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05-06第二学期期末考试线性代数试卷及答案


2005~2006 学年第二学期《线性代数》试卷
题 号 得 分 一 二 三 四 总分

一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)

? A1 0 ? ?1 1. 设A ? ? ? 0 A ?, 其中 A1,A2均可逆,则 A ? ? 2? ? ? 2 4 9? ? ? 2. A ? ? 0 ? 1 2 ? , A* ? 则 ? 0 0 3? ? ? 3. 设? 1 ?( ,, ,? 2 ?(? 1 , , 2 1 1 1 ) 2 ? ), ? 3 ?( , , 1 0 3 ? ),则 ? 1,? 2,? 3线性 4. 设三阶方阵 A的特征值分别为 1 , , , 则A ?1的特征值为 2 3 为



,A 2的特征值

5.已知 A为4阶方阵,且 R(A) 3,? 1、? 2 是Ax ? b的两个解向量,其中 ? 1 ? ? 2 ?( , 0,) , ? 1 1, 2 ? ? 1 ? ? 2 ?( , 1, ? ,则 Ax ? b的通解为 1 0, 3 )
二、选择题(每小题 3 分,共 15 分)

1. 设A为3阶方阵,则 ? 2 A ? A) 2 A B) 2 3 A C) ? 2 3 A C) 1 ,,) ( 1 0 D) ? 2 A 2. 已知 ? 1 ?( , ,)、 ? 2 ?( , , 1 0 0 0 0 1), ? 是? 1、? 2的线性组合,则 ? ? A) 2, ,) B) ? 3 ,,) ( 0 0 ( 1 4 D) 0 , 1 ,) ( ? 0 3. 若A、B均为 n阶方阵,下列正确的是 A) 若A、B均可逆,则 A ? B也可逆 C) 若A ? B可逆,则 A ? B也可逆
4. 设A为m ? n矩阵,则 Ax ? 0满足条件 A)R(A) n ? B) m ? n C) n ? m

( ( ( B) 若A、B均可逆,则 AB也可逆 D) 若A ? B可逆,则 A、B均可逆
时有非零解 D) ( A) ? min( m, n) R (

) ) )



5. 对于 n阶实对称矩阵 A以下结论正确的是 A)它的特征值一定为正数 ; B) 一定有 n个不同的特征值; C) 存在正交矩阵 T,使 T ?AT成对角矩阵; D) 属于不同特征值的特征 向量必线性无关,但不 一定正交





1

三、计算题(共 60 分)

x 1. 求行列式 D ? y y y

y x y y

y y x y

y y y x ( 分) 6

? 1 0 1? ? ? 2.设矩阵 A ? ? 0 2 0 ?,矩阵 X满足 AX ? I ? A 2 ? X,求 X . ( 分) 6 ? 1 0 1? ? ?

3. 已知 ? ?( 2 3 1 ), ? ?(1

1 1 ), A ? ? ?? ,求 A n . ( 分) 6 2 3

2

4. 求向量组 ? 1 ?( , 5 , 2 , 3 ? ? 1 ), ? 2 ?( ,, , 5 1 1 0 ? ), ? 3 ?(? 1 , ,, 3 3 1 ? )的秩和 该向量组的一个极大无 关组。 ( 分) 6

5. 对于非齐次线性方程组 ? 2 x1 ? x 2 ? x 3 ? 2 ? ? x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ? ? x ? x ? 2 x ? ?2 2 3 ? 1 当?取何值时有解,何时无 解,有解时求出全部解 。 ( 分) 14

? 2 0 4? ? ? 6. 求一个正交矩阵 P使P AP ? ?为对角阵,其中 A ? ? 0 1 0 ? ( 分) 12 ? 4 0 2? ? ?
?1

7. 已知二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? tx1 ? tx 2 ? tx3 ? 2 x1 x 2 ? 2 x1 x 3 ? 2 x 2 x 3 ,问
2 2 2

1 t满足什么条件时,二次 型为正定二次型? ) 2 t满足什么条件时,二次 型为负定二次型? ) ( 分) 10

四、证明题(10 分)

已知 ?1,? 2, ? r 的秩为 r,证明向量组 ? 1,? 1 ? ? 2,? 1 ? ? 2 ? ? 3, , ? ?

?1 ? ? 2 ? ? ? ? r 的秩为 r .

3

2005~2006 学年第二学期《线性代数》试卷答案
一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)

1.

? A1 ?1 ? ? 0 ?

0 ? ? ?1 A2 ? ?

. 2.

36

.3 .

相 关. 4.

