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常坟中学2013—2014学年度高三模拟试题数学卷一(文科)


怀远县常坟中学 2013—2014 学年度高三模拟试题 高三模拟试题数学(文史类)
第I卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 A={x|x -x≤0},函数 f(x)=2-x(x∈A) 的值域为 B,则(CRA)∩B 为 A.(1,2] B. [1,2] C.[0,1] D.(1,+∞)
2

2.已知 i 为虚数单位,复数 z= A. ?

1 ? 2i ,则复数 z 的虚部是 2?i
C.
| x|

3 i 5

B. ?

3 5

4 i 5

D.

4 5

?1 3.已知 a ? (e ,1) ,则函数 y ? a ? | log a x | 的零点的个数为

A.1

B.2
2

C.3
2

D.4

x y 4. 已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正△MF1F 2,若 a b 边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为 A.4+2 3 B. 3-1 C. 3+1 2 D. 3+1

5. 阅读下边的程序框图,若输出 S 的值为-14 则判断框内可填写 A.i<6? B.i<8? C.i<5? D.i<7?

6 已知一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为( ) A 24? B 42? C 38? D 39? 7.已知曲线 y ? 2sin ? x +

? ?

π? 1 ?π ? ? cos ? -x ? 与直线 y ? 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右 2 4? ?4 ?
) C. 3π D. 4π

依次记为 P1, P2, P3,?,则| P P |等于( 1 5 A. π B. 2π

?x ? y ?1 ? 0 ? 8.已知 ? x ? y ? 1 ? 0 ,且 u ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 8 ,则 u 的最小值为( ) ? y ? ?1 ? 1 A. 3 2 B. C. 2 D. 9 2 2 2 2
9.已知正项等比数列 ?a n ?满足: a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 a m , a n ,使得 a m a n ? 4a1 , 则

1 4 ? 的最小值为( ) m n 3 5 A. B. 2 3

C.

25 6

D.不存在

10.已知函数 f(x)= 的充要条件是( A.b<-2 且 c>0 )

1 ? ?| x ? |, x ? 0 x ? ?0, x ? 0 ? 则关于 x 的方程 f2(x) +bf(x) +c=0 有 5 个不同实数解
D. b ? -2 且 c=0

B.b>-2 且 c<0

C.b<-2 且 c=0

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置 1 1. 函数 y ? log 0.3 12. 已知 2 ?
( ? x2 ?2 x)

的单调递增区间是

a a 2 2 3 3 4 4 ? 2 ,3 ? ? 3 ,4 ? ?4 ?? , 8 ? ? 8 ,a, t 均为 t t 3 3 8 8 15 15


正实数,类比上述等式,推测 a, t 的值,则 a ?t ? 13.函数 f ( x) ? ? 是 ;

?(a ? 1) x ? a ( x ? 1) , (a ? 0且 a ? 1) 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围 ? loga (x ? 1) (x ? 1)

14. 已知向量 a ? (2,3), b ? ( x, y ), x ? ?0,1,2,3,4?, y ? ?? 2,?1,1,2?,则 a ? b 的概率

15.下列命题中正确的有

a 1 ? ) ? 25 对任意正实数 m, n 恒成立,则正实数 a 的最小值为 16. m n x x (2)命题“ ?x ? 1, 2 ? a ? 0 ”的否定为“ ?x ? 1, 2 ? a ? 0 ”
(1)若不等式 (m ? n)( (3)在一个 2 ? 2 列联表中,计算得 K 2 ? 13 ,则有 99%的把握确定这两个变量间有关系. (4)函数 f ( x) ? sin x ? x 的零点个数有三个. 临界值表: 0.02 0.01 0.00 P (k 2 ? k0 ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.001 5 0 5 0.45 0.70 1.32 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 k0 10.828 5 8 3 2 6 1 4 5 9 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答写在答题卡的规定区域内. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2m sin x ? 2 3m sin x cos x ? n , (m ? 0) ,定义域为 ?0, ? , 2
2

值域为 ?- 5,4? .

? ?? ? ?

