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第3讲函数值域的求法


第 3 讲函数值域的求法
一、 配方法: 对于求二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 或可转化为形如 f ( x) ? a ? g ( x) ? ? bg ( x) ? c(a ? 0) 的
2

函数的值域(最值)一类问题,我们常常可以通过配方法来进行求解. 例 1:求二次函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2

( x ??1, 4? )的值域. 解:函数的定义域为 ?1, 4? , y ? ? x2 ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 2 ,从而函数为对称轴为 x ? 2 的开口向下的 二次函数,? ymin ? ?42 ? 4 ? 4 ? 2 ? ?2 , ymax ? 2 .即函数的值域为 ? ?2, 2? . 例 2:求函数 y ? e ? x
2
2

? 4 x ?3

的值域.

解 : 此 题 可 以 看 作 是 y ? eu 和 u ? ?x 2 ? 4x ? 3 两 个 函 数 复 合 而 成 的 函 数 , 对

u 配方可得:

u ? ?( x ? 2) ? 1 , 得到函数 u 的最大值 u ? 1 , 再根据 y ? e 得到 y 为增函数且 y ? 0 ,
u

故函数 y ? e ? x

2

? 4 x ?3

的值域为: y ? (0, e] .

? 2? x ? 1, x ?[?3, 2] 的最大值与最小值。 x x 例 4:求函数 y ? log 2 ? log 2 ( x ? [1,8]) 的最大值和最小值。 2 4 二、换元法:通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式,通过换元,我们
例 3:求函数 y ? 4 常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等,这样我们就能将比较 复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解. 例 6: (整体换元) 已知 x ? ?0,2? ,求函数 f ( x) ? 4 解:令 t ? 2 ,
x

?x

x?

1 2

? 3 ? 2x ? 5 的值域.

x ??0,2? , t ? 2x ?? ?1, 4?,则

1 1 1 x 2 1 2 2 ? ? 3 ? 2 x ? 5 ? ? t 2 ? 6t ? 10 ? ? ? t ? 3? ? 。故当 ? 2 2 2 2 1 t ? 3 即 2x ? 3 也即 x ? log2 3 时, f ( x) 有最小值 ? f ( x) ?min ? f (3) ? ;当 t ? 1 即 2 x ? 1 也即 x ? 0 时, 2 5 ?1 5? f ( x) 有最小值 ? f ( x) ?max ? f (0) ? .? 函数 f ( x) 的值域为 ? , ? . 2 ?2 2? 例 7: (整体换元) 求函数 y ? 3x ? 2 ? 5x 的值域.

f ( x) ? 4

x?

1 2

? 3 ? 2 x ? 5 ? 22 x ?1 ? 3 ? 2 x ? 5 ?

解:函数的定义域为 ? ??, ? ,令 t ? 2 ? 5x ,那么 t ? 0 , x ? 5

? ?

2? ?

2 ? t2 5

? y ? 3?

5 5 17 2?t 1 1 ? 5 ? 49 。? 当 t ? 即 2 ? 5 x ? 也即 x ? ? 时, ? t ? ? ? t 2 ? 5t ? 6? ? ? ? t ? ? ? 2 2 20 5 5 5 ? 2 ? 20 49 49 ? ? 函数有最大值 ;函数无最小值.? 函数的值域为 ? ??, ? . 20 20 ? ?
2

2

点评:对于形如 f ( x) ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 为常数, ac ? 0 )的函数,我们可以利用换元 法求其值域. 例 10:已知函数 f ( x) 的值域为 ? 3 , 5 ? ,求函数 y ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x) 的值域。 ? ?8 9 ? ? 解:令 1 ? 2 f ( x) ? t , 则f ( x) ?

1? t 1 1 1? t 2 ?y ? ? t ? ? t2 ? t ? 2 2 2 2 ,
2

5 ?3 ? ? f ( x) ? 3 1 1 ?1 7? 由 ?8 ?y?? , ? 9 得: ? f ( x) ? ? 0 ? t ? 8 2 2, ?2 8? ? ?1 ? 2 f ( x) ? 0
三、不等式法:

∴所求值域为

?1 7? 。 ?2 , 8? ? ?

x ?1 ? x ? 5?? x ? 2? ? x2 ? 7 x ? 10 ? ( x ? 1)2 ? 5( x ? 1) ? 4 ? x ? 1 ? 4 ? 5 解: f ( x) ? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 4 4 当 x ? 1 ? 0 即 x ? ?1 时, f ( x) ? 2 ( x ? 1) 即 x ? 1 时取得“ ? ” ) ; ? 5 ? 9 (当 x ? 1 ? x ?1 x ?1 4 4 当 x ? 1 ? 0 即 x ? ?1 时, f ( x) ? ?2 ( x ? 1) 即 x ? ?3 时取得“ ? ” ) ; ? 5 ? 1 (当 x ? 1 ? x ?1 x ?1 ? f ( x) 的值域为 ? ??,1? ??9, ??? .
例 13:求函数 y ? 解: y ?
x?2 x ?1

例 11:求函数 f ( x) ?