1,

1 1 , , 1, 4 , 9 2 3

5.

? 0 ? ?1? ?1? ? 1 ? ?1? ? ? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 2 2 ? 1 ? ? k ? 0 ? , k ? R 或x ? ? 1 ? ? k ? 0 ? k ? R 或x ? ? 1 ? ? k ? 0 ? k ? R x?? ? ?? ? ? ? ? 1? ? 1? ? 1? 2 ? 2? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? 3? ? 3? ? 3? ? 1? ? 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 2? ? 2?

二、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. C 2. A 3. B 4. A 5. C 三、计算题(共 60 分)

x ? 3y 1. ( 分)解: D ? 6 x ? 3y x ? 3y x ? 3y 1 ? ( x ? 3 y) 1 1

y x y y

y y x y 0 0 0

y y y x 0 0 x? y 0 ? ( x ? 3 y)

1 1 1 0 0 0 x? y

y y y

y y x y

y y y x

1 x

1 x? y

? ( x ? 3 y )( x ? y ) 3 ?? 6分

2( 分)解:由 AX ? I ? A 2 ? X得( A ? I)X ? A 2 ? I ?(A ? I)A ? I) ? 2分 . 6 ( ? 显然 A ? I ? 0,则 A ? I可逆,所以 ?? 3分 ? 2 0 1? ? ? X ? A ? I ? ? 0 3 0? ??? 6分 ? 1 0 2? ? ? 3. ( 分)解: A n ? (? ?? )(? ?? )? (? ?? ) ? ? ?( ? ? ? )? ( ? ? ? )? ? 3 n?1? ?? ??? 4分 6 ??? ???? ? ? ?? ??? ? ?
n个 n ?1个

? ?1 ? 1? ? ? ? 1 1 n ?1 n ?1 ? ? 3 ? 2(1 )? 3 2 ? ? 2 3 ? 3? ? ? ? ?3 ?

1 2 1 3 2

1? ? 3? 2? 3? ? 1? ?

??? 6分

4

1 ? 1 ? ? 1 ? 5 ? 3? ? 1 ? 5 ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 3 ? ??5 1 3 ? ? 0 ? 24 ? 12 ? ??5 1 4. ( 分)解: A ? ? 6 ? ? ?2 0 1 ? ?? 2 0 1 ? ? 0 ? 10 ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 5 ? 3? ? 3 1 ? 1 ? ? 0 16 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 5 ? 3? ? ? 1 ? ?0 2 ?? ????? 4分 0 0 0 ? ? ? ?0 0 0 ? ? ? ? 向量组 ? 1,? 2,? 3的秩为 2 , ???? 5分

? 1、? 2 或? 1、? 3或? 2、? 3均为该向量组的极大无 关组。

??? 6分

?2 ? ?2 ?1 ?1 2 ? ?1 1 ? 2 ? ? ? ? 5. ( 分)解:A | b ) ? ? 1 ? 2 1 14 ( ? ? ? ? 0 ? 3 3 ? (1 ? ? ) ? ? 1 1 ? 2 ?2 ? ? 0 ? 3 3 2(1 ? ?2 ) ? ? ? ? ? ? ?
?1 1 ? 2 ? ?2 ? ? ? ?0 ? 3 3 ? (1 ? ? ) ? ?????? 5分 ? ? ?0 0 0 ( 2 ? ? )(1 ? ? ) ? ? ? ?当? ? 1或? ? ?2时, R( A | b ) ? 3, ( A) ? 2, R( A | b ) ? R( A),则此时方程组无解; R 即 ????? 6分 当? ? 1时, R( A | b ) ? R( A) ? 2 ? 3,则此时方程组有无穷 多组解,此时 ??? 7分 ?1 1 ? 2 ? ? 1 1 ? 2 1? ?2 ? 1 0 ? 1 1? ? ? ? ? ? ? ?0 ? 3 3 ? (1 ? ? ) ? ? ? 0 ? 3 3 0 ? ? ? 0 1 ? 1 0 ? ? ? ? 0 0 0 0? ?0 0 0 ( 2 ? ? )(1 ? ? ) ? ? 0 0 0 0? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 1? ? ? ? ? 所以此方程组的通解为 :x ? ? 0 ? ? k ? 1?, k ? R ? 0? ? 1? ? ? ? ? ???? 9分

????10分

当? ? ?2时, R( A | b ) ? R( A) ? 2 ? 3,则此时方程组有无穷 多组解,此时 ???11分 ?1 1 ? 2 ? ? 1 1 ? 2 4 ? ? 1 1 ? 2 4? ?2 ? 1 0 ? 1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? 3 3 ? (1 ? ? ) ? ? ? 0 ? 3 3 ? 6 ? ? ? 0 1 ? 1 2 ? ? ? 0 1 ? 1 2 ? ? ? ? 0 0 0 0? ?0 0 0 ( 2 ? ? )(1 ? ? ) ? ? 0 0 0 0 ? ? 0 0 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 1? ? ? ? ? 所以此方程组的通解为 :x ? ? 2 ? ? k ? 1?, k ? R ?????14分 ? 0? ? 1? ? ? ? ?