(1)求 f (x) 表达式; (2)若函数 g (x) 与 f (x) 关于直线 x ?

?
2

对称,求 g (x) 的增区间.

17. (本小题满分 12 分) 某中学的高二(1)班男同学有 45 名, 女同学有 15 名, 老师按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (Ⅰ)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (Ⅱ)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先 从小组里选出 1 名同学做实验, 该同学做完后, 再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验, 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (Ⅲ)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为 68,70,71,72,74 ,第二次做试 验的同学得到的试验数据为 69,70,70,72,74 ,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.

18. (本小题满分 12 分) 在各项均为正数的等比数列 ?a n ?中, 已知 a 2 ? 2a1 ? 3 , 且 3a 2 , a 4 , 5a3 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 3 a n ,求数列 ?a n bn ? 的前 n 项和 S n .

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形,且 AB= 2,BC=1,E,F 分别为 AB,PC 中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)若平面 PAC⊥平面 ABCD,求证:平面 PAC⊥平面 PDE.

P

F

D

C

A

E

B

20.(本题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ?

ax , 在x ? 1 处取得极值为 2. x ?b
2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若函数 f (x) 在区间 (m,2m ? 1) 上为增函数,求实数 m 的取值范围;

ax ax 图象上的任意一点,直线 l 与 f ( x) ? 2 x ?b x ?b 切于点 P,求直线 l 的斜率的取值范围.
(Ⅲ)若 P( x0 , y 0 )为 f ( x) ?
2

的图象相

21. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点为 F ( ,) . 0 (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 y ? k ( x ? ) 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,且 FA ? 2 FB ,求 k 的值; (Ⅲ)设点 P 是抛物线 C 上的动点,点 R 、 N 在 y 轴上,圆 ( x ? 1) ? y ? 1 内切于
2 2

1 2

1 2

?PRN ,求 ?PRN 的面积最小值.

怀远县 2012-2013 学年高三模拟试题
数学试卷(文科)
全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一、选择题: (50 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题: (25 分) 11、____________ 12、____________ 13、

14、____________

15、____________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 16、 (12 分)

17、 (12 分)

18、 (12 分)

19、 (12 分)

20、 (13 分)

21、 (14 分)

怀远县 2012-2013 学年高三模拟试题
文科数学参考答案及评分标准(仅供参考) 一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 【-1,0) ; 12.71. ; 13.a ? ? ,1? 1 A 2 B 3 B 4 D 5 B 6 B 7 B 8 D 9 A 10 C

?1 ? ?2 ?

14.

1 ; 20

15. (1)、 (3)

三、解答题 16.解: (1) f ( x) ? ?2m sin(2 x ? 令 t ? 2x ?

?

?

? 7? , t ?[ , ] 6 6 6

) ? m ? n, x ?[0, ] 6 2

?

1 H (t ) ? ?2m sin t ? m ? n,sin t ?[? ,1] , 2 1 ? ?m?3 ? H (t ) max ? ?2m(? ) ? m ? n ? 4 ?? ?? 2 ? n ? ?2 ? H (t ) min ? ?2m ? m ? n ? ?5 ? ? f ( x) ? ?6sin(2 x ? ) ? 1 6
(2)? g ( x)与f ( x) 关于直线 x ?

? m ? 0,

?

??6 分

?
2

对称

? g ( x) ? 6sin(2 x ? ) ? 1 6
由 2k? ?

?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k? ?

?
2



x ? [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z 6 3

?

??12 分

#17. 【解析】

P?
(Ⅰ)

n 4 1 1 ? ? m 60 15 ? 某同学被抽到的概率为 15 ??????2 分

45 x ? 设有 x 名男同学,则 60 4 ,? x ? 3 ? 男、女同学的人数分别为 3,1 ??????4 分

(Ⅱ)把 3 名男同学和 1 名女同学记为

a1 , a2 , a3 , b

,则选取两名同学的基本事件有

(a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , b), ( a2 , a1 ), ( a2 , a3 ), ( a2 , b), ( a3 , a1 ), ( a3 , a2 ), ( a3 , b), (b, a1 ), (b, a2 ), (b, a3 )
共 12 种,其中有一名女同学的有 6 种

? 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为

P?

