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高二数学下学期月考试题(含答案)


今天不为学习买单,未来就会为无知与贫穷买单!

2013-2014 高二下学期第一次月调研考试 高二数学(理科)
温馨提示:1.本试卷共 150 分,时间 120 分钟,请先易后难,把握好时间
2. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的,请将所选答案写在答题卡上)

1、函数 f(x)=3+x· ln x 的单调递增区间是( C 1 A.(0, e) B.(e,+∞)

) 1 C.( e,+∞) 1 D.( e,e)

考察知识点:非含参的单调区间求法
1? x2 2、设 y ? ,则 y ' ? ( A ) . sin x
A.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

B.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

C.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

D.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) sin x

考察知识点:求导法则

3、函数 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则(A) A.0<b<1 B.b<0 C.b>0 1 D.b<2

考察知识点:逆向考察极值点的构成条件 4、已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? (e x ?1)(x ?1)k (k ? 1,2) ,则( A.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 C.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 )

B.当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 D.当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值

考察知识点:极值点概念正向考察 5、设函数 y ? f ( x) 在定义域内 可导, y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则导函数 y ? f ?( x) 可能为 ( D )
愿匆匆的人生像天际的流星,短暂而辉煌;愿有限的生命像闪光的钻石,每一面都发出璀璨的光芒! !

y

今天不为学习买单,未来就会为无知与贫穷买单! y y y y
x x x

O

O

O

O

x

O

x

图1

考察知识点:导数与单调性关系 6.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是( B ) A. 5 B. 2 5 C. 3 5

A

B

C

D

D.0

考察知识点:导数几何意义 7.设 p : f ( x) ? e x ? ln x ? 2x 2 ? mx ? 1 在 (0,??) 内单调递增, q : m ? ?5 ,则 p 是 q 的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 考察知识点:含参的函数单调性逆向考察 8、定积分 ? ( 1 ? ( x ? 1)2 ? x)dx 等于( A )
0 1

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

? ?1 4 2 考察知识点:定积分几何意义考察
A. B. 9、

? ?2

C.

? ?1 4

D.

? ?1 2

?

b

a

f ' (3x)dx ? ( C )
B.f (3b) ? f (3a)
1 C. ? f (3b) ? f (3a ) ? 3

A.f (b) ? f (a)

D. 3? f (3b) ? f (3a)?

考察知识点:复合函数求导法则 1 1 10、在 R 上的可导函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 2bx ? c ,当 x ? (0,1) 取得极大值,当 x ? (1,2) 取得极小值, 3 2 b?2 则 的取值范围是( A ) . a ?1 1 1 1 1 1 1 A. ( ,1) B. ( ,1) C. ( ? , ) D. ( ? , ) 2 4 2 2 4 2
考察知识点:小综合。数形结合思想;线性规划知识

x) ? x 2 ? 的解集为( C 11、 函数 f ( x) 的定义域为 R ,f (?1) ? 1 , 对任意 x ? R ,f ?( x) ? 1 , 则 f(

)

A. ( ?1,1) B. ( ? ? , ?1 ) C. ( ?1,+ ? ) D. ( ? ? ,+ ? ) 考察知识点:抽象函数不等式解法:构造函数后依导数讨论函数性质解答;也适用于证明 不等式 12、 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 , 对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 , 则
f (1) 的最小值为( C f '(0)

) B. C. 2 D.
3 2

5 2 考察知识点:导数和均值不等式

A. 3

愿匆匆的人生像天际的流星,短暂而辉煌;愿有限的生命像闪光的钻石,每一面都发出璀璨的光芒! !

今天不为学习买单,未来就会为无知与贫穷买单! 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卷相应空格上:请规范作答) 13、若 f ( x) ? e x ,则 lim
t ?0

?1

f (1 ? 2t ) ? f (1) ? 2 ? t e

考察知识点:导数定义 14、在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长, 由勾股定理有:c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱 两两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面面积,S4 表示截面面积,那么类比得到的结 论是

S 4 2 =S 1 2 +S 2 2 +S 3 2 考察知识点:类比推理思想 1 15、直线 y= x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线,则实数 b= ln2-1 2
考察知识点:导数几何意义(含参型)

16、设函数 f ( x ) 在 (0, ??) 内可导,且 f (e x ) ? x ? e x ,则 f ?(1) ? ___2___ 考察知识点:导数知识 三、解答题(本题共 6 大题,其中第 17 题 10 分,其他每题 12 分,共 70 分:审题要慢,答题要快;言之有理,论证有据, 详略得当,工整规范) 17、直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x2 与 x 轴所围成的图形为面积相等的两部分,求 k 的值及直线方程



?y=kx, ?x=0, ?x=1-k, ? ? 由? 得 或 (0<k<1) 2 2 ?y=x-x , ?y=0, ?y=k-k .