? x ? 5?? x ? 2? ( x ? ?1 )的值域.

x?2 x ?1

的值域.
1 x ?1

?

x ?1 ?

? 2 , 当且仅当 x ? 1 时 " ?"成立. 故函数的值域为 y ? [2,??) .

例 14:求函数 y ?

x2 ?2 x?2 的值域. x ?1

解 : 此题可以利用判别式法求解 , 这里考虑运用基本不等式法求解此题 , 此时关键是在分子中分解出

" ( x ? 1)" 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: ( x ? 1)(x ? b) ? c ? x 2 ? 2 x ? 2 , (2) 将上面等式的左边展开, 有: x 2 ? (b ? 1) x ? (b ? c) ,故而 b ? 1 ? 2 , b ? c ? 2 . 解得 b ? 1 , c ? 1 .
从而原函数 y ? ; ? ( x ? 1) ? x1 ?1 1 ⅰ)当 x ? ?1 时, x ? 1 ? 0 , x ?1 ? 0 , 此时 y ? 2 , 等号成立, 当且仅当 x ? 0 . ⅱ)当 x ? ?1 时, ? ( x ? 1) ? 0 , ? x1 , 此时有 ?1 ? 0
( x ?1)( x ?1) ?1 x ?1

( x ? 1)(x ? 1) ? 1 1 1 ? ? ? ( x ? 1) ? ? ??? ( x ? 1) ? ? ?2 , x ?1 x ?1 x ? 1? ? ? 等号成立, 当且仅当 x ? ?2 . 综上, 原函数的值域为: y ? (??,?2] ? [2,??) . y?

四、单调性法:对于形如 f ( x) ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 为常数, ac ? 0 )或者形如 1 f ( x) ? g ( x) ? 而使用不等式法求值域却未能凑效的函数,我们往往可以考虑使用单调性法. g ( x)
例 15:求函数 y ? 2x ? 3 ? x ?1 的值域. 故函数的值域为 ? ?1, ?? ? . 例 16:求函数 f ( x) ? 解: f ( x) ? 解: 函数的定义域为 ?1, ?? ? , 显然函数在其定义域上是单调递增的, 函数有最小值 ymin ? ?1, ? 当 x ? 1 时,

x2 ? 5 x2 ? 4

( x ? R )的值域.

x2 ? 5 x2 ? 4

? x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4

, 若用不等式法, 那么等号成立的条件为 x ? 4 ?
2

1 x2 ? 4



x2 ? ?3 ,显然这样的实数不存在,那么我们就不能使用不等式法来求解了.
为了简化函数, 我们不妨先进行一下换元, 设 x2 ? 4 ? t( t ? 2 ) , 则函数就转化为 y ? t ? , t ?? 2, ??? , 现在我们考查一下函数 y ? t ? 的单调性: 函数在 ? ?1,0? 、 ? 0,1? 上都单调递减;而在 ? ??, ?1? 、 ?1, ?? ? 上单调递增. 那么当 t ?? 2, ?? ? ,函数是单调递增函数,故当 t ? 2 即 x2 ? 4 ? 2 也即 x ? 0 时,函数有最小值

1 t

1 t

? f ( x)?min ?

f (0) ?

5 ?5 ? ,? 函数 f ( x ) 的值域为 ? , ?? ? . 2 ?2 ?

例 17:求函数 y ? 2 x ?5 ? log3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。 解:令 y1 ? 2 x ?5 , y 2 ? log3 x ? 1 ,则 y 1 , y 2 在[2,10]上都是增函数,所以 y ? y1 ? y 2 在[2,10]上是增 函数。当 x=2 时, y min ? 2 ?3 ? log3 2 ? 1 ?

1 ,当 x=10 时, y max ? 2 5 ? log3 9 ? 33 8

?1 ? 故所求函数的值域为: ? ,33? 。 ?8 ?
例 18:求函数 y ? 3x ? 6 ? 8 ? x 的值域. 解: 此题可以看作 y ? u ? v 和 u ?