6 1 ? 12 2 ???????????8 分

(Ⅲ)

x1 ?

68 ? 70 ? 71 ? 72 ? 74 69 ? 70 ? 70 ? 72 ? 74 ? 71 x2 ? ? 71 5 5 ,

s12 ?

(68 ? 71) 2 ? ? (74 ? 71) 2 (69 ? 71) 2 ? ? (74 ? 71) 2 2 ? 4 s2 ? ? 3.2 5 5 ,

第二同学的实验更稳定?????????12 分 18.解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由题意得 q ? 0, 且?

? a2 ? 2a1 ? 3, ? a1 (q ? 2) ? 3, 即? 2 ?3a2 ? 5a3 ? 2a4, ?2q ? 5q ? 3 ? 0,

6 ? ?a1 ? 3, ?a1 ? ? 5 解得 ? 或? (舍去) , ? q ? 3 ?q ? ? 1 2 ?
所以数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? 3 ? 3
n ?1

? 3n , n ? N *. .
n

??????? 6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 bn ? log3 an ? n, 所以 a n bn ? n ? 3 . 所以 S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3 ,
2 3 n

所以 3S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3
2 3 4 2 3 n

n ?1

,
n ?1

两式相减得 2Sn ? ?(3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? n ? 3

?

? 3(1 ? 3n ) 3 ? (2n ? 1) ? 3n ?1 , ? n ? 3n ?1 ? 2 1? 3
???????? 12

3 ? (2n ? 1) ? 3n ?1 即 Sn ? . 4
19.证明: (1)方法一:取线段 PD 的中点 M,连结 FM,AM.

1 因为 F 为 PC 的中点,所以 FM∥CD,且 FM= CD. 2 因为四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, 1 所以 EA∥CD,且 EA= CD. 2
P

F

D A N E B

C

所以 FM∥EA,且 FM=EA. 所以四边形 AEFM 为平行四边形. 所以 EF∥AM. 又 AM? 平面 PAD,EF? 平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. ??? 6 分

方法二:连结 CE 并延长交 DA 的延长线于 N,连结 PN.因为四边形 ABCD 为矩形, P

F

D A 所以 AD∥BC, E

Q

C B

所以∠BCE=∠ANE,∠CBE=∠NAE. 又 AE=EB,所以△CEB≌△NEA.所以 CE=NE. 又 F 为 PC 的中点,所以 EF∥NP. 又 NP? 平面 PAD,EF? 平面 PAD,所以 EF∥平面 PAD. 方法三:取 CD 的中点 Q,连结 FQ,EQ. 在矩形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,所以 AE=DQ,且 AE∥DQ. 所以四边形 AEQD 为平行四边形,所以 EQ∥AD. 又 AD? 平面 PAD,EQ? 平面 PAD,所以 EQ∥平面 PAD. ?????6 分

因为 Q,F 分别为 CD,CP 的中点,所以 FQ∥PD. 又 PD? 平面 PAD,FQ? 平面 PAD,所以 FQ∥平面 PAD. 又 FQ,EQ? 平面 EQF,FQ∩EQ=Q,所以平面 EQF∥平面 PAD. 因为 EF? 平面 EQF,所以 EF∥平面 PAD. (2)设 AC,DE 相交于 G. ???????????? 6 分

在矩形 ABCD 中,因为 AB= 2BC,E 为 AB 的中点.所以

DA CD = = 2. AE DA

又∠DAE=∠CDA,所以△DAE∽△CDA,所以∠ADE=∠DCA. 又∠ADE+∠CDE=∠ADC=90°,所以∠DCA+∠CDE=90°. 由△DGC 的内角和为 180°,得∠DGC=90°.即 DE⊥AC. 因为平面 PAC⊥平面 ABCD 因为 DE? 平面 ABCD,所以 DE⊥平面 PAC, 又 DE? 平面 PDE,所以平面 PAC⊥平面 PDE. ?????????? 13 分 20.解: (Ⅰ)已知函数 f ( x) ?

a( x 2 ? b) ? ax(2 x) ax ,∴ f ?( x) ? ( x 2 ? b) 2 x2 ? b
? f ?(1) ? 0 ∴? ? f (1) ? 2

又函数 f ( x)在x ? 1 处取值极值 2,

? a(1 ? b) ? 2a ? 0 ?a ? 4 ? 即? a ?? , ? 2      ?b ?1 ?1 ? b ?
(Ⅱ)∵ f ?( x) ?

