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苏北四市2011届高三年级第二次调研考试数学


苏北四市 2011 届高三年级第二次调研考试 数学 I
一、填空题: 1. 若 2. 已

a?i (i 是虚数单位)是实数,则实数 a 的值是_________ 1? i
知 集 合

A ? {x | x ? 1}, B ? {x | x2 ? 2x ? 0}





A ? B =_________
3. 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,从该校 200 名授课 抽取 20 名教师,调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果 示如下:据此可估计该校上学期 200 名教师中使用多媒体进行教学 【15,30】内的人数是_________ 4. 在如图所示的流程图中,输出的结果是_________ 5. 若以连续两次骰子得到的点数 m,n 分别作为点 P 的横坐标和纵坐 在圆 x2 ? y 2 ? 16 内的概率是 教师中随机 用茎叶图表 次 数 在

标,则点 P

?0 ? x ? 1 ? 2 2 6. 在约束条件 ?0 ? y ? 2 下,则 ( x ? 1) ? y 的最小值是_________ ?2 y ? x ? 1 ?
7. 一个匀速旋转的摩天轮每 12 分钟转一周,最低点距地面 2 米,最高 米,P是摩天轮轮周上一定点,从P在最低点时开始计时,则16 距地面的高度是_________ 点距地面 18 分钟后P点

8. 已知集合 A ? {( x, y) || x | ? | y |? 1}, B ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? r 2 , r ? 0} 若点(x,y)? A是点(x,y)? B的必要条件,则r 的最大值是_________ 9. 已知点A(0,2)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l,线段 FA 交抛物线与点 B,过 B 做 l
2

的垂线,垂足为 M,若 AM⊥MF,则 p=_________ 10. 若函数 f ( x) ? ?
x ? ?2 , x ? 0 ,则函数 y ? f ( f ( x)) 的值域是_________ ?x ? 2 , x ? 0 ? ?

11. 如图所示,在直三棱柱中,AC⊥BC,AC=4,BC=CC1=2,若用平行于三棱柱 A1B1C1-ABC 的某一侧面的平面 去截此三棱柱,使得到的两个几何体能够拼接成长方体,则长方体表面积的最小 值为 。 12. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,A、B 是其左右顶点,动点 M 满足 4 2

MB⊥AB, 为直径的 AB,AC 与 值 是

连接 AM 交椭圆与点 P,在 x 轴上有异于点 A、B 的定点 Q,以 MP 圆经过直线 BP、MQ 的交点,则点 Q 的坐标为_________ 13. 在三角形 ABC 中, 过中中线 AD 中点 E 任作一直线分别交边

???? ? ??? ? ???? ??? ? M、N 两点,设 AM ? xAB, AN ? xAC,( xy ? 0) 则 4x+y 的最小

_________ 14. 如图是一个数表,第一行依次写着从小到大的正整数,然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的 下方, 得到下一行, 数表从上到下与从左到右均为无限项, 则这个数表中的第 13 行, 第 10 个数为_________ 1 二、解答题 2 3 4 5 6 7 ? 3 5 7 9 11 13? 8 12 16 20 24? ? ? ?

15.

如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 A 在 x 轴 正 半 轴 上 , 直 线 AB 的 倾 斜 角 为

?AOB ? ? , ? ? (
(1) 用 ? 表示 OA

? 3

3 ? ,OB=2 , 设 4

, ? ) 2 4
B

??? ? ??? ? (2) 求 OA ? OB 的最小值.

A

16.如图,已知四面体 ABCD 的四个面均为锐角三角形,EFGH 分别是边 AB,BC,CD,DA 上的点,BD|| 平面 EFGH,且 EH=FG。 (1) 求证:HG||平面 ABC (2) 请在平面 ABD 内过点 E 做一条线段垂直于 AC,并给出 证 明。

17.如图,已知位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点(0,1)且被 x 轴分成的两段圆弧长之比为 1:2,过点 H(0, t)的直线 l 于圆 C 相切于 MN 两点,且以 MN 为直径的圆恰好经过坐标原点 O。 (1) 求圆 C 的方程; (2) 当 t=1 时,求出直线 l 的方程; (3) 求直线 OM 的斜率 k 的取值范围。

18 .心理学家研究某位学生的学习情况发现:若这位学生刚学完的知识存留量为 1 ,则 x 天后的存留量

y1 ?