3x ? 6 , v ? ? 8 ? x 的复合函数, 显然函数 u ? 3x ? 6 为单调递增

函数 , 易验证 v ? ? 8 ? x 亦是单调递增函数 , 故函数 y ? 3x ? 6 ? 8 ? x 也是单调递增函数 . 而此函 数的定义域为 [?2, 8] .当 x ? ?2 时, y 取得最小值 ? 10 .当 x ? 8 时, y 取得最大值 30 . 故而原函数的值域为 [? 10, 30] . 例 19:求函数 y ? 提示: y ?

x ? 1 ? x ?1 的值域。

2 , x ≥ 1 ,∴ x ? 1, x ?1 都是增函数,故 y ? x ? 1 ? x ?1 是减函数,因 x ?1 ? x ?1 此当 x ? 1 时, ymax ? 2 ,又∵ y ? 0 ,∴ y ? 0, 2 ? 。 ? 例 20:求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域。 1? 1? ? ? 略解:易知定义域为 ? ??, ? ,而 y ? x ? 1 ? 2x 在 ? ??, ? 上均为增函数, 2? 2? ? ?

?

∴ y≤

1 1 1 1? ? ? 1 ? 2 ? ,故 y ? ? ??, ? 2? 2 2 2 ? ax 2 ? bx ? c 2 的函数,我们可以将其转化为 p( y) ? x ? q( y) ? x ? r ( y) ? 0 ( p( y ) ? 0 )的形式, 2 dx ? ex ? f
2

五、判别式法:一般地,形如 f ( x) ? ax ? b ? cx 2 ? dx ? e 、 f ( x) ? ax ? b ? cx ? d 、

f ( x) ?

再通过 ? ? ? q ( y ) ? ? 4 p ( y ) ? r ( y ) ? 0 求得 y 的范围.但当函数为指定区间上的函数时, 用判别式法求出 y 的范围后,应将端点值代回到原函数进行检验,避免发生错误.

5x2 ? 8x ? 5 的值域. x2 ? 1 5x2 ? 8x ? 5 2 解: y ? 可化为 ( y ? 5) x ? 8x ? ( y ? 5) ? 0 2 x ?1 当 y ? 5 ? 0 即 y ? 5 时,方程在实数范围内有唯一解 x ? 0 ;
例 21:求函数 y ? 当 y ? 5 ? 0 即 y ? 5 时,

解得 1 ? y ? 9 ,? 函数的值域为 ?1,9? 例 22:求函数 y ?
x ?1 的值域. x2 ?2 x?2

? ?y ?5 ? 0 x ? R ,?? ? 0 ,即 ? 2 ? ?64 ? 4 ? y ? 5 ? ? 0

解: 先将此函数化成隐函数的形式得: yx ? (2 y ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 , (1) 这 是 一 个 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 , 原 函 数 有 定 义 , 等 价 于 此 方 程 有 解 , 即 方 程 (1) 的 判 别 式
2 1 1 . 故原函数的值域为: y ? [? 1 . ? ? (2 y ? 1) 2 ? 4 y(2 y ? 1) ? 0 ,解得: ? 1 2 ? y ? 2 2 , 2]
ax 2 ? 8 x ? b

例 23:已知函数 f ( x ) ? log 3 解:设 u ?

x 2 ?1

的定义域为 (??, ??) ,值域为 [0, 2] ,求 a , b 的值.

ax 2 ? 8 x ? b 2 ,则 (u ? a) x ? 8x ? (u ? b) ? 0 . 2 x ?1

x ? R, 且设u ? a ? 0,? ? (?8)2 ? 4(u ? a)(u ? b) ? 0 ,即 u 2 ? (a ? b)u ? (ab ?16) ? 0. 又 f ( x) ?[0, 2],则u ?[1,9] ,关于 u 的一元二次方程 u 2 ? (a ? b)u ? (ab ?16) ? 0 的两根为 1 和 9,由韦 ?a ? b ? 1 ? 9 达定理得 ? ,解得 a ? b ? 5. 若 u ? a ? 0,即u ? a ? 5 时,对应 x ? 0 ,符合条件. ?ab ? 16 ? 1? 9 ? a ? b ? 5 为所求.
【例 20】设函数 y ? f ? x ? ?
ax ? b 的值域为 ?? 1,5? ,求 a,b . x2 ? 2

1 化归二次方程有实数解,利用判别式构造值域的不等式,借助根与系数的关系布列方程组求解.

