 3 3 ?3? ? 3?
? ?1-x ,x≤1, 10.设函数 f(x)=? 2 ?x +x-2,x>1, ?
2

则 f?

? 1 ?的值是________. ? ?f?2??

答案

15 16
2

解析 f(2)=2 +2-2=4,∴ ∴f?

1 1 = , f?2? 4

? 1 ?=f?1?=1-?1?2=15. ? ? ? ?4? 16 ?f?2?? ?4? ? ?

11.已知函数 y=|x-1|+|x+2|. (1)作出函数的图象; (2)写出函数的定义域和值域. 解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号,第一个绝对值的分段点 x=1,第二个绝对值 的分段点 x=-2,这样数轴被分为三部分:(-∞,-2],(-2,1],(1,+∞), 所以已知函数可写为分段函数形式:

y=|x-1|+|x+2|

8

-2x-1 ?x≤-2?, ? ? =?3 ?-2<x≤1?, ? ?2x+1 ?x>1?. 在相应的 x 取值范围内,分别作出相应函数的图象,即为所求函数的图象,如图.

(2)根据函数的图象可知:函数的定义域为 R,值域为[3,+∞). 三、探究与创新 12.“水”这个曾经被人认为取之不尽,用之不竭的资源,竟然到了严重制约我国经济发展, 严重影响人民生活的程度.因为缺水,每年给我国工业造成的损失达 2 000 亿元,给我国农 业造成的损失达 1 500 亿元,严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水,某市打算 出台一项水费政策,规定每季度每人用水量不超过 5 吨时,每吨水费 1.2 元,若超过 5 吨而 不超过 6 吨时,超过的部分的水费按原价的 200%收费,若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部 分的水费按原价的 400%收费,如果某人本季度实际用水量为 x(x≤7)吨,试计算本季度他应 交的水费 y(单位:元). 解 由题意知,当 0<x≤5 时,y=1.2x, 当 5<x≤6 时,

y=1.2×5+(x-5)×1.2×2=2.4x-6.
当 6<x≤7 时,

y=1.2×5+(6-5)×1.2×2+(x-6)×1.2×4=4.8x-20.4.
1.2x,0<x≤5, ? ? 所以 y=?2.4x-6,5<x≤6, ? ?4.8x-20.4,6<x≤7. 13.如图所示,在边长为 4 的正方形 ABCD 边上有一点 P,由点 B(起点)沿着折线 BCDA,向点

A(终点)运动.设点 P 运动的路程为 x,△APB 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数解析式.

1 解 当 0≤x≤4 时,S△APB= ×4x=2x; 2

9

1 当 4<x≤8 时,S△APB= ×4×4=8; 2 当 8<x≤12 时,

S△APB= ×4×(12-x)=24-2x.
2x ?0≤x≤4?, ? ? ∴y=?8 ?4<x≤8?, ? ?24-2x ?8<x≤12?.

1 2

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