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必修2——3.1.2两条直线平行与垂直的判定


3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时,取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上 的方向所成的角叫做直线l的倾斜角. 倾斜角不是900的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率,常用k来表示.

k ? tan ? ?? ? 90??
经过两点P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式 : 1 y2 ? y1 k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

两直线的平行与垂直 的判定
1.能根据两直线的斜率判定两直 线是否平行或垂直 2.能根据两直线的平行或垂直关 系确定直线的斜率

设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.
y
l1 l2

α1
O

α2
x

结论1:对于两条不重合的直线l1、l2,其 斜率分别为k1、k2,有

l1∥l2

k1=k2.

思考1、两条直线平行,它们的斜率相等吗?
有可能斜率都不存在 思考2、如果两条直线的斜率相等,它们平 行吗? 有可能重合

例题讲解

平行关系

例1、已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并 证明你的结论。

解 : k BA k PQ

3?0 1 ? ? 2 ? ( ?4 ) 2 2 ?1 1 ? ? ? 1 ? (?3) 2

y

A
Q P

B

O

x

? k BA ? k PQ ? BA∥ PQ

例题讲解

平行关系

例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0, 0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试 判断四边形ABCD的形状,并给出证明。 1 1 解 : k AB ? ? kCD ? ? y 2 2 D 3 3 C k BC ? k DA ? 2 2 A O ? k AB ? kCD , k BC ? k DA B ∥ ? AB∥ CD, BC DA

x

因此四边形ABCD是平行四边形.

设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、 α2( α1、α2≠90°).
y l2 l1

α1
O

α2
x

结论2:如果两条直线l1、l2都有斜率(两 直线的斜率都不等于0),且分别为k1、k2, 则有 l1⊥l2 k1k2=-1.

思考1、两条直线互相垂直,它们的斜率 之积等于-1吗? 有可能一条直线斜率为0, 另一条直线斜率不存在 思考2、如果两条直线的斜率之积等于-1, 它们垂直吗? 一定垂直

例题讲解

垂直关系

例3 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3), Q(6,-6),判断直线AB与PQ的位置关系.

解 : k AB k PQ

6?3 2 ? ? 3 ? (?6) 3 ?6?3 3 ? ?? 6?0 2

? k AB ? k PQ ? -1 ? BA ? PQ

例题讲解

垂直关系

例4、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)

三点,试判断△ABC的形状。 1 ? (?1) 1 解 : k AB ? ? ?? 1? 5 2 3 ?1 k BC ? ?2 2 ?1 ? k AB ? k BC ? ?1

y

C B

O
0

x

? AB ? BC 即?ABC ? 90 因此?ABC是直角三角形.

A

小结 结论1:对于两条不重合的直线l1、l2, 其斜率分别为k1、k2,有
l1∥l2 k1=k2.

结论2:如果两条直线l1、l2都有斜率,

且分别为k1、k2,则有
l1⊥l2

k1k2=-1.

特别地,当两直线中有的斜率不存在时……

例题讲解

综合

(1)a ? ?1或a ? 3 3 (2)a ? 2


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