??1, yx 2 ? ax ? 2 y ? b ? 0,? ? ? a 2 ? 4 y?2 y ? b? ? ?8 y 2 ? 4by ? a 2 ? 0解集为 5? ,解得a ? ?2 10, b ? 8.
2 【例 21】已知函数 y=f(x)= 2 x ? bx ? c ?b ? 0? 的值域为[1,3],求实数 b,c 的值.

x2 ? 1

2 解法同上,变形有 (y-2)x2-bx+(y-c)=0,⊿=b—4(y-2) (y-c)=4y2-4(2+c)y+8c-b2>0, 其解集为[1,3],解得 b=-2,c=2,y=2 时也适合.

六、方程法:用方程法求解函数值域是指利用方程有解的条件求函数值的取值范围即值域的方法,其理 论依据是:定理 1:函数 y ? f ( x) (定义域为 D f )的值域是使关于 x 的方程 f ( x) ? y 有属于 D f 的解的
y 值的集合. 定理 2:若

f ( x) f ( x) 为最简有理分式,则函数 y ? 的值域是使关于 x 的方程 g ( x) g ( x)

y ? g ( x) ? f ( x) 有解的 y 值的集合.
ex ?1 的值域。 ex ? 1 y ?1 y ?1 ? 0 ,解得: ? 1 ? y ? 1,故所求函数的值域为 ( ?1,1) 解:由原函数式可得: e x ? ,∵ e x ? 0 ,∴ y ?1 y ?1
例 24:求函数 y ? 例 25:求函数 y ?

cos x 的值域。 sin x ? 3

解:由原函数式可得: y sin x ? cos x ? 3y ,可化为: 即 sin(x ? ? ) ?

y 2 ? 1 sin( x ? ? ) ? 3 y
3y y2 ? 1
解得:? ?1 ,

3y y2 ?1
?

, ∵ x ? R , ∴ sin(x ? ? ) ? [?1,1] , 即 ?1?

2 2 ?y? 4 4

? ? 1? x 例 26:求函数 y ? 的值域。 2x ? 5 1 7 7 7 ? ?2x ? 5? ? 1? x 1 2 ? ? ? 2 ,因为 2 ? 0 ,则 y ? ? 1 , ? 2 解: y ? 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5 2x ? 5 2 1 1? x ? ? 故函数 y ? 的值域为 ? y | y ? ? ? 。 2 2x ? 5 ? ?

故函数的值域为 ??

2 2? , ?。 4 4 ? ?

2 cos x ? 1 1? ? 例 27:求函数 y ? 的值域。 (答案: ? ??, ? ? ?3, ?? ? ) 3cos x ? 2 5? ? 2 ? sin x ?1 ? 例 28:求函数 y ? 的值域。 (答案: ? ,3? ) 2 ? sin x ?3 ? 七、数形结合法: 例 29:求函数 y ? x ?1 ? x ? 3 的值域.
分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.

Y

y=-2x+4 y=2x-4

4

2 1 O 图1 3 X

? ?2 x ? 4, x ? ( ??,1], ? y ? ? 2, x ? (1,3) , 在对应的区间内, ? 2 x ? 4, x ? [3, ??), ?
例 30:求函数 y ? x ? 3 ? x ? 1 的值域。 (答案: ? ?4, 4? 例 32:求函数 y ? 画出此函数的图像, 如图 1 所示, 易得出函数的值域为 [2,??) .

x2 ? 4 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 8 的值域。
( x ? 2) 2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 22

解:原函数变形为 f ( x) ?

作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD,再切割成 12 个单位正方形。设 HK= x ,则 EK=2 ?x ,
2 2 2 KF=2 ? x ,AK= ( x ? 2) ? 2 ,KC= ( x ? 2) ? 1 。

由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。 当 A、K、C 三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为{y|y≥5} 。 例 33:求函数 f ?x ? ? 解: f ?x ? ? =

x 2 ? 2 x ? 5 ? x 2 ? 2 x ? 2 的最大值

x2 ? 2x ? 5 ? x2 ? 2x ? 2 =

?x ? 1?2 ? ?0 ? 2?2 ?

?x ? 1?2 ? 4 ? ?x ? 1?2 ? 1 ?x ? 1?2 ? ?0 ? 1?2 ,
=|AC|,且|BC|=1.

显然,求 f(x)的最大值就是求点 A(x,0)分别到 B(-1,2),C(-1,1)的距离之差的最大值.如图 1 所示: 显然 f(x)=|AB|-|AC|≥|BC|=1 当且仅当 A,B,C 三点共线时取到等号,即当 X=-1 时?? f ?x ??max ? 1 . y B C -1 图1 O 2 1 1 x B C -1 图2 y 2 1 O 1 x

?x ? 1?2 ? ?0 ? 2?2 =|AB|, ?x ? 1?2 ? ?0 ? 1?2


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