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立体几何之内切球与外接球求法(经典习题)


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圆梦教育中心 立体几何之内切球与外接球
一、球与棱柱的组合体问题 1. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 . 答案 14 π 2.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A. 1∶ 3 答案 C B. 1∶3 C

. 1∶3 3 D. 1∶9

3.已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于( 3
C.



A.2 2

B.

2 3 3

4 2 3

D.

4 3 3


2 3 4.(吉林省吉林市 2008 届上期末)设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积为( 3 A. ?

8 3

B.2π

C.4π

D. ?

4 3

答案 C 5.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2. 答案

2? 4 2
9 ,底面周长为 3, 8

6.(2008 海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 则这个球的体积为 答案 .

4? 3

7. (2012 辽宁文)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方 形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 二、锥体的内切球与外接球 8.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案

2

P

9. ( 2006 辽 宁 ) 如 图 , 半 径 为 2 的 半 球 内 有 一 内 接 正 六 棱 锥 P? ABCDE F ,则此正六棱锥的侧面积是 ________. 答案

C B A F

6 7

D E

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10. (陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上,则该正三棱锥的体积是( )
3 3 4 答案 B

A.

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

11.(2009 枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( A. 3? B. 2? C.



16? 3

D.以上都不对

答案 C 12.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 内接于半径为 2 的球, 若 ?ABC的边长为 2 2 ,则正三棱柱的体积为 2014 高三补充题: (1)已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 4,8, h ,且它的 8 个顶点都在同一个球面上,这个球面的 表面积为 100 ? ,则 h ? ________ (答: 2 5 ) (2)三棱锥 P ? ABC 的四个顶点都在半径为 4 的球面上,且三条侧棱 两两互相垂直,则该三棱锥侧面积的最大值为__________(答案:32) (3)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点 都在同一个球面上,则这个球的表面积是 .(答:16 ? ) .答案 8

(4)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 垂直底面, ?ACB ? 90 , ?BAC ? 30 , BC ? 1,
0 0

且三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 3, 则三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的外接球表面积为______ (答: 16 ? ) (5) 在四面体 ABCD 中, AB ? CD ? 6, AC ? BD ? 4, AD ? BC ? 5, 则四面体 ABCD 的外接球表面积为______(答:即长方体的外接球表面积:

77? ) 2

(6)四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 4 2 的正方形,侧棱长都等于 4 5 ,则经过该棱锥五个顶点的 球面面积为________(答:100 ? ) (7)正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 1,此时四面体 ABCD 外接球表面积为______(答:

13? ) 3

( 8 ) 已 知 O 的 直 径 PQ ? 4, A, B, C 是 球 O 球 面 上 的 三 点 , ?ABC 是 正 三 角 形 , 且

?APQ ? ?BPQ ? ?CPQ ? 300 , 则三棱锥 P ? ABC 的体积为( B )

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A.

3 3 4

B.

9 3 4

C.

3 3 2

D.

27 3 4

(9)(长春第四次调研试题)已知空间 4 个球,它们的半径分别为 2,2,3,3, ,每个球都与其他三个球外切, 另有一个小球与这 4 个球都外切,则这个小球的半径为( B ) A.

7 11

B.

6 11

C.

5 11

D .

4 11

(10) (辽、哈、东北师大一联模)球 O 的球面上有四点 S , A, B, C , 其中 O, A, B, C 四点共面, ?ABC 是 边长为 2 的正三角形,面 SAB ? 面 ABC ,则棱锥 S ? ABC 的体积的最大值为(D ) A.

3

B.

1 3

C.

3 2

D.

3 3

(11) (快乐考生预测卷一)已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的各顶点都在同一个球面上,若四面体

A ? B1CD1 的表面积为 8 3 , 则球的体积为 _________ (答: 4 3? )
(12)(快乐考生预测卷四)如图,一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长 为2锐角60 的菱形,则此几何体的内切球表面积为( A. 8? B. 4? C. 3? D. 2?
? ?

0



( 13 ) ( 快 乐 考 生 预 测 卷 五 ) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , AB ? BC ? 0 ,

2 AB ? BD ? 6 ,若将 ?ABD 沿 BD 折成直二面角 A ? BD ? C ,则三棱锥 A ? BCD 外接球的表
面积为 ________ (答:6 ? ) (14)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为4的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3, 则棱锥 O ? ABCD 的体积为 ________ (答: 8 3 ) (15)点 A,B,C,D 在同一个球的球面上, AB ? BC ? 2 , AC ? 2, 若四面体 ABCD 体积的最大值为 个球的表面积为 A. (答:C) C

? 2

?

2

2 ,则这 3

125 ? 6

B. 8?

25? 4

D.

25? 16


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