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空间向量解决空间距离问题


空间距离问题的向量解法

一、求点到平面的距离
一般方法:
利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段,再计算这个 垂线段的长度。

P
d

?

O

还可以用等积法求距离.

向量法求点到平面的距离

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n
?
A ?

P

? n

d
O

? ??? ? 其中 AP 为斜向量, n 为法向量。

二、直线到平面的距离
l

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n
A ?

P
d
O

? n

? ??? ? 其中 AP 为斜向量, n 为法向量。

三、平面到平面的距离

? n
P

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n

?
d
A ?

O

四、异面直线的距离

??? ? ? | AP ? n | d ? ? n

? n
a
b
P

??? ? AP ? ?

n?

?

A

? ? ? n 是与 a, b

都垂直的向量

作业 1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 1,E为D1C1的中点,求下列问题:

求异面直线D1B与A1E的距离.

z
E

D1
A1

C1

B1
D
C

A

y

x

B

解:1)以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴, DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系D ? xyz,如图所示 1 则D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 z ???? ? ? ???? ? 1 ? ? A1 E ? ? ?1, , 0 ? , D1B ? ?1,1, ?1? 2 ????? ? E ? ? ???? ? D1 C1 设n ? ( x, y, z )是与 A1E , D1B都垂直的向量, ? ???? ? 1 ? A1 则? B1 n ? A E ? 0, ? x ? y ? 0, ? ? 1 ? 2 ? ? ? ???? ? ?n ? D1 B ? 0, ? ? x ? y ? z ? 0, ? D ? y ? 2 x, C 即? 取x= 1,得其中一个n ? (1, 2,3) ? z ? 3x, ???? ? ? B 选A1E与BD1的两点向量为D1 A1 ? ?1,0,0 ? , A ???? ? ? ? D1 A1 ? n 14 得A1E与BD1的距离 d ? ? ? 14 n

y

x

四种距离的统一向量形式:

??? ? ? 直线到平面的距离: | AP ? n | d ? ? 平面到平面的距离: n
异面直线的距离:

点到平面的距离:

小结
利用法向量来解决上述立体几何题目,最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置,完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性,用代数推理解立体 几何题目,关键就是得建立空间直角坐标系, 把向量通过坐标形式表示出来,所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如:正 (长)方体、直棱柱、正棱锥等。


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