∴ f ( x) ?

4x . x ?1
2

???????? 5 分

4( x 2 ? 1) ? 4 x(2 x) 4 ? 4x 2 ? 2 ,由f ?( x) ? 0 , ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2

得 4 ? x ? 0,即 ? 1 ? x ? 1.
2

所以 f ( x) ?

4x 的单调增区间为[ ? 1 ,1]. x ?1
2

因函数 f ( x)在(m,2m ? 1) 上单调递增,

? m ? ?1 ? 则有 ? 2m ? 1 ? 1 , ?2 m ? 1 ? m ?

解得 ? 1 ? m ? 0即m ? (?1,0]时, 函数f ( x)在(m,2m ? 1) 上为增函数. ???? 9 分 (Ⅲ)∵ f ( x) ?

4( x 2 ? 1) ? 4 x(2 x) 4x ,∴ f ?( x) ? . ( x 2 ? 1) 2 x2 ?1

直线 l 的斜率 k ? f ?( x0 ) ?

2 4( x0 ? 1) ? 4 x0 (2 x0 ) , 2 ( x0 ? 1) 2

即 k ? 4[

1 2 1 1 ? 2 ], 令 2 ? t , t ? (0,1] , 则 k ? 8t (t ? ) 2 ( x ? 1) x0 ? 1 x0 ? 1 2
2 0

1 从而得 k 的取值范围是 [? ,4] . 2
21.解:(Ⅰ) 设抛物线 C 的方程为 y ? 2 px( p ? 0),
2

????????? 13 分



p 1 ? ,即 p ? 1 , 2 2
2

所以抛物线 C 的方程为 y ? 2 x (Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 | FA |? 2 | FB | 得故 x1 ?

1 1 1 ? 2( x2 ? ) 即 x1 ? 2 x2 ? 2 2 2



1 ? k2 2 ? y ? k(x ? ) 2 2 ? 0 故 x1 ? x2 ? 2 ? 1 ② 2 k x ? (k 2 ? 2) x ? ? 4 k ? y2 ? 2x ? 1 ③ x1 x2 ? 4 1 2 2 解①②③构成的方程组得 x1 ? 1, x2 ? , k ? ? 4 3 2 2 4 2 又由 ? ? (k ? 2) ? k ? 4 ? 4k ? 0 ,即 ?1 ? k ? 1 ,所求得的 k 适合,

2 2 3 (Ⅲ)设 P( x0 , y0 ), R(0, b), N (0, c) ,且 b ? c
因此所求得的 k 的值为 ?

?直线 PR 的方程为 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0 b ? 0
?圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 内切于 ?PRN ,由则圆心(1,0)到直线 PR 的距离为 1, | y0 ? b ? x0 b | ? ? 1 化简得 ( x0 ? 2)b 2 ? 2 y0 b ? x0 ? 0 2 2 ( y0 ? b) ? x0
同理可得 ( x0 ? 2)c ? 2 y0 c ? x0 ? 0
2

由于 x0 ? 2 ,所以 b, c 为方程 ( x0 ? 2) x ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,
2

?b ? c ?

2 2 2 2 y0 x0 4 x0 ? 4 y 0 ? 8 x0 4 x0 2 ? , bc ? ,? (b ? c) ? 2 ? x0 2 ? x0 ( x 0 ? 2) 2 ( x0 ? 2) 2 2 x0 1 4 b ? c x0 ? ? ( x0 ? 2) ? ? 4 ? 8, 2 x0 ? 2 x0 ? 2

? S ?PRN ?

当且仅当 x0 ? 4 时取等号,所以 ?PRN 的面积最小值为 8


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