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指数函数图像与性质(第二节)


第2课时

指数函数及其性质的应用

1.复习回顾指数函数的概念、图象和性质; 2.通过典型例题初步掌握指数函数在解决实际问题 中的应用; 3.通过典型例题初步掌握指数函数的图象和性质在

解题中的应用

2.指数函数的图象与性质:
底数

0 ? a ?1

a ?1

图象

定义域

R

值域
性质

(0, ??)
(1)过定点(0,1),x=0时,y=1
(2)R上减函数 (2)R上增函数

例1.比较下列各题中两个值的大小:

?1?1.7 ,1.7 ; ? 2 ? 0.8 0.3 3.1 ? 3?1.7 , 0.9 .
2.5 3

?0.1

, 0.8

?0.2

;

分析:根据指数函数的性质进行比较。 解:(1)根据函数y=1.7x的性质,1.72.5<1.73。

(2)根据函数y=0.8x的性质,0.8-0.1<0.8-0.2。 (3)根据函数y=1.7x的性质,1.70.3>1.70=1, 根据函数y=0.9x的性质,0.93.1<0.90=1,

所以1.70.3>0.93.1

例2.求下列函数的定义域:
(1) y ? 3
x ?2

;

答案: (1) [2, ??); (2) (??,0) ? (0, ??). 例3、若函数 f ( x) ? a ? 3 恒过定点P,试求点 P的坐标。
x ?1

1 (2) y ? ( ). 2

1 x

解:将指数函数 的图象沿x轴 右移一个单位,再沿y轴上移3个单位即 可得到 f (x) ? a ? 3 的图象,因为的 f (x) ? a ? 3 图象恒过(0,1),故相应的恒过定点 (1,4)。
y ? a x (a ? 0且a ? 1)
x ?1

x ?1

练习:函数y=ax-2+1(a>0且a≠1)图像恒过定 点

例4.解下列不等式:
(1) 2 ? 4
x x ?1

(2) a

3x ?1

?a

2x ?4

(a ? 0,a ? 1)

分析:根据指数函数的单调性把指数不等式 转化为代数不等式。 解:(1)由 2 x ? 4 x ?1 ,得 2x ? 22 x?2 ,

根据指数函数的单调性得
解这个不等式得 x ? ?2.

x ? 2 x ? 2.

(2)当0<a<1时,根据指数函数的单调

性得不等式3x-1≥2x-4 解这个不等式得x≥-3. 当a>1时,根据指数函数的单调性得不等式
3x-1≤2x-4 解这个不等式得x≤-3. 所以,当0<a<1时,不等式的解是x≥-3; 当a>1时,不等式的解是x≤-3.

【点评】本题的不等式通常称为指数不等式,

解这类不等式的基本方法是根据指数函数的 单调性转化为代数不等式,在底数不确定时
要注意分类讨论。

练习:求不等式a
2 x ?7 4 x ?1

2 x ?7

? a 4 x?1 (a ? 0且a ? 1)

中x的取值范围。

解:当a > 1时,函数在R上是增函数,所以 a ?a ? 2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ? x ? ?3 ; 当0 < a < 1时,函数在R上是减函数,所以 。 a ?a ? 2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ? x ? ?3 复合函数单调性的应用 指数函数的单调性应用十分广泛,可以用来 比较数或式的大小,求函数的定义域、值域、 最大值、最小值、求字母参数的取值范围等。
2 x ?7 4 x ?1

例5、求函数 域、单调区间。

1 x2 ?6 x ?17 f ( x) ? ( ) 的定义域、值 2

[解析] 1t 函数 f(x)的定义域为 R.令 t=x -6x+17, 则 f(t)=( ) . 2
2

∵t=x -6x+17=(x-3) +8 在(-∞,3)上是减函数, 1t 而 f(t)=( ) 在其定义域内是减函数, 2 ∴函数 f(x)在(-∞,3)上为增函数.

2

2

又∵t=x2-6x+17=(x-3)2+8 在[3,+∞)上为增函数, 1t 而 f(t)=(2) 在其定义域内是减函数, ∴函数 f(x)在[3,+∞)为减函数. 1t ∵t=x -6x+17=(x-3) +8≥8,而 f(t)=(2) 在其定义域
2 2

内是减函数, 1 x2-6x+17 1 8 1 ∴f(x)=(2) ≤(2) =256, 1 ∴函数 f(x)的值域为(0,256].

对复合函数 y ? f [ g ( x)]
u ? g ( x) 增
y ? f (u )
y ? f [ g ( x)]

增 减

减 增

减 减











(简记为同增异减)


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