4 ;若在 t(t>0)天时进行第一次复习,则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间 x?4

忽略不计) ,其后存留量 y2 随时间变化的曲线恰好为直线的一部分,其斜率为

a (a ? 0) ,存留量随时间 (t ? 4)2

变化的曲线如图所示。当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时,则称此时刻为“二次复习 最佳时机点” (1)若 a=-1,t=5,求“二次复习最佳时机点” ; (2)若出现了“二次复习最佳时机点” ,求 a 的取值范围。

y2 Y1

t

19.已知各项均为正数的等差数列 {an } 的公差 d 不等于 0,设 a1 , a3 , ak 是公比为 q 的等比数列 {bn } 的前三项, (1)若 k=7, a1 ? 2 (i)求数列 {anbn } 的前 n 项和 Tn; (ii)将数列 {an } 和 {bn } 的相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列 {cn } ,设其前 n 项和为 Sn,求

S2n ?n?1 ? 22n?1 ? 3? 2n?1(n ? 2, n ? N *) 的值
(2)若存在 m>k, m ? N 使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列,求证 k 为奇数。
*

20.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, f1 ( x) ?
2

1 2 4 5 1 x ? x ? ln x, f 2 ( x) ? x 2 ? 2ax, a ? R 6 3 9 2

(1)求证:函数 f ( x ) 在点 (e, f (e)) 处的切线横过定点,并求出定点的坐标;

(2)若 f ( x) ? f 2 ( x) 在区间 (1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 a ?

2 时,求证:在区间 (1, ??) 上,满足 f1 ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) 恒成立的函数 g ( x) 有无穷多个。 3

连云港市 2011 届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准
一、填空题: 1. ?1 ; 2. x x ? 0

?

?;

3.100;

4. 60 ;

5.

2 ; 9

6.

2 5 5

7.14;

8.

2 ; 2

9. 2 ;

10. (?1, ? ) ? ( ,1) ; 11.24;

1 2

1 2

12. (0,0) ;

13.

9 ; 4

14. 216 (或者 65536) .

二、解答题: 15. (1)在△ ABC 中,因为 OB ? 2 , ? BAO 由正弦定理,得 OB =

p , ? ABO 4

p-

p 3p - q= - q, 4 4

sin


p 4

OA ,??????????????3 分 sin ?ABO
?????6 分

3p 2 OA ,所以 OA = 2 2 sin( - q) . = 3 p 4 2 sin( - q) 4 2

注:仅写出正弦定理,得 3 分. 若用直线 AB 方程求得 OA = 2(sin q + cos q) 或 OA ? 2 2 sin(? ? 分.

?
4

) 也得

uur uu u r 3p | OA | 鬃 | OB| cosq=4 2 sin( - q) ?cos q ,???????8 分 4 ? ? 2(sin 2? ? cos 2? ) ? 2 ? 2 2 sin(2? ? ) ? 2 , ???????10 分 4 p 3p p 5p 7p ), 所以 2q + ? ( , ) , 因为 q ? ( , 2 4 4 4 4 uur uu u r p 3p 5p OB 的最小值为 2 ? 2 2 .?14 分 所以当 2q + = ,即 q = 时, OA× 4 2 8 16. (1)因为 BD //平面 EFGH , 平面BDC ? 平面EFGH ? FG ,所以 BD // FG . 同理 BD // EH ,又因为 EH ? FG ,
(2)由(1)得 OA ?OB 所以四边形 EFGH 为平行四边形, 所以 HG // EF ,又 HG ? 平面ABC , 所以 HG ? 平面ABC . ????????????????????6 分 (2)在 平面ABC 内过点 E 作 EP ? AC ,且交 AC 于 P 点,

uur uu u r

在 平面ACD 内过点 P 作 PQ ? AC ,且交 AD 于 Q 点, 连结 EQ ,则 EQ 即为所求线段.??????????????????10 分 证明如下:

EP ? AC ? ? ? AC ? 平面EPQ ? PQ ? AC ? ? ? EQ ? AC ?????????????14 分 EQ ? 平面EPQ ? ? EP ? PQ ? P ?
17 解: (1)因为位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点 (0,1) ,所以圆心 C 在直线 y ? 1 上, 设圆 C 与 x 轴的交点分别为 A 、 B , 由圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 2 : 1 ,得 ?ACB ? 所以 CA ? CB ? 2 ,圆心 C 的坐标为 (?2,1) , 所以圆 C 的方程为: ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 . ????????????4 分

2? , 3

(2)当 t ? 1 时,由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? mx ? 1 ,

?4 ? x? 2 ? ? y ? mx ? 1 ?x ? 0 ? m ?1 由? 得 或? , ? 2 2 2 y ? 1 m ? 4 m ? 1 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 ? ? ?y ? ? m2 ? 1 ? ?4 m2 ? 4m ? 1 , ), N (0,1) , 不妨令 M ( 2 m ?1 m2 ? 1 因为以 MN 为直径的圆恰好经过 O (0, 0) , ???? ? ???? ?4 m2 ? 4m ? 1 m 2 ? 4m ? 1 , ) ? (0,1) ? m ? 0, 所以 OM ? ON ? ( 2 m ?1 m2 ? 1 m2 ? 1 解得 m ? 2 ? 3 ,所以所求直线 l 方程为 y ? (2 ? 3) x ? 1 或 y ? (2 ? 3) x ? 1 .
????????????10 分 (3)设直线 MO 的方程为 y ? kx ,

由题意知,

?2k ? 1
2

3 ≤ 2 ,解之得 k ≤ , 4 1? k 3 4 4 3

同理得, ? ≤ ,解之得 k ≤ - 或 k >0 . 由(2)知, k =0 也满足题意. 所以 k 的取值范围是 (??, ? ] ? [0, ] .

1 k

4 3

3 4

???????????????14 分

18. 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为 y , 由题意知, y2 ?

a 8 (x ? t) ? (t ? 4) 2 (t ? 4) t?4

????????????2 分

所以 y ? y2 ? y1 ?

a 8 4 (x ? t) ? ? (t ? 4) 2 (t ? 4) t?4 x?4

????????4 分

(1) 当 a ? ?1, t ? 5 时,

y?

?( x ? 4) 4 5 4 ?1 8 4 ? ? ? 1 ≤ ?2 ( x ? 5) ? ? ?1 ? , 2 81 x?4 9 (5 ? 4) 5? 4 x ? 4 81
??????10 分

当且仅当 x ? 14 时取等号, 所以“二次复习最佳时机点”为第 14 天. (2) y ?

a 8 4 ?a( x ? 4) 4 8 a(t ? 4) (x ? t) ? ? ?? ? ? ? 2 2 (t ? 4) t?4 x?4 (t ? 4) x ? 4 t ? 4 (t ? 4) 2

≤ ?2

?4a 8?a , ? 2 (t ? 4) t?4

????????????????14 分

当且仅当

? a( x ? 4) 4 ? 即x ? 2 x?4 (t ? 4)
2 ?a

2 ?a

(t ? 4) ? 4 时取等号,

由题意

(t ? 4) ? 4 ? t ,所以 ?4 ? a ? 0 .

??????16 分

注:使用求导方法可以得到相应得分. 19.⑴ 因为 k ? 7 ,所以 a1 , a3 , a7 成等比数列,又 ?an ? 是公差 d ? 0 的等差数列, 所以 ? a1 ? 2d ? ? a1 ? a1 ? 6d ? ,整理得 a1 ? 2d ,
2

又 a1 ? 2 ,所以 d ? 1 ,
b1 ? a1 ? 2 , q ?
b2 a3 a1 ? 2d ? ? ?2, b1 a1 a1

所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? n ? 1, bn ? b1 ? qn?1 ? 2n ,

???????????4 分 ???6 分

①用错位相减法或其它方法可求得 ?anbn ? 的前 n 项和为 Tn ? n ? 2n ?1 ;

② 因为新的数列 {cn } 的前 2n ? n ? 1 项和为数列 ?an ? 的前 2 n ? 1 项的和减去数列 ?bn ? 前 n 项的和, 所以 S 2n ? n ?1 ?