?1-k 2 1 3?? 即? x -3x ?? ? 2 ??0 ∴ ?1-k?3 1 6 =12,
3

1-k

1 ?? 1?1 =2?2x2-3x3?? . ? ??0

1

3 1 4 ∴(1-k) =2,k=1- 2 . ? 3 ? 4? ∴直线方程为 y=? ?1- ?x. 2 ? ?
18、已知函数 f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值 愿匆匆的人生像天际的流星,短暂而辉煌;愿有限的生命像闪光的钻石,每一面都发出璀璨的光芒! !

今天不为学习买单,未来就会为无知与贫穷买单!
解:f(x)=4ex(x+1)-x2-4x, 1? x f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)? ?e -2?. 令 f′(x)=0,得 x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e 2).


19、设 L 为曲线 C: y ? (I)求 L 的方程;

ln x 在点(1,0)处的切线. x
(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方

ln x 1 ? ln x 解:(1)设 f ? x ? ? ,则 f ? ? x ? ? . x x2
所以 f′(1)=1. 所以 L 的方程为 y=x-1. (2)令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)>0( ? x>0,x≠1).

g(x)满足 g(1)=0,且 g′(x)=1-f′(x)=
2

x 2 ? 1 ? ln x . x2

当 0<x<1 时,x -1<0,ln x<0,所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 2 当 x>1 时,x -1>0,ln x>0,所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0( ? x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 20、已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)在 x=0,x=4 处取得极值,且极小值为-1,求 f(x)的表达式; (2)当 x∈[0,1]时,函数 f(x)图象上的任意一点的切线斜率为 k,求 k≥-1 恒成立时 a 的取值范围. 2a 2a 解:(1)由 f′(x)=-3x2+2ax,当 f′(x)=0 时,得 x=0 或 x= .∴ =4.∴a=6. 3 3 当 x<0 或 x>4 时,f′(x)<0;当 0<x<4 时,f′(x)>0. 故当 x=0 时,f(x)取极小值 f(0)=b, ∴b=-1. ∴f(x)=-x3+6x2-1. (2)当 x∈[0,1]时,k=f′(x)=-3x2+2ax≥-1 恒成立,即令 g(x)=3x2-2ax-1≤0 对一切 x∈[0,1]恒成 立. ∵g(0)=-1<0, a ? ?3≥0, ∴? ? ?f?1?≤0, 解得 a≥1. 21、将边长为 a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖 愿匆匆的人生像天际的流星,短暂而辉煌;愿有限的生命像闪光的钻石,每一面都发出璀璨的光芒! !

今天不为学习买单,未来就会为无知与贫穷买单!
的方盒.欲使所得的方盒有最大容积,截去的小正方形的边长应为多少?方盒的最大容积为多少? 解:解:设小正方形的边长为 x,则盒底的边长为 a-2x, a ∴方盒的体积 V ? x(a ? 2 x) 2 ( x ? (0, )), 2

V ' ? (a ? 2 x)(a ? 6 x), 令V ' ? 0, 则x1 ?

a a a a a , x2 ? ,由x1 ? ? (0, ), 且对于x ? (0, ), V ' ? 0, 2 6 2 2 6

a a a x ? ( , ), V ' ? 0, ∴函数 V 在点 x=6处取得极大值,由于问题的最大值存在, 6 2
a 2a3 a ∴V( )= 即为容积的最大值,此时小正方形的边长为 . 6 27 6 22、已知函数 f(x)=x +ax +b 的图象上一点 P(1,0),且在点 P 处的切线与直线 3x+y=0 平行. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值; (3)在(1)的结论下,关于 x 的方程 f(x)=c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实数 c 的取值范围. 解:(1)因为 f′(x)=3x2+2ax,曲线在 P(1,0)处的切线斜率为:f′(1)=3+2a,即 3+2a=-3,a=- 3. 又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2. 所以 a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2. (2)由 f(x)=x3-3x2+2 得,f′(x)=3x2-6x. 由 f′(x)=0 得,x=0 或 x=2. ①当 0<t≤2 时,在区间(0,t)上 f′(x)<0,f(x)在[0,t]上是减函数,所以 f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t) =t3-3t2+2. ②当 2<t<3 时,当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 0 0 2 (0,2) - ? 2 0 -2 (2,t) + ? t3-3t2+2 t
3 2

f(x)min=f(2)=-2,f(x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个. f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0. 所以 f(x)max=f(0)=2. (3)令 g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c, g′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 在 x∈ [1,2)上, g′(x)<0;在 x∈ (2,3]上,g′(x)>0. 要使 g(x)=0 在 [1,3]上恰有两个相异的实根,则 g?1?≥0, ? ? ?g?2?<0, ? ?g?3?≥0,

解得-2<c≤0.

愿匆匆的人生像天际的流星,短暂而辉煌;愿有限的生命像闪光的钻石,每一面都发出璀璨的光芒! !


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