5

2?? 6. ( 分)解: ? ?I ? 12 A 0 4

0 1? ? 0

4 0 2?? ??? 3分 ? (? ? 6)(1 ? ? )( ? ? 2)??? 2分

令 A ? ?I ? 0 ? A的特征值为 ?1 ? ?2,? 2 ? 1,?3 ? 6 ? 4 0 4? ? 1 0 1? ? ? ? ? 当?1 ? ?2时, A ? 2 I ? ? 0 3 0 ? ? ? 0 1 0 ? ? 4 0 4? ? 0 0 0? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 所以得对应 ?1 ? ?2时的特征向量为: ?1 ? ? 0 ? ? 1? ? ? ? 1 0 4? ? 1 0 0? ? ? ? ? 当? 2 ? 1时, A ? I ? ? 0 0 0 ? ? ? 0 0 1 ? ? 4 0 1? ? 0 0 0? ? ? ? ? ? 0? ? ? 所以得对应 ? 2 ? 1时的特征向量为: ? 2 ? ? 1 ? ? 0? ? ? 4 ? ? 1 0 ? 1? ?? 4 0 ? ? ? ? 当?3 ? 6时, A ? 6 I ? ? 0 ? 5 0 ? ? ? 0 1 0 ? ? 4 0 ? 4? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 所以得对应 ?3 ? 6时的特征向量为: ? 3 ? ? 0 ? ? 1? ? ? ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ? ?1、? 2、? 3正交 ? ? 1? ? ? ? 0? ? ? ? 1?

??? 5分

??? 7分

??? 9分

? ? ?2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? e1 ? 1 ? ? ? 1 ?, e 3 ? 3 ? ? 0 ?, e 2 ? ? 0? ?1 ?2 ? ? ?3 2? ? 2? ? 1 0 1
? ? ? ?? ? ? 正交矩阵 P ? ? ? ? ? 2 2 0 2 2 0 1 0 2? ? ?? 2 ? 2 ? ? ? ?1 0 ? 使P AP ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 6? ? ? ? 2 ?

???10分

???12分

6

1? ?t 1 ? ? 7. ( 分)解:二次型对应的 矩阵为 A ? ? 1 t ? 1?, 则 10 ????? 2分 ?1 ? 1 t ? ? ? t 1 A的各阶顺序主子式分别 为: A1 ? t A2 ? ? t2 ?1 1 t t A3 ? A ? 1 1 t 1 ? 1 ? ( t ? 2)(1 ? t ) 2 t ????? 4分

1 ?1

1 )要使二次型为正定,则 ? A1 ? t ? 0 ? 2 ?t?2 ? A2 ? t ? 1 ? 0 ? 2 ? A3 ? ( t ? 2)(1 ? t ) ? 0 2 )要使二次型为负定,则 ? A1 ? t ? 0 ? 2 ? t ? ?1 ? A2 ? t ? 1 ? 0 ? 2 ? A3 ? ( t ? 2)(1 ? t ) ? 0
四、证明题(10 分)

????? 7分

?????10分

? ?1 ? ?1 ?? ? 1 ? ? ? ? ?? ? ? ?1 ? ? 2 ? ?1 1 ?? ? 2 ? 证明: ????? 4分 ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1 ?? ? ? ? ?? r ? 2 r ? ? 1 1 ?1 ? ? ? 1 1 ?1 1 ? ? ? 1 ? 0, ? 矩阵 ? ????? 6分 ?可逆, ? ? ? ? ? ? ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? ? 所以向量组 ? 1,? 2, ? r 与向量组 ? 1,? 1 ? ? 2,? 1 ? ? 2 ? ? 3, , ? ?

? 1 ? ? 2 ? ? ? ? r 等价, ?????8分 又? 1,? 2, ? r 的秩为 r ? 所以向量组 ? 1,? 1 ? ? 2,? 1 ? ? 2 ? ? 3, ,? 1 ? ? 2 ? ? ? ? r 的秩为 r ?
?????10分

7


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