(2n ? 1)(2 ? 2n ) 2(2n ? 1) ? ? (2n ? 1)(2n ?1 ? 1) . 2 2 ?1
?????????10 分
2

所以 S2n ?n?1 ? 22n?1 ? 3 ? 2n?1 ? ?1 .
2

⑵ 由 (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? (k ? 1))d ,整理得 4d ? a1d (k ? 5) , 因为 d ? 0 ,所以 d ?

a1 (k ? 5) a a ? 2d k ? 3 ? ,所以 q ? 3 ? 1 . a1 a1 2 4

因为存在 m>k,m∈N*使得 a1 , a3 , ak , am 成等比数列,

? k ? 3? 所以 am ?a1 q ? a1 ? ? , ? 2 ?
3

3

??????????????????12 分

又在正项等差数列{an}中, am ? a1 ? (m ? 1)d ? a1 ?

a1 (m ? 1)( k ? 5) , ??13 分 4

a (m ? 1)(k ? 5) ? k ? 3? 所以 a1 ? 1 ? a1 ? ? ,又因为 a1 ? 0 , 4 ? 2 ?
所以有 2? 4 ? (m ? 1)(k ? 5)? ? (k ? 3)3 , ?????????????14 分

3

因为 2 ? 4 ? (m ? 1)(k ? 5)? 是偶数,所以 (k ? 3)3 也是偶数, 即 k ? 3 为偶数,所以 k 为奇数. 20. (1)因为 f ?( x ) ? 2ax ? ??????????????16 分

1 x

,所以 f ( x ) 在点 (e, f (e)) 处的切线的斜率为 k ? 2ae ?

1 , e

所以 f ( x ) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程为 y ? (2ae ? )( x ? e) ? ae ? 1 ,??2 分
2

1 e

1 1 e e 1 ? (2ae ? )( x ? ) ,所以切线恒过定点 ( , ) . ???4 分 2 e 2 2 2 1 2 (2) 令 p ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x <0,对 x ? (1, ??) 恒成立, 2
整理得 y ? 因为 p?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? (*) x x x
1 , 2a ? 1

????????????????????????6 分 令 p?( x) ? 0 ,得极值点 x 1 ? 1 , x2 ? ①当

1 1 ? a ? 1 时,有 x 2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( x2 ,+∞)上有 p?( x) ? 0 , 2 2

此时 p ( x) 在区间 ( x2 , ??) 上是增函数,并且在该区间上有 p ( x) ∈ ( p( x2 ), ??) ,不合题意; ②当 a ? 1 时,有 x2 ? x1 ? 1 ,同理可知, p ( x) 在区间 (1, ??) 上,有 p ( x) ∈ ( p(1), ??) ,也不合题 意; ③当 a ? ????????????????? 8 分

1 时,有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 (1, ??) 上恒有 p?( x) ? 0 , 2

从而 p ( x) 在区间 (1, ??) 上是减函数; 要使 p( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 p (1) ? ? a ? 所以 ?

1 1 ?0?a?? , 2 2

1 1 ?a? . 2 2

综上可知 a 的范围是 ? ? (3)当 a ?

? 1 1? , . ? 2 2? ?

?????????????????12 分

2 1 2 4 5 1 2 4 时, f1 ( x) ? x ? x ? ln x, f 2 ( x) ? x ? x 3 6 3 9 2 3 1 2 5 记 y ? f 2 ( x) ? f1 ( x) ? x ? ln x, x ? (1, ??) . 3 9
因为 y? ?

2 x 5 6 x2 ? 5 ? ? ? 0 ,所以 y ? f2 ( x) ? f1 ( x) 在 (1, ??) 上为增函数, 3 9x 9x
1 , 3
????????????14 分

所以 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? f 2 (1) ? f1 (1) ?

设 R( x) ? f1 ( x) ? 所 以 在 区 间 个.

1 ? , (0 ? ? ? 1) , 则 f1 ( x) ? R( x) ? f 2 ( x) , 3

?1, ???

上 , 满 足 f 1( x) ? g ( x) ? f 2( x) 恒 成 立 的 函 数 g ( x) 有 无 穷 多

????????????????????????